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第四章：平行四边形培优训练试题
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．下列说法错误的是（ ）
A．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C．用反证法证明“”时，应假设
D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15
3．如图，在中，是的中点，平分，，垂足为，连接．若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，相交于点O．下列结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，连接，，，，，有以下结论：①四边形的周长是定值；②四边形的面积是定值；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．上述结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．1
10．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______
12．如图，在中，，，是的中位线，则的长度范围是______．
13．如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______．
14．如图，在中，相交于点，点是和的中点，若，则__________．
15．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，如果，，如果，那么的取值范围是_____．
16．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的值是_____．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题8分）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长．
18．（本题8分）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的长．
19．（本题8分）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；(2)用反证法证明不可能是直角三角形．
20．（本题8分）在某次数学兴趣小组活动中，小明对等边三角形进行了数学探究活动，如图，他在等边三角形内取一个点D．使得，，然后他将绕点A逆时针旋转得到，连接，探究以下问题．(1)求证：；(2)若，求的长．
21．（本题分）如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长．
22.（本题10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转得到△ADE，BD与CE交于点F．
（1）若∠BCF＝25°，求∠EDF的度数；
（2）若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求∠BAE的度数及EC的长．
23．（本题10分）如图1，在中，，点D是边上一点，过点D作，交于点E．
(1)将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，连接，．求证：；
(2)将绕点A逆时针旋转至如图3所示的位置，此时，过点C作，交的延长线于点F，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由．
24．（本题12分）如图，四边形是正方形，，E，F，G分别是正方形的边，及对角线上的点，H是正方形内一点，满足四边形是正方形．
(1)如图1，若，求此时的长．
(2)如图2，连结，求证：．
(3)如图3，延长交射线于点J，取线段的中点K，连结．设，在范围内是否存在t的值，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
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第四章：平行四边形培优训练试题答案
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：由题意得，
∴．
故选择：D
2.答案：A
解析：A、三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，因此A说法错误．
B、“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”，是真命题，因此B说法正确．
C、用反证法证明结论时，需先假设结论不成立，证明时，应假设，因此C说法正确．
D、若等腰三角形腰长为，底边长为，则，不满足三角形三边关系，因此腰长只能为，底边长为，周长为，因此D说法正确．
综上，说法错误的是A，
故选择：A．
3.答案：A
解析：如图，延长交于点，
平分，
，
，
，
在和 中，
，
，
，，
是的中点，
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线 ，
．
故选择：A
4.答案：D
解析：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
无法根据已知条件得到，
所以正确的是①②④⑤．
故选择：D
5.答案：A
解析：，
，
，
，
，
由旋转的性质知，，
、、，
是等边三角形，
，
．
故选择：A
6.答案：C
解析：∵四边形是平行四边形，
，，，，，，
分别为的中点，
，
，
又∵，
∴四边形是平行四边形，故④正确；
∵，，，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，即，
同理可证，
，
∴四边形是平行四边形，故③正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点到的距离等于点到的距离，
设距离为，
∵ ， ，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形CDEG是平行四边形，
同理可得，，
∴，
∴四边形的面积是定值，故②正确；
当点在上移动时，的长度发生变化，在中，的长度随之变化，同理的长度也变化，所以四边形的周长不是定值，故①错误；
综上所述，正确的结论有②③④，共个．
故选择：C
7.答案：B
解析：∵四边形是平行四边形，
∴且，
又、分别是和的角平分线，
∴，．
又，
∴，
是等腰三角形，即．
同理可证是等腰三角形．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
故选择：B
8.答案：D
解析：∵将绕点逆时针旋转（），得到，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴
故选择：D
9.答案：C
解：∵,,
∴,
∵
∴四边形和四边形都是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
，
∴．
故选择：C
10.答案：D
解析：根据题意得：某人在途中转过了，
由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了，
则他在A处转过的度数为
故选择：D．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：5
解析：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为．
由多边形内角与相邻外角和为，得：
解得：
则外角为．
任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等，
该多边形边数为．
12.答案：
解析：∵在中，，，
∴，即，
又∵是的中位线，
∴，
∴．
13.答案：
解析：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
14.答案：
解析：四边形是平行四边形，，
，．
，
，
是等腰三角形．
如图，过点作于点，连接．
，
在中，由勾股定理得：．
∵点是的中点，
∴是的中位线，
，．
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
．
故答案为：
15.答案：
解析：平行四边形中，对角线，相交于点，，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：
16.答案：
解析：连接，令交于点，
∵在中，，，
∴．
∵绕点顺时针旋转得到，，
∴，，．
∴是等边三角形，
∴．
∵，，
∴点、点都在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴．
在中，
．
在中，
．
∴．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）证明：∵，
，，
∵O为对角线的中点，
∴
∴，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形的周长；
同理可得四边形的周长，
∵四边形与四边形的周长分别是16与10，
∴，
∴，
∴的周长．
18.解析：（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）由（1）可知，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
的长为．
19.解析：（1）证明：，
，
又，
，
在与中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
（2）解：假设是等腰直角三角形，
则，
，
由（1）可知：≌，
∴，
，
，
，
不可能是等腰直角三角形．
20.解析：（1）证明：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
为等边三角形，
；
（2）解：由（1）得：为等边三角形，
，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：．
21.解析：（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
，
，即，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长．
22.解析：（1）连接BE．
∵将△ABC绕点A沿顺时针旋转得到△ADE，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AB，AC＝AE，
∴AD＝AE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴EC＝BD．
在△DEB和△CBE中，
，
∴△DEB≌△CBE（SSS）．
∴∠EDF＝∠ECB＝25°；
（2）由旋转性质得∠DAE＝BAC＝45°，AB＝AC＝AD＝AE＝1，
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴AC∥DF．
∴∠ABD＝∠BAC＝45°，
∵AD＝AB＝1，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°．
∴∠DAB＝90°．
∵∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝45°
由勾股定理，可求得，
∵△AEC≌△ADB，
∴．
23.解析：（1）证明：∵，且，
∴，，，
∴，
∴，
根据旋转可得，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
24.（1）解：如图，过点G作于点P，
∵四边形、四边形均是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点G作于点P，过H作于点Q，
∵四边形、四边形均是正方形，
同理（1）可证，
∴，，
∵，
∴，即是的垂直平分线，
∴；
（3）解：如图，过H作于点Q，连结，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
，
当或或时，是等腰三角形，
情况1：，
，解得；
情况2：，
，解得或3；
情况3：，
，解得或；
，
故所有符合条件的t的值是或或．
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