资源简介

浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2025-2026学年九年级下学期开学数学试卷
1．如果，那么下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列几何体的三视图相同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠A=88°，∠B=50°，AB=60，则点A到BC的距离（　　）
A． B． C． D．
5．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1-x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．461（1-x）2=180 D．461（1+x）2=180
6．如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面宽度AB=24cm，则水的最大深度是（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．13cm
7．如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B， C均在圆弧上， 经测量得∠ABC=146°， 则∠AOC的度数为(　　)
A．34° B．56° C．68° D．73°
8．若点A（-3，y1），B（1，y2）在抛物线y=3（x-2）2上，则y1、y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．无法判断
9．如图，在△ABC中，∠BAC与∠EBC的平分线相交于点H，BE=BC，点D在AC的延长线上，HG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CH，下列结论：①∠ACB=2∠AHB；②S△HAC：S△HAB=AC：AB；③BH垂直平分CE；④∠HCF=∠CHF；⑤GF+FC=GA，其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
10．如图，函数y=ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x=1：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③9a-3b+c=0；④5a+b+c=0；⑤若点A（a+1，y1），B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有（　　）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
11． 若∠A为锐角，且满足，则∠A的度数为　 　.
12．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，这些球除颜色外完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是　 　 .
13． 如图，D、E分别是的边AB、BC上的点，且，AE、CD相交于点O，若，则　 　 .
14．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为 　 　 .
15．二次函数y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c=0，则其图象不经过第　 　 象限.
16． 如图，AC，BD为菱形 ABCD 的对角线，将绕点 O 逆时针旋转至，使得点 E 在线段 CD 上，若 ，则 　 　.（用含 k 的代数式表示）
17．如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（3，3），C（4，2）.以原点O为位似中心将△ABC向右侧放大两倍得到△A'B'C'.
（1）在图中画出△A'B'C'；
（2）若△ABC内有一点P（a，b），则点P放大后的对应点的坐标是　 　.
18．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”.
（1）任意掷这枚骰子，掷出“6”朝上的概率是　 　；
（2）任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”朝上的概率是　 　；
（3）小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD.
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）若BC=16，AD=10，求△ABC的面积.
20．问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示.
外形参数；
如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成.抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边长AB=8cm，BC=6cm，抛物线L2的高度为4cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上.
问题解决：
如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2函数表达式.
21．如图1，点E为△ABC边BC的中点，D为线段EC上动点（点D不与点E，C重合），连接AD，DG平分∠ADB，交AB于点G.
（1）若∠ADC=120°，求∠BDG的度数；
（2）若DM⊥DG交AC于点M.
①求证：DM平分∠ADC；
②如图2，DF⊥AB交AB于点F，连接EF，PF⊥EF交AD于点P，∠DFP+∠B=2∠ADM，请判断AF与PF的大小关系，并说明理由.
22．下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.
已知：锐角∠MAN.
求作：射线AP，使得AP平分∠MAN.
作法：如图，
①在∠MAN内部任取一点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆，分别交射线AM，AN于点B，C；
③连接BC，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的同样长为半径画弧，两弧交于点D（点O，D在BC两侧）；
④作射线OD，交⊙O于点P，作射线AP.
所以射线AP就是所求作的射线.
根据小智设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接OB，OC，BD，CD.
，，
∴点O，D在BC的垂直平分线上.
，即.
=　 　　 　（填推理的依据）.
∴∠BAP=　 　.
是的角平分线
23．我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的对称点为”欣妮对”，这样的函数为”BY对称函数”.
（1）判断函数y=kx+b（k，b为常数）是否为”BY对称函数”，并说明理由.
（2）若关于x的函数是“BY对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求a的取值范围。
（3）已知“BY对称函数”y=x2+bx+c经过点A（0，-4），且与经过原点O的直线交于B，C两点，过点F（0，f）（其中f＜0）作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D，E，是否存在常数f，使OE⊥OD恒成立？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由.
24．已知四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，E是AB延长线上一点，连接AC，CE.
（1） 如图①，若CE交于点F，，，，求的度数；
（2） 如图②，若CE与相切于点C，延长AD交EC于点P，，，，求BE的长度.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，，，不一定等于10；
∴A，C，D都不符合题意，B符合题意；
故答案为：B .
【分析】利用比例的基本性质逐项判断解答即可．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、长方体的三视图都是矩形，但是矩形形状并不全等，该选项不符合题意；
B、正方体的三视图都是正方形，该选项符合题意；
C、圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是一个圆，该选项不符合题意；
D、圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为带圆心的圆，该选项不符合题意；
故答案为：B .
【分析】三根据几何体的三视图逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：
的图象开口向下，故本选项不符合题意；
的图象开口向下，故本选项不符合题意；
的图象开口向上，故本选项符合题意；
的图象开口向下，故本选项不符合题意；
故答案为： C.
【分析】二次函数 ①当a>0时，抛物线 的开口向上；②当a<0时，抛物线 的开口向下，据此判断即可.
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作，垂足为D，
在中，，
∴，
∴点A到的距离为，
故答案为：A .
【分析】过点A作于点D，在中，根据正弦的定义求出的长解答即可．
5．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均月增长率为x，
根据题意得，
故答案为：B .
【分析】设平均月增长率为x，根据增长率问题列方程即可解答即可.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连结，过点作半径于点，
故答案为：A .
【分析】连结，过点作半径于点，利用垂径定理求出AC=12cm，然后利用勾股定理求出OC长解答即可．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，补全过点A、B、C的圆，并任取一点D，
∵ABCD内接于圆O
∴∠B+∠D=180°
∴∠D=180°-∠B=180°-146°=34°
∵∠AOC=2∠D
∴∠AOC=68°
故选 ：C.
【分析】补全图形利用圆内接四边形的性质知∠D的度数，由此可得∠AOC的度数.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将，分别代入，得
，，
∴．
故答案为：C .
【分析】将x=-3和x=1代入，求出，的值，然后比较解答即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：，
故①正确；
∵平分，
∴H到，的距离相等，
∴，故②正确；
∵，平分，
∴垂直平分（三线合一），故③正确；
∵与的平分线相交于点H，
∴点H到，的距离相等，点H到，的距离相等，
∴点H到，的距离相等，
∴点H也位于的平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，故④正确；
由④得：，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
，故⑤正确；
综上可知，①②③④⑤正确．
故答案为：D .
【分析】利用角平分线的定义和三角形外角得到 ∠ACB=2∠AHB 判断①；根据角平分线的性质和三角形的面积公式求出比值判断②；根据三线合一判断③；④根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到 ∠HCF=∠CHF 判断④；由④的结论得，根据角平分线的定义与平行线的性质可得判断⑤解答即可．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线与轴有两个交点，
，
，故①符合题意；
②∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线对称轴在轴右侧，
∴与异号，即，
∵抛物线与轴交点在轴下方，
，故②不符合题意；
③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，
∴当时，，
，故③不符合题意；
④∵抛物线与轴的一个交点为，
，
∵抛物线对称轴为，
，
，
，故④符合题意；
∵，
∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，
故⑤不符合题意；
⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上，
时，有最小值，
（为任意实数），故⑥符合题意；
综上所述，①④⑥符合题意，共有个；
故答案为：B .
【分析】根据图象与轴有两个交点得到即可判断①；根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点位置得到a，b，c的取值范围判断②；根据图象的对称轴，利用抛物线的对称性得到另一个交点为，代入抛物线解析式判断③；根据图象抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴可得，将代入，判断④；根据，即可得出，根据二次函数增减性即可判断⑤；根据二次函数的最值判断⑥解答即可．
11．【答案】30°
【知识点】因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：将原等式移项得：，
方程两边同乘得：，
因式分解得：，
解得或．
因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去．
当时，
∴．
故答案为：30° .
【分析】解关于sinA的一元二次方程，然后根据正弦的取值范围得到，即可根据特殊角的三角函数值解答即可.
12．【答案】20个
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，
∴摸到白球的频率为，
∴口袋中白色球的个数为．
故答案为：20 .
【分析】先计算摸到白球的频率，即可得到摸到白球的概率，利用概率公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
，
又，
，
∵，
，
，
．
故答案为： .
【分析】先根据平行线得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的值，然后再推理得到，根据对应边成比例解答即可．
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长，
设圆锥的底面半径为r，则，
所以，
所以圆的直径为．
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面弧长等于底面圆的周长解答即可.
15．【答案】三
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：，
∴抛物线开口向上，
，
∴抛物线经过原点，
∴，
当时，，
∴或，
∴抛物线与轴的另一个交点横坐标为，
∵，，
∴，即另一个交点在轴正半轴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，，
∴，即对称轴在轴右侧，
当时，，
∵，，，，，，
∴，即时，恒为正，不存在且的点，
因此此函数的图象不经过第三象限．
故答案为： 三.
【分析】根据的取值范围，得到二次函数的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点位置，进而解答即可．
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接，设，
∵，为菱形的对角线，
∴，，，，
∵将绕点O逆时针旋转至，点E在线段上，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴
∴
；
故答案为：.
【分析】连接，设，根据菱形的性质可得，然后推理得到，然后根据两脚对应相等得到，即可得到，进而可得，，根据勾股定理求出，再根据正切的定义解答即可．
17．【答案】（1）解：如图所示：
（2）（2a，2b）
【知识点】作图﹣位似变换；图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是，
故答案为：．
【分析】(1)根据位似的性质作出顶点A，B，C点，然后依次连接得到 △A'B'C' 即可；
(2)根据关于原点位似比为k的点的横、纵坐标同时乘以k或-k解答即可．
18．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”，
故奇数的个数个，偶数个数为个，
∴掷出“偶数”的概率是，掷出“奇数”的概率是；
∵，
∴掷出“偶数”的概率较大，
故本游戏规则不公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”
∴标有“6”的面数为面，
∴掷出“6”的概率是，
故答案为：．
（2）∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面，
故3的倍数的数的面有个，
∴掷出“3的倍数”的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）求出标数字6的面数，根据概率公式解答即可；
（2）求出3的倍数的数的面数，利用概率公式计算即可；
（3）求出奇数面和偶数面的个数，分别求出概率，再比较解答即可．
19．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴△ACD为等腰三角形
（2）解：过点A作，垂足为H，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质得到，根据等角对等边得出即可得到，即可得到结论；
（2）过点A作，垂足为H，根据三线合一得到CH的值，再根据勾股定理求出AH的长，利用三角形面积公式解答即可．
20．【答案】（1）解：B（8，0），C（8，6），D（0，6）
（2）解：抛物线L1和L2的顶点坐标分别为（4，14），（4，-4）；
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，得，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，得，
解得；
则抛物线的表达式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边长，，
∴，，，，
∴，，；
故答案为：，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，
结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
故答案为：，；
【分析】（1）由矩形的性质即可得到点B，C，D的坐标；
（2）根据抛物线的对称性得到是抛物线对称轴公式，然后根据图中数据得出抛物线和的顶点坐标然后根据顶点式，利用待定系数法求出解析式即可．
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：①证明：∵DM⊥DG，
∴∠GDM=90°，
∴∠ADG+∠ADM=90°，∠BDG+∠CDM=90°，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG=∠ADG=ADB，
∴∠ADM=∠CDM，
∴DM平分∠ADC；
②解：AF与PF的大小关系为AF＞PF，理由：
由（2）①知：DM平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADM．
∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFE+∠DFE=90°．
∵PF⊥EF，
∴∠PFE=90°，
∴∠DFE+∠PFD=90°．
∴∠PFD=∠BFE，
∵∠DFP+∠B=2∠ADM，
∴∠BFE+∠B=2∠ADM=∠ADC，
∵∠FEC=∠BFE+∠B，
∴∠FEC=∠ADC，
∴FE∥AD，
∵PF⊥EF，
∴PF⊥AD，
∴∠APF=90°，
∵斜边大于直角边，
∴AF＞PF
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义解答即可．
（2）①根据垂直的定义得到得出，然后根据等交的余角相等得到结论即可；
②根据垂直得出，然后利用外角得到，证出，即可证，即可得到，再根据垂线段最短证明即可．
22．【答案】（1）解：如图所示；射线AP即为所求；
（2）；垂径定理；∠CAP
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）证明：连接，，，．
，，
点，在的垂直平分线上．
，即．
（垂径定理）（填推理的依据）．
．
是的角平分线，
故答案为：，垂径定理，．
【分析】（1）根据题目所给作图步骤作出图形解答；
（2）连接，，，．得到O，在的垂直平分线上．即可得到．根据垂径定理可得，再由同圆周角定理的推论可得，即可得到结论．
23．【答案】（1）解：当时，函数（，为常数）是“对称函数”，当时，函数（，为常数）不是“对称函数”，理由如下：
当时，，此时函数图象上存在关于轴对称的点，故此时函数（，为常数）是“对称函数”，
当时，不存在关于轴对称的点，
若存在，设其中一点，则关于轴的对称点为，
∵，
∴不在函数图象上，
故当时，函数（，为常数）不是“对称函数”；
（2）解：∵关于的函数是“对称函数”，
∴设，，， 且点，关于轴对称，
∴，，
∴，
∴，
∵仅有一组“欣妮对”，
∴，
∴；
（3）解：存在常数，使恒成立，
∵“对称函数”经过点，
∴，
∴，
∵是“对称函数”，
∴函数的对称轴是轴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵直线与直线的交点为，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵直线与直线的交点为，
∴，
设经过原点O的直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理可得：，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴存在常数，使恒成立．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）分析和两种情况，根据“对称函数”的定义判断解答即可；
（2）设，，， 将两点分别代入解析式可得，，从而得出，利用根情况可得判别式，求出a的值解答即可；
（3）先求出函数解析式为，然后根据待定系数法求出直线、的解析式，再分别与抛物线解析式联立，求出交点、的坐标，利用勾股定理解答即可．
24．【答案】（1）解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，，，设与交于点H，
∵，
∵与相切于点C，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到可得，再根据三角形的外角性质解答即可；
（2）连接，，，设与交于点H，根据切线的性质、垂径定理的推论和直径所对的圆周角是直角得到，即可得到四边形是矩形，然后根据勾股定理求得出AD长，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
1 / 1浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2025-2026学年九年级下学期开学数学试卷
1．如果，那么下列各式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，，，不一定等于10；
∴A，C，D都不符合题意，B符合题意；
故答案为：B .
【分析】利用比例的基本性质逐项判断解答即可．
2．下列几何体的三视图相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、长方体的三视图都是矩形，但是矩形形状并不全等，该选项不符合题意；
B、正方体的三视图都是正方形，该选项符合题意；
C、圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是一个圆，该选项不符合题意；
D、圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为带圆心的圆，该选项不符合题意；
故答案为：B .
【分析】三根据几何体的三视图逐项判断解答即可．
3．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：
的图象开口向下，故本选项不符合题意；
的图象开口向下，故本选项不符合题意；
的图象开口向上，故本选项符合题意；
的图象开口向下，故本选项不符合题意；
故答案为： C.
【分析】二次函数 ①当a>0时，抛物线 的开口向上；②当a<0时，抛物线 的开口向下，据此判断即可.
4．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得∠A=88°，∠B=50°，AB=60，则点A到BC的距离（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作，垂足为D，
在中，，
∴，
∴点A到的距离为，
故答案为：A .
【分析】过点A作于点D，在中，根据正弦的定义求出的长解答即可．
5．某厂家2022年2月份生产口罩产量为180万只，4月份生产口罩的产量为461万只，设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）
A．180（1-x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．461（1-x）2=180 D．461（1+x）2=180
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均月增长率为x，
根据题意得，
故答案为：B .
【分析】设平均月增长率为x，根据增长率问题列方程即可解答即可.
6．如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是13cm，其中水面宽度AB=24cm，则水的最大深度是（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．13cm
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连结，过点作半径于点，
故答案为：A .
【分析】连结，过点作半径于点，利用垂径定理求出AC=12cm，然后利用勾股定理求出OC长解答即可．
7．如图，甲同学利用尺规作图找到了一件圆形“青花瓷盘”文物瓷片的圆心O，点A，B， C均在圆弧上， 经测量得∠ABC=146°， 则∠AOC的度数为(　　)
A．34° B．56° C．68° D．73°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，补全过点A、B、C的圆，并任取一点D，
∵ABCD内接于圆O
∴∠B+∠D=180°
∴∠D=180°-∠B=180°-146°=34°
∵∠AOC=2∠D
∴∠AOC=68°
故选 ：C.
【分析】补全图形利用圆内接四边形的性质知∠D的度数，由此可得∠AOC的度数.
8．若点A（-3，y1），B（1，y2）在抛物线y=3（x-2）2上，则y1、y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1=y2 C．y1＞y2 D．无法判断
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将，分别代入，得
，，
∴．
故答案为：C .
【分析】将x=-3和x=1代入，求出，的值，然后比较解答即可．
9．如图，在△ABC中，∠BAC与∠EBC的平分线相交于点H，BE=BC，点D在AC的延长线上，HG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CH，下列结论：①∠ACB=2∠AHB；②S△HAC：S△HAB=AC：AB；③BH垂直平分CE；④∠HCF=∠CHF；⑤GF+FC=GA，其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：，
故①正确；
∵平分，
∴H到，的距离相等，
∴，故②正确；
∵，平分，
∴垂直平分（三线合一），故③正确；
∵与的平分线相交于点H，
∴点H到，的距离相等，点H到，的距离相等，
∴点H到，的距离相等，
∴点H也位于的平分线上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，故④正确；
由④得：，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
，故⑤正确；
综上可知，①②③④⑤正确．
故答案为：D .
【分析】利用角平分线的定义和三角形外角得到 ∠ACB=2∠AHB 判断①；根据角平分线的性质和三角形的面积公式求出比值判断②；根据三线合一判断③；④根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到 ∠HCF=∠CHF 判断④；由④的结论得，根据角平分线的定义与平行线的性质可得判断⑤解答即可．
10．如图，函数y=ax2+bx+c经过点（3，0），对称轴为直线x=1：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③9a-3b+c=0；④5a+b+c=0；⑤若点A（a+1，y1），B（a+2，y2）在抛物线上，则y1＞y2；⑥am2+bm≥a+b（m为任意实数），其中结论正确的有（　　）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线与轴有两个交点，
，
，故①符合题意；
②∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线对称轴在轴右侧，
∴与异号，即，
∵抛物线与轴交点在轴下方，
，故②不符合题意；
③∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，
∴当时，，
，故③不符合题意；
④∵抛物线与轴的一个交点为，
，
∵抛物线对称轴为，
，
，
，故④符合题意；
∵，
∵抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，
故⑤不符合题意；
⑥抛物线对称轴为，抛物线开口向上，
时，有最小值，
（为任意实数），故⑥符合题意；
综上所述，①④⑥符合题意，共有个；
故答案为：B .
【分析】根据图象与轴有两个交点得到即可判断①；根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点位置得到a，b，c的取值范围判断②；根据图象的对称轴，利用抛物线的对称性得到另一个交点为，代入抛物线解析式判断③；根据图象抛物线与轴的一个交点为，根据对称轴可得，将代入，判断④；根据，即可得出，根据二次函数增减性即可判断⑤；根据二次函数的最值判断⑥解答即可．
11． 若∠A为锐角，且满足，则∠A的度数为　 　.
【答案】30°
【知识点】因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：将原等式移项得：，
方程两边同乘得：，
因式分解得：，
解得或．
因为为锐角，满足，当时，，不符合锐角定义，舍去．
当时，
∴．
故答案为：30° .
【分析】解关于sinA的一元二次方程，然后根据正弦的取值范围得到，即可根据特殊角的三角函数值解答即可.
12．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，这些球除颜色外完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和35%，则口袋中白色球的个数可能是　 　 .
【答案】20个
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在和，
∴摸到白球的频率为，
∴口袋中白色球的个数为．
故答案为：20 .
【分析】先计算摸到白球的频率，即可得到摸到白球的概率，利用概率公式计算即可.
13． 如图，D、E分别是的边AB、BC上的点，且，AE、CD相交于点O，若，则　 　 .
【答案】
【知识点】8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
，
又，
，
∵，
，
，
．
故答案为： .
【分析】先根据平行线得到，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的值，然后再推理得到，根据对应边成比例解答即可．
14．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的直径为 　 　 .
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长，
设圆锥的底面半径为r，则，
所以，
所以圆的直径为．
故答案为：．
【分析】根据圆锥的侧面弧长等于底面圆的周长解答即可.
15．二次函数y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c=0，则其图象不经过第　 　 象限.
【答案】三
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：，
∴抛物线开口向上，
，
∴抛物线经过原点，
∴，
当时，，
∴或，
∴抛物线与轴的另一个交点横坐标为，
∵，，
∴，即另一个交点在轴正半轴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，，
∴，即对称轴在轴右侧，
当时，，
∵，，，，，，
∴，即时，恒为正，不存在且的点，
因此此函数的图象不经过第三象限．
故答案为： 三.
【分析】根据的取值范围，得到二次函数的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点位置，进而解答即可．
16． 如图，AC，BD为菱形 ABCD 的对角线，将绕点 O 逆时针旋转至，使得点 E 在线段 CD 上，若 ，则 　 　.（用含 k 的代数式表示）
【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接，设，
∵，为菱形的对角线，
∴，，，，
∵将绕点O逆时针旋转至，点E在线段上，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，，
∵，
∴
∴
；
故答案为：.
【分析】连接，设，根据菱形的性质可得，然后推理得到，然后根据两脚对应相等得到，即可得到，进而可得，，根据勾股定理求出，再根据正切的定义解答即可．
17．如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（3，3），C（4，2）.以原点O为位似中心将△ABC向右侧放大两倍得到△A'B'C'.
（1）在图中画出△A'B'C'；
（2）若△ABC内有一点P（a，b），则点P放大后的对应点的坐标是　 　.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）（2a，2b）
【知识点】作图﹣位似变换；图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】内有一点，则点P放大后的对应点的坐标是，
故答案为：．
【分析】(1)根据位似的性质作出顶点A，B，C点，然后依次连接得到 △A'B'C' 即可；
(2)根据关于原点位似比为k的点的横、纵坐标同时乘以k或-k解答即可．
18．如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”.
（1）任意掷这枚骰子，掷出“6”朝上的概率是　 　；
（2）任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”朝上的概率是　 　；
（3）小明和小颖利用这个正二十面体形状的骰子做游戏，任意掷这枚骰子，掷出“奇数”朝上小明获胜，掷出“偶数”朝上小颖获胜，这个游戏公平吗？请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”，
故奇数的个数个，偶数个数为个，
∴掷出“偶数”的概率是，掷出“奇数”的概率是；
∵，
∴掷出“偶数”的概率较大，
故本游戏规则不公平．
【知识点】游戏公平性；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”
∴标有“6”的面数为面，
∴掷出“6”的概率是，
故答案为：．
（2）∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面，
故3的倍数的数的面有个，
∴掷出“3的倍数”的概率是，
故答案为：．
【分析】（1）求出标数字6的面数，根据概率公式解答即可；
（2）求出3的倍数的数的面数，利用概率公式计算即可；
（3）求出奇数面和偶数面的个数，分别求出概率，再比较解答即可．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，AD∥BC，连接CD.
（1）求证：△ACD是等腰三角形；
（2）若BC=16，AD=10，求△ABC的面积.
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴△ACD为等腰三角形
（2）解：过点A作，垂足为H，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和平行线的性质得到，根据等角对等边得出即可得到，即可得到结论；
（2）过点A作，垂足为H，根据三线合一得到CH的值，再根据勾股定理求出AH的长，利用三角形面积公式解答即可．
20．问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示.
外形参数；
如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成.抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边长AB=8cm，BC=6cm，抛物线L2的高度为4cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上.
问题解决：
如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出B，C，D三点的坐标；
（2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2函数表达式.
【答案】（1）解：B（8，0），C（8，6），D（0，6）
（2）解：抛物线L1和L2的顶点坐标分别为（4，14），（4，-4）；
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，得，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，得，
解得；
则抛物线的表达式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边长，，
∴，，，，
∴，，；
故答案为：，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，
结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
故答案为：，；
【分析】（1）由矩形的性质即可得到点B，C，D的坐标；
（2）根据抛物线的对称性得到是抛物线对称轴公式，然后根据图中数据得出抛物线和的顶点坐标然后根据顶点式，利用待定系数法求出解析式即可．
21．如图1，点E为△ABC边BC的中点，D为线段EC上动点（点D不与点E，C重合），连接AD，DG平分∠ADB，交AB于点G.
（1）若∠ADC=120°，求∠BDG的度数；
（2）若DM⊥DG交AC于点M.
①求证：DM平分∠ADC；
②如图2，DF⊥AB交AB于点F，连接EF，PF⊥EF交AD于点P，∠DFP+∠B=2∠ADM，请判断AF与PF的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）解：①证明：∵DM⊥DG，
∴∠GDM=90°，
∴∠ADG+∠ADM=90°，∠BDG+∠CDM=90°，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG=∠ADG=ADB，
∴∠ADM=∠CDM，
∴DM平分∠ADC；
②解：AF与PF的大小关系为AF＞PF，理由：
由（2）①知：DM平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADM．
∵DF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFE+∠DFE=90°．
∵PF⊥EF，
∴∠PFE=90°，
∴∠DFE+∠PFD=90°．
∴∠PFD=∠BFE，
∵∠DFP+∠B=2∠ADM，
∴∠BFE+∠B=2∠ADM=∠ADC，
∵∠FEC=∠BFE+∠B，
∴∠FEC=∠ADC，
∴FE∥AD，
∵PF⊥EF，
∴PF⊥AD，
∴∠APF=90°，
∵斜边大于直角边，
∴AF＞PF
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义解答即可．
（2）①根据垂直的定义得到得出，然后根据等交的余角相等得到结论即可；
②根据垂直得出，然后利用外角得到，证出，即可证，即可得到，再根据垂线段最短证明即可．
22．下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.
已知：锐角∠MAN.
求作：射线AP，使得AP平分∠MAN.
作法：如图，
①在∠MAN内部任取一点O；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆，分别交射线AM，AN于点B，C；
③连接BC，分别以点B，C为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$的同样长为半径画弧，两弧交于点D（点O，D在BC两侧）；
④作射线OD，交⊙O于点P，作射线AP.
所以射线AP就是所求作的射线.
根据小智设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接OB，OC，BD，CD.
，，
∴点O，D在BC的垂直平分线上.
，即.
=　 　　 　（填推理的依据）.
∴∠BAP=　 　.
是的角平分线
【答案】（1）解：如图所示；射线AP即为所求；
（2）；垂径定理；∠CAP
【知识点】垂径定理；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（2）证明：连接，，，．
，，
点，在的垂直平分线上．
，即．
（垂径定理）（填推理的依据）．
．
是的角平分线，
故答案为：，垂径定理，．
【分析】（1）根据题目所给作图步骤作出图形解答；
（2）连接，，，．得到O，在的垂直平分线上．即可得到．根据垂径定理可得，再由同圆周角定理的推论可得，即可得到结论．
23．我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的对称点为”欣妮对”，这样的函数为”BY对称函数”.
（1）判断函数y=kx+b（k，b为常数）是否为”BY对称函数”，并说明理由.
（2）若关于x的函数是“BY对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求a的取值范围。
（3）已知“BY对称函数”y=x2+bx+c经过点A（0，-4），且与经过原点O的直线交于B，C两点，过点F（0，f）（其中f＜0）作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D，E，是否存在常数f，使OE⊥OD恒成立？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当时，函数（，为常数）是“对称函数”，当时，函数（，为常数）不是“对称函数”，理由如下：
当时，，此时函数图象上存在关于轴对称的点，故此时函数（，为常数）是“对称函数”，
当时，不存在关于轴对称的点，
若存在，设其中一点，则关于轴的对称点为，
∵，
∴不在函数图象上，
故当时，函数（，为常数）不是“对称函数”；
（2）解：∵关于的函数是“对称函数”，
∴设，，， 且点，关于轴对称，
∴，，
∴，
∴，
∵仅有一组“欣妮对”，
∴，
∴；
（3）解：存在常数，使恒成立，
∵“对称函数”经过点，
∴，
∴，
∵是“对称函数”，
∴函数的对称轴是轴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵直线与直线的交点为，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵直线与直线的交点为，
∴，
设经过原点O的直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理可得：，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴存在常数，使恒成立．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象上点的坐标特征；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）分析和两种情况，根据“对称函数”的定义判断解答即可；
（2）设，，， 将两点分别代入解析式可得，，从而得出，利用根情况可得判别式，求出a的值解答即可；
（3）先求出函数解析式为，然后根据待定系数法求出直线、的解析式，再分别与抛物线解析式联立，求出交点、的坐标，利用勾股定理解答即可．
24．已知四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，E是AB延长线上一点，连接AC，CE.
（1） 如图①，若CE交于点F，，，，求的度数；
（2） 如图②，若CE与相切于点C，延长AD交EC于点P，，，，求BE的长度.
【答案】（1）解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，，，设与交于点H，
∵，
∵与相切于点C，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到可得，再根据三角形的外角性质解答即可；
（2）连接，，，设与交于点H，根据切线的性质、垂径定理的推论和直径所对的圆周角是直角得到，即可得到四边形是矩形，然后根据勾股定理求得出AD长，再根据两角对应相等得到，利用对应边成比例解答即可．
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