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浙江省宁波市慈溪2025-2026学年第一学期九年级上册期末数学试卷
一、选择题(每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．在同一平面内，已知⊙O的半径为3，PO=3，则点P与⊙O的位置关系为(　　)
A．点 P 在圆外 B．点P 在圆上
C．点 P 在圆内 D．无法确定
2．下列事件中，属于随机事件的是 （　　）
A．抛一枚均匀的硬币，恰好正面朝上。
B．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克牌是方块。
C．a是实数，则|a|≥0。
D．任意画一个三角形，其内角和是180°。
3．将抛物线. 向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是 （　　）
A．y=2(x-3)2+1 B．y=2(x+3)2+1 C． D．
4．如图，直线 直线a，b分别交直线l1， l2， l3于点A， B， C， D， E， F。已知AB=5， BC=2， DE=4， 则EF的长为(　　)
A．6 B． C． D．
5．如图，在直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心为原点O。若点B(-3， -2)的对应点为B1(6， 4)， 则点A(-2， 1)的对应点A1的坐标为 (　　)
A．(-2， 1) B．(4， - 2) C．(-4， 2) D．(2， - 1)
6．如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B， C均在圆弧上， 经测量得∠ABC=146°， 则∠AOC的度数为(　　)
A．34° B．56° C．68° D．73°
7．如图，一只矩形木箱放置在斜面上，此时BD 恰好与地面EF平行。已知∠CEF=α，BC=1，则点A 到BD所在直线的距离可表示为 (　　)
A．cosα B．sinα C．tanα D．
8．若二次函数 的图象经过点A(1，1)，则方程： 的解为（　　）
A．x=1 B．x=6 C．x=1或x=-7 D．x=1或x=5
9． 如图， △ABC内接于圆， ∠A=45°， D为BC中点， G为△ABC的重心， 连结GD。若 则GD 的最大值为 (　　)
A． B． C． D．
10．已知二次函数. (a， c为常数， a<0)的图象经过(x1，y1)， (x2，y2)两点，若 则下列说法错误的是 （　　）
A．若0y1
C．若0c D．若3y2
二、填空题(每小题3分，共18分)
11． 已知 则=　 　
12．某商场门口有甲、乙两公司投放的5辆共享单车，其中3辆是甲公司的，2辆是乙公司的，现随机挑选一辆，则选中甲公司共享单车的概率是　 　。
13． 如图， 正五边形ABCDE内接于⊙O， 连结AO， BO， 则∠AOB 的度数为　 　度。
14．小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关。设瓶底离液面的距离h，小孔离液面的距离x，则喷射距离L满足关系式： 现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为h=24cm，为使水的喷射距离L 最大，则小孔离液面的距离x应为　 　cm。
15． 如图， 在半径为2的⊙O中， AB， AC为弦， ∠CAB=90°， 连结OA， OB， 过点C作AO 的垂线， 交AO的延长线于点D。若AB=2OD， 则AC的长为　 　。
16． 如图， 在四边形ABCD 中， 对角线AC， BD交于点E， 若AB=4， AD=6，则AC的长为　 　。
三、解答题(第17-21题各8分,第22、23题各10分,第24题12分,共72分)
17． 计算：
18．已知二次函数 (b，c为常数)的图象经过点(0，3)， (2，3)。
（1）求二次函数的表达式。
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标。
19．在学习频率与概率的相关知识时，小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况。游戏规则和试验的部分结果如下图：
试验次数n 100 200 400 1000 3000 5000 10000
两位玩家平局的试验频数m 32 70 144 335 1004 1670 3328
两位玩家平局的试验频率 (精确到0.001) 0.320 0.350 0.360 0.335 0.335 0.334 0.333
（1）根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是　 　。(精确到0.001)
（2）请你用列表或画树状图的方法解释(1)中的结论。
20．图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点， 为格点三角形(三角形的顶点均在格点上)。请按下列要求画出图形。
（1）在图1中画出格点 使得 相似比为2∶1；
（2）在图2中画出格点 使得 面积比为2∶1。
21．如图，AB是⊙O的弦(非直径)，以A为圆心，OA 为半径画弧，交⊙O于点 C，以B为圆心，OB为半径画弧，交⊙O于点D，C，D位于AB 的两侧，连结 CD。
（1） 求证： AB=CD。
（2） 连结BD， 若∠ABD=40°， OA=5， 求 的长。(结果保留π)
22．图1是一款可以调整铅笔位置的圆规，图2是该圆规的简易结构图，已知(OA=10cm，DE=2cm，∠EDO=114°。在调整铅笔位置时BC始终垂直平分 DE， BC和DE交于点F。如图3，当圆规的两个脚OA和OD 闭合，即O，D，A三点在同一直线上时，调整铅笔的位置，定位针针尖A 点与笔尖B 点恰好能重合。(计算结果均精确到0.1，参考数据：
（1） 求OD 的长。
（2）如图4，调节圆规的两个脚OA和OD，使得( 调整铅笔BC的位置，圆规可以画出半径最小的圆，求该最小圆半径AB 的长。(注：假设BC足够长。)
23．已知二次函数 (t为常数)。
（1）若二次函数图象经过原点(0，0)，求t的值。
（2） 已知点P(p， m)， Q(q， n)在该二次函数图象上， 若p=t-2，q=t+1，试比较m，n的大小关系。
（3）当3≤x≤t+1时，函数y的最大值与最小值的差为1，求t的取值范围。
24． 如图1， 在⊙O中， AB为直径， P为AO上的点， 过点P作AB 的垂线交⊙O于C， D两点，E为 上的点，且 连结CE交AB 于点 F， 连结 AC， 记.
（1）请用含α的代数式表示.∠ACD。
（2） 若 AF=2BF， 求 tanα 的值。
（3） 如图2， 连结AE交CD 于点G， 若⊙O的半径为5， CP·CG=27， 求AC的长。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：OP=3=r，即点P到圆心的距离等于半径，故点在圆上.
故答案：B.
【分析】直接由点到圆心的距离可知点与圆的位置关系.
2．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对A选项，抛一枚均匀的硬币，恰好正面朝上是随机事件，故A符合题意；
对B选项， 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克牌是方块，是不可能事件，故B不符合题意；
对C选项， a是实数，则|a|≥0 ，是必然事件，故C不符合题意；
对D选项， 任意画一个三角形，其内角和是180° ，是必然事件，故D符合题意；
故答案：A.
【分析】根据各选项的事件发生的可能性判断是否是随机事件，即可得结果.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向上平移3个单位得.
故答案：C.
【分析】直接由二次函数的平移规则"上加下减"，即可得平移后的表达式.
4．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴即得EF=.
故选：D.
【分析】由平行线分线段成比例可得EF的长.
5．【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由B(-3，-2)和B1(6，4)知其位似比为1：2，
而A(-2，1)，得A1(4，-2).
故答案：B.
【分析】由点B和B1的坐标知位似比，由此可得A1的坐标.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，补全过点A、B、C的圆，并任取一点D，
∵ABCD内接于圆O
∴∠B+∠D=180°
∴∠D=180°-∠B=180°-146°=34°
∵∠AOC=2∠D
∴∠AOC=68°
故选 ：C.
【分析】补全图形利用圆内接四边形的性质知∠D的度数，由此可得∠AOC的度数.
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵BD||EF
∴∠CDB=∠E= α
∵ABCD为矩形
∴AD=BC=1，∠ABD=∠CDB= α
过点A作AH⊥BD于点H，
∵∠DAH+∠BAH=90°，∠BAH+∠ABD=90°
∴∠DAG=∠ABD=α
∴
∴AH=cosα
故选 ：A.
【分析】由平行的性质和矩形的性质知∠DAH=α，由此可得点A到BD的距离.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=3，点A关于x=3的对称点为(5，1)，
当y=1时，x=1或5，即的解为x=1或x=5.
故选 ：D.
【分析】由二次函数解析式知其对称轴，求出点A的对称点，由此可得当y=1时的方程的解.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接AG，如下左图，
∵G为重心
∴A、G、D三点共线，且DG=
设O为圆心，连接OD、OA
AD当A、O、D共线时，AD取最大值，此时DG取最大值
如上右图，当A、O、D共线时，AD⊥BC
∵∠BOC=2∠BAC=90°
∴OB=OC=OA=2，OD=BC=
∴AD=OA+OD=2+
此时GD=.
故选 ：C.
【分析】由重心的性质知DG=，由三角形三边关系知AD10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=，同时a<0，知开口向下，
当x=0和4时，y=c；当x<2时，y随x的增大而增大，当x>2时，y随x的增大而减小；
若0若0y1， 当2y1，故B正确；
若 0若3y2，故D正确；
故选 ：C.
【分析】由二次函数解析式知其对称轴为直线x=2，根据各选项中的m的范围可知y的大小关系.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由得.
故答案：.
【分析】直接由比例的性质可得a、b的比值.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：共有5辆车，3辆是甲公司的，故抽机挑选一辆选中甲公司的概率P=.
故填：.
【分析】直接由简单事件的概率公司计算可得其概率.
13．【答案】72
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵ABCDE为正五边形
∴AB=BC=CD=DE=EA
∴
∴∠AOB=
故填：72.
【分析】由正边形的性质知弧相等，由此可得∠AOB的度数.
14．【答案】12
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由得
L2为x的二次函数，当x=时，L取最大值.
故填：12.
【分析】由题意知L2为x的二次函数，由二次函数的性质知当x=12时取最大值.
15．【答案】2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA=OB，OE⊥AB
∴AB=2AE
∵AB=2OD
∴AE=OD
又∵OD=OA
∴△OCD≌△AOE(HL)
∴∠COD=∠OAB
∵∠COD=∠AOB
∴∠AOB=∠OAB
∴AB=OB=2
∴AB=OA=OB
∴△ABC为等边三角形
∵∠CAB=90°
∴C、O、B三点共线，BC为直径
∴AC=
故填：2.
【分析】连接OC，过点O作OEAB于点E，可证△OCD≌△AOE，得∠COD=∠OAB，由此得△ABC为等边三角形，由勾股定理得AC的长.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正弦的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥AC于点F，如图所示，
∵∠CED=∠BEF，∠DCE=∠BFE=90°
∴△CDE~△FBE
∴
∵sin∠
∴
∵∠EBF=∠BDC
∴sin∠EBF=
∴
设CE=x，则DE=4x，DC=，EF=
在△ABF和△ACD中，有，，即有①，，
整理得，得
而CF=CE+EF=x+=，AC=5x，代入①式得，
解得x=，故AC=.
故填：.
【分析】过点B作BFAC于F，得△CDE~△FBE，，结合sin∠可得线段间的关系，设CE=x，可得EF和DE，利用勾股定理得，，求出x的值，即可得AC的长.
17．【答案】原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】分别计算特殊角的三角函数值，即可得结果.
18．【答案】（1）将(0. 3)， (2， 3)代入
解得
所以二次函数表达式为
（2）令y=0， 得
得
所以与x轴的交点坐标为(3，0) ， (-1，0)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点分别代入二次函数解析式，求出b、c的值，即得表达式；
(2)令y=0，求出x的值，即得函数与x轴的交点坐标.
19．【答案】（1）0.333
（2）由树状图知，共有9种结果，其中平局的结果有3种，所以 .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)观察表格数据发现随着试验次数的增加，频率接近0.333，故概率为0.333.
【分析】(1)观察表格数据变化趋势知其概率；
(2)借助树状图可得所有结果和平局的结果，即可得其概率.
20．【答案】（1）
（2）
【知识点】尺规作图-作三角形
【解析】【分析】(1)根据相似比，按比例放大△ABC，即可；
(2)高不变，底为原来的一半，即可.
21．【答案】（1）证明：
连结OA， OC， AC，
∵由题可得OA=OC=AC
∴△AOC为等边三角形
∴
同理
∴
∴AB = CD
∴AB=CD
（2）解：连结BD、OB、OD
∵由题意知OB=OD=BD
∴△BOD为等边三角形
∴∠OBD=60°
∵∠ABD=40°
∴∠OBA=∠OBD-∠ABD=60°-40°=20°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=20°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-20°-20°=140°
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】(1)由作图知△AOC为等边三角形，同理△BOD为等边三角形，即知AB=CD；
(2)由△BOD为等边三角形知∠OBD=60°，由此得∠OBA的度数和∠AOB的度数，由弧长公式可得的长 .
22．【答案】（1）解：
∵DE=2， F为DE中点
∴DF=1
∵BC⊥DE
∴∠DFB-90°
∵∠ODE=114°
∴∠B=24°
∴
∴OD=10-2.5=7.5cm
（2）解：延长ED交AO点M
∵BC∥OA， DE⊥BC， ∠ODE=114°
∴DM⊥OA， ∠AOD=24°
在Rt△ODM 中， DM=OD· sin 24°=7.5×0.4=3cm
当BA⊥OA， AB=MF， 所画圆的半径最小。
所以AB=MF-3+1=4cm
即所画圆半径最小为4cm
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)由中点知DF=1，求出∠B的度数，在Rt△BDF中，根据正弦可求出DB的长，即得OD的长；
(2)延长ED交AO点M，由平行知∠AOD的度数，在△ODM中，可得DM的长，由此可得AB的长，即知最小半径.
23．【答案】（1）解：把 (0， 0) 代入二次函数
得t2+t=0
解得t=0 或者-1
（2）解：因为抛物线对称轴为直线x=t，而p·-t-2， q-t+1.
所以点 P 离对称轴更远 。
而抛物线开口向上，所以m>n
（3）解：由题可得t+1≥3
所以t≥2
①当2≤t≤3时
当x=3时，
当x=t+1时，y*=1+t
所以
解得t=3
②当3当x=t+1时，
当x=t时，
此时1+1-t=1恒成立
即 3③当t>4时
当x=t时，.
当x=3时.
t2-5t+9-t=1
解得t=2或4 (都不符合，舍去)
综上，当t的取值为 3≤t≤4
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点(0，0)代入可得t的值；
(2)求出点P、Q至对称轴的距离，比较距离即可得m、n的大小关系；
(3)分类2≤t≤3和34三种情况，分别求出最大值与最小值，得到关于t的方程，求解方程即可知t的取值范围.
24．【答案】（1）解：∵AB⊥CD， AB为直径
∴
又∵
∴
∴∠DCE=∠ACD=α
（2）解：由 (1) 可得， AP=FP
设AP=FP=2a， BF=2a
则AB=6a，
连结OC， 得OC=OA=3a， OP=a
在Rt△OPC中，
而∠ADC=∠DCE=α
所以
（3）解：
∵由 (1) 得
∴∠DCA=∠DCE=∠AEC， AE=CD
∴CG=EG， AG=GD
又∵
设OP=x， 则.AP-FP=5-x
∴
=50-10x
∵∠ACG=∠E， ∠CAG=∠EAC
∴△CAG∽△EAC
∴-(2·CP-CG)·2·CP
∴
即
解得：
当x-2时，
同理，当 时
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由垂径定理知，又得，由此可得∠ACD的度数；
(2)由(1)知AP=PF，求出OC和OP的长，由勾股定理得CP的长，由此可得正切值；
(3)由(1)得CG=GE，AG=DG，设OP=x结合△CAG∽△EAC可得，求出x的值，即可得AC的长.
1 / 1浙江省宁波市慈溪2025-2026学年第一学期九年级上册期末数学试卷
一、选择题(每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．在同一平面内，已知⊙O的半径为3，PO=3，则点P与⊙O的位置关系为(　　)
A．点 P 在圆外 B．点P 在圆上
C．点 P 在圆内 D．无法确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：OP=3=r，即点P到圆心的距离等于半径，故点在圆上.
故答案：B.
【分析】直接由点到圆心的距离可知点与圆的位置关系.
2．下列事件中，属于随机事件的是 （　　）
A．抛一枚均匀的硬币，恰好正面朝上。
B．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克牌是方块。
C．a是实数，则|a|≥0。
D．任意画一个三角形，其内角和是180°。
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对A选项，抛一枚均匀的硬币，恰好正面朝上是随机事件，故A符合题意；
对B选项， 两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克牌是方块，是不可能事件，故B不符合题意；
对C选项， a是实数，则|a|≥0 ，是必然事件，故C不符合题意；
对D选项， 任意画一个三角形，其内角和是180° ，是必然事件，故D符合题意；
故答案：A.
【分析】根据各选项的事件发生的可能性判断是否是随机事件，即可得结果.
3．将抛物线. 向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是 （　　）
A．y=2(x-3)2+1 B．y=2(x+3)2+1 C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向上平移3个单位得.
故答案：C.
【分析】直接由二次函数的平移规则"上加下减"，即可得平移后的表达式.
4．如图，直线 直线a，b分别交直线l1， l2， l3于点A， B， C， D， E， F。已知AB=5， BC=2， DE=4， 则EF的长为(　　)
A．6 B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴即得EF=.
故选：D.
【分析】由平行线分线段成比例可得EF的长.
5．如图，在直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心为原点O。若点B(-3， -2)的对应点为B1(6， 4)， 则点A(-2， 1)的对应点A1的坐标为 (　　)
A．(-2， 1) B．(4， - 2) C．(-4， 2) D．(2， - 1)
【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由B(-3，-2)和B1(6，4)知其位似比为1：2，
而A(-2，1)，得A1(4，-2).
故答案：B.
【分析】由点B和B1的坐标知位似比，由此可得A1的坐标.
6．如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B， C均在圆弧上， 经测量得∠ABC=146°， 则∠AOC的度数为(　　)
A．34° B．56° C．68° D．73°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，补全过点A、B、C的圆，并任取一点D，
∵ABCD内接于圆O
∴∠B+∠D=180°
∴∠D=180°-∠B=180°-146°=34°
∵∠AOC=2∠D
∴∠AOC=68°
故选 ：C.
【分析】补全图形利用圆内接四边形的性质知∠D的度数，由此可得∠AOC的度数.
7．如图，一只矩形木箱放置在斜面上，此时BD 恰好与地面EF平行。已知∠CEF=α，BC=1，则点A 到BD所在直线的距离可表示为 (　　)
A．cosα B．sinα C．tanα D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵BD||EF
∴∠CDB=∠E= α
∵ABCD为矩形
∴AD=BC=1，∠ABD=∠CDB= α
过点A作AH⊥BD于点H，
∵∠DAH+∠BAH=90°，∠BAH+∠ABD=90°
∴∠DAG=∠ABD=α
∴
∴AH=cosα
故选 ：A.
【分析】由平行的性质和矩形的性质知∠DAH=α，由此可得点A到BD的距离.
8．若二次函数 的图象经过点A(1，1)，则方程： 的解为（　　）
A．x=1 B．x=6 C．x=1或x=-7 D．x=1或x=5
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=3，点A关于x=3的对称点为(5，1)，
当y=1时，x=1或5，即的解为x=1或x=5.
故选 ：D.
【分析】由二次函数解析式知其对称轴，求出点A的对称点，由此可得当y=1时的方程的解.
9． 如图， △ABC内接于圆， ∠A=45°， D为BC中点， G为△ABC的重心， 连结GD。若 则GD 的最大值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接AG，如下左图，
∵G为重心
∴A、G、D三点共线，且DG=
设O为圆心，连接OD、OA
AD当A、O、D共线时，AD取最大值，此时DG取最大值
如上右图，当A、O、D共线时，AD⊥BC
∵∠BOC=2∠BAC=90°
∴OB=OC=OA=2，OD=BC=
∴AD=OA+OD=2+
此时GD=.
故选 ：C.
【分析】由重心的性质知DG=，由三角形三边关系知AD10．已知二次函数. (a， c为常数， a<0)的图象经过(x1，y1)， (x2，y2)两点，若 则下列说法错误的是 （　　）
A．若0y1
C．若0c D．若3y2
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=，同时a<0，知开口向下，
当x=0和4时，y=c；当x<2时，y随x的增大而增大，当x>2时，y随x的增大而减小；
若0若0y1， 当2y1，故B正确；
若 0若3y2，故D正确；
故选 ：C.
【分析】由二次函数解析式知其对称轴为直线x=2，根据各选项中的m的范围可知y的大小关系.
二、填空题(每小题3分，共18分)
11． 已知 则=　 　
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由得.
故答案：.
【分析】直接由比例的性质可得a、b的比值.
12．某商场门口有甲、乙两公司投放的5辆共享单车，其中3辆是甲公司的，2辆是乙公司的，现随机挑选一辆，则选中甲公司共享单车的概率是　 　。
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：共有5辆车，3辆是甲公司的，故抽机挑选一辆选中甲公司的概率P=.
故填：.
【分析】直接由简单事件的概率公司计算可得其概率.
13． 如图， 正五边形ABCDE内接于⊙O， 连结AO， BO， 则∠AOB 的度数为　 　度。
【答案】72
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵ABCDE为正五边形
∴AB=BC=CD=DE=EA
∴
∴∠AOB=
故填：72.
【分析】由正边形的性质知弧相等，由此可得∠AOB的度数.
14．小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关。设瓶底离液面的距离h，小孔离液面的距离x，则喷射距离L满足关系式： 现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为h=24cm，为使水的喷射距离L 最大，则小孔离液面的距离x应为　 　cm。
【答案】12
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由得
L2为x的二次函数，当x=时，L取最大值.
故填：12.
【分析】由题意知L2为x的二次函数，由二次函数的性质知当x=12时取最大值.
15． 如图， 在半径为2的⊙O中， AB， AC为弦， ∠CAB=90°， 连结OA， OB， 过点C作AO 的垂线， 交AO的延长线于点D。若AB=2OD， 则AC的长为　 　。
【答案】2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：连接OC，过点O作OE⊥AB于点E，
∵OA=OB，OE⊥AB
∴AB=2AE
∵AB=2OD
∴AE=OD
又∵OD=OA
∴△OCD≌△AOE(HL)
∴∠COD=∠OAB
∵∠COD=∠AOB
∴∠AOB=∠OAB
∴AB=OB=2
∴AB=OA=OB
∴△ABC为等边三角形
∵∠CAB=90°
∴C、O、B三点共线，BC为直径
∴AC=
故填：2.
【分析】连接OC，过点O作OEAB于点E，可证△OCD≌△AOE，得∠COD=∠OAB，由此得△ABC为等边三角形，由勾股定理得AC的长.
16． 如图， 在四边形ABCD 中， 对角线AC， BD交于点E， 若AB=4， AD=6，则AC的长为　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；正弦的概念；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥AC于点F，如图所示，
∵∠CED=∠BEF，∠DCE=∠BFE=90°
∴△CDE~△FBE
∴
∵sin∠
∴
∵∠EBF=∠BDC
∴sin∠EBF=
∴
设CE=x，则DE=4x，DC=，EF=
在△ABF和△ACD中，有，，即有①，，
整理得，得
而CF=CE+EF=x+=，AC=5x，代入①式得，
解得x=，故AC=.
故填：.
【分析】过点B作BFAC于F，得△CDE~△FBE，，结合sin∠可得线段间的关系，设CE=x，可得EF和DE，利用勾股定理得，，求出x的值，即可得AC的长.
三、解答题(第17-21题各8分,第22、23题各10分,第24题12分,共72分)
17． 计算：
【答案】原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】分别计算特殊角的三角函数值，即可得结果.
18．已知二次函数 (b，c为常数)的图象经过点(0，3)， (2，3)。
（1）求二次函数的表达式。
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标。
【答案】（1）将(0. 3)， (2， 3)代入
解得
所以二次函数表达式为
（2）令y=0， 得
得
所以与x轴的交点坐标为(3，0) ， (-1，0)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点分别代入二次函数解析式，求出b、c的值，即得表达式；
(2)令y=0，求出x的值，即得函数与x轴的交点坐标.
19．在学习频率与概率的相关知识时，小明利用AI工具制作了一个“石头、剪刀、布”游戏的模拟器：两位玩家随机出石头、剪刀、布，然后统计胜负情况。游戏规则和试验的部分结果如下图：
试验次数n 100 200 400 1000 3000 5000 10000
两位玩家平局的试验频数m 32 70 144 335 1004 1670 3328
两位玩家平局的试验频率 (精确到0.001) 0.320 0.350 0.360 0.335 0.335 0.334 0.333
（1）根据表中试验结果，用频率估计“两位玩家平局”的概率是　 　。(精确到0.001)
（2）请你用列表或画树状图的方法解释(1)中的结论。
【答案】（1）0.333
（2）由树状图知，共有9种结果，其中平局的结果有3种，所以 .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)观察表格数据发现随着试验次数的增加，频率接近0.333，故概率为0.333.
【分析】(1)观察表格数据变化趋势知其概率；
(2)借助树状图可得所有结果和平局的结果，即可得其概率.
20．图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点， 为格点三角形(三角形的顶点均在格点上)。请按下列要求画出图形。
（1）在图1中画出格点 使得 相似比为2∶1；
（2）在图2中画出格点 使得 面积比为2∶1。
【答案】（1）
（2）
【知识点】尺规作图-作三角形
【解析】【分析】(1)根据相似比，按比例放大△ABC，即可；
(2)高不变，底为原来的一半，即可.
21．如图，AB是⊙O的弦(非直径)，以A为圆心，OA 为半径画弧，交⊙O于点 C，以B为圆心，OB为半径画弧，交⊙O于点D，C，D位于AB 的两侧，连结 CD。
（1） 求证： AB=CD。
（2） 连结BD， 若∠ABD=40°， OA=5， 求 的长。(结果保留π)
【答案】（1）证明：
连结OA， OC， AC，
∵由题可得OA=OC=AC
∴△AOC为等边三角形
∴
同理
∴
∴AB = CD
∴AB=CD
（2）解：连结BD、OB、OD
∵由题意知OB=OD=BD
∴△BOD为等边三角形
∴∠OBD=60°
∵∠ABD=40°
∴∠OBA=∠OBD-∠ABD=60°-40°=20°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=20°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-20°-20°=140°
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】(1)由作图知△AOC为等边三角形，同理△BOD为等边三角形，即知AB=CD；
(2)由△BOD为等边三角形知∠OBD=60°，由此得∠OBA的度数和∠AOB的度数，由弧长公式可得的长 .
22．图1是一款可以调整铅笔位置的圆规，图2是该圆规的简易结构图，已知(OA=10cm，DE=2cm，∠EDO=114°。在调整铅笔位置时BC始终垂直平分 DE， BC和DE交于点F。如图3，当圆规的两个脚OA和OD 闭合，即O，D，A三点在同一直线上时，调整铅笔的位置，定位针针尖A 点与笔尖B 点恰好能重合。(计算结果均精确到0.1，参考数据：
（1） 求OD 的长。
（2）如图4，调节圆规的两个脚OA和OD，使得( 调整铅笔BC的位置，圆规可以画出半径最小的圆，求该最小圆半径AB 的长。(注：假设BC足够长。)
【答案】（1）解：
∵DE=2， F为DE中点
∴DF=1
∵BC⊥DE
∴∠DFB-90°
∵∠ODE=114°
∴∠B=24°
∴
∴OD=10-2.5=7.5cm
（2）解：延长ED交AO点M
∵BC∥OA， DE⊥BC， ∠ODE=114°
∴DM⊥OA， ∠AOD=24°
在Rt△ODM 中， DM=OD· sin 24°=7.5×0.4=3cm
当BA⊥OA， AB=MF， 所画圆的半径最小。
所以AB=MF-3+1=4cm
即所画圆半径最小为4cm
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)由中点知DF=1，求出∠B的度数，在Rt△BDF中，根据正弦可求出DB的长，即得OD的长；
(2)延长ED交AO点M，由平行知∠AOD的度数，在△ODM中，可得DM的长，由此可得AB的长，即知最小半径.
23．已知二次函数 (t为常数)。
（1）若二次函数图象经过原点(0，0)，求t的值。
（2） 已知点P(p， m)， Q(q， n)在该二次函数图象上， 若p=t-2，q=t+1，试比较m，n的大小关系。
（3）当3≤x≤t+1时，函数y的最大值与最小值的差为1，求t的取值范围。
【答案】（1）解：把 (0， 0) 代入二次函数
得t2+t=0
解得t=0 或者-1
（2）解：因为抛物线对称轴为直线x=t，而p·-t-2， q-t+1.
所以点 P 离对称轴更远 。
而抛物线开口向上，所以m>n
（3）解：由题可得t+1≥3
所以t≥2
①当2≤t≤3时
当x=3时，
当x=t+1时，y*=1+t
所以
解得t=3
②当3当x=t+1时，
当x=t时，
此时1+1-t=1恒成立
即 3③当t>4时
当x=t时，.
当x=3时.
t2-5t+9-t=1
解得t=2或4 (都不符合，舍去)
综上，当t的取值为 3≤t≤4
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点(0，0)代入可得t的值；
(2)求出点P、Q至对称轴的距离，比较距离即可得m、n的大小关系；
(3)分类2≤t≤3和34三种情况，分别求出最大值与最小值，得到关于t的方程，求解方程即可知t的取值范围.
24． 如图1， 在⊙O中， AB为直径， P为AO上的点， 过点P作AB 的垂线交⊙O于C， D两点，E为 上的点，且 连结CE交AB 于点 F， 连结 AC， 记.
（1）请用含α的代数式表示.∠ACD。
（2） 若 AF=2BF， 求 tanα 的值。
（3） 如图2， 连结AE交CD 于点G， 若⊙O的半径为5， CP·CG=27， 求AC的长。
【答案】（1）解：∵AB⊥CD， AB为直径
∴
又∵
∴
∴∠DCE=∠ACD=α
（2）解：由 (1) 可得， AP=FP
设AP=FP=2a， BF=2a
则AB=6a，
连结OC， 得OC=OA=3a， OP=a
在Rt△OPC中，
而∠ADC=∠DCE=α
所以
（3）解：
∵由 (1) 得
∴∠DCA=∠DCE=∠AEC， AE=CD
∴CG=EG， AG=GD
又∵
设OP=x， 则.AP-FP=5-x
∴
=50-10x
∵∠ACG=∠E， ∠CAG=∠EAC
∴△CAG∽△EAC
∴-(2·CP-CG)·2·CP
∴
即
解得：
当x-2时，
同理，当 时
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由垂径定理知，又得，由此可得∠ACD的度数；
(2)由(1)知AP=PF，求出OC和OP的长，由勾股定理得CP的长，由此可得正切值；
(3)由(1)得CG=GE，AG=DG，设OP=x结合△CAG∽△EAC可得，求出x的值，即可得AC的长.
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