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7．2.2　平行线的判定
1．判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行．
2．判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行．
3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角互补，两直线平行．
考点1?　分析直线平行的条件
【典例1】一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是(A)
A.先向左拐30°，再向右拐30°
B．先向右拐50°，再向左拐30°
C．先向右拐50°，再向右拐130°
D．先向左拐50°，再向左拐130°
解析：如图所示，两次拐弯后行驶方向相同，说明AB∥CD，怎样才能使AB∥CD呢？只能让∠1＝∠2.即同位角相等，两直线平行．
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两条直线平行．
【变式训练】
1．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置(其中A点位置始终不变)，当∠BAD＝30°或150°时，CD∥AB.
考点2?　判定两直线平行
【典例2】按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1＋∠2＝90°.
求证：DE∥BC.
证明：∵CD⊥AB(已知)，
∴∠1＋∠EDC＝90°(垂直的定义).
∵∠1＋∠2＝90°(已知)，
∴∠EDC＝∠2(同角的余角相等).
∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行).
证明：∵CD⊥AB(已知)，
∴∠1＋∠EDC＝90°(垂直的定义).
∵∠1＋∠2＝90°(已知)，
∴∠EDC＝∠2(同角的余角相等).
∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行).
要证明两直线平行，先要根据图形确定相关的同位角、内错角或同旁内角，而后分析如何通过已知条件达成目标，最后梳理证明过程．
【变式训练】
2．如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，试说明：CE∥DF.请完成下面的解题过程．
解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB(已知)，
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB(角平分线的定义)，
又∵∠ABC＝∠ACB(已知)，
∴∠DBC＝∠ECB．
又∵∠DBF＝∠F(已知)，
∴∠F＝∠ECB(等量代换)，
∴CE∥DF(同位角相等，两直线平行).
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB(已知)，
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB(角平分线的定义).
又∵∠ABC＝∠ACB(已知)，∴∠DBC＝∠ECB.
又∵∠DBF＝∠F(已知)，∴∠F＝∠ECB(等量代换)，
∴CE∥DF(同位角相等，两直线平行).
故答案为ABC；ACB；DBC；ECB；ECB；同位角相等，两直线平行．
知识点1?　同位角相等，两直线平行
1．(广西南宁青秀区校级开学)如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是(B)
A.∠2＝∠1 B．∠1＝∠5
C．∠3＝∠5 D．∠2＋∠5＝180°
2．(河北唐山校级二模)如图，把AB，CD，EF三根木条钉在一起，使之可以在连接点M，N处自由旋转．若∠1＝60°，∠2＝80°，则如何旋转木条AB才能使它与木条CD平行．以下说法正确的是(A)
小明说：把木条AB绕点M逆时针旋转20°；
小刚说：把木条AB绕点M顺时针旋转150°.
A．小明的操作正确，小刚的操作错误
B．小明的操作错误，小刚的操作正确
C．小明和小刚的操作都正确
D．小明和小刚的操作都错误
知识点2?　内错角相等，两直线平行
3．(湖北恩施期中)下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是(B)
4．(宁夏银川金凤区校级期末)如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是内错角相等，两直线平行．
知识点3?　同旁内角互补，两直线平行
5．(广东揭阳普宁市月考)如图，AC，BC分别平分∠DAB，∠ABE，且∠1与∠2互余，则GD∥HE．
∵AC，BC分别平分∠DAB，∠ABE，
∴∠1＝∠BAD，∠2＝∠ABE，∴∠1＋∠2＝(∠BAD＋∠ABE).∵∠1＋∠2＝90°，∴∠BAD＋∠ABE＝2×90°＝180°，
∴GD∥HE，故答案为GD，HE.
6．如图，若∠1＝100°，∠4＝80°，则AB∥CD，理由是同旁内角互补，两直线平行；
若∠3＝70°，则∠2＝110°时，可推出AB∥CD.
易错易混点　没有分类讨论导致出错
7．如图，一个弯形管道的拐角∠ABC＝120°，若工人师傅准备在点C处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分CD与AB平行，则加工后拐角∠BCD的度数是60或120度．
8．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，交点为M，N.∠AMN＝60°，∠DNF＝120°.对AB∥CD的说理过程中的理由表述错误的是(D)
∵∠AMN＋∠DNF＝60°＋120°＝180°(☆)； ∠DNF＝∠CNM(○)； ∴∠AMN＋∠CNM＝180°(□)； ∴AB∥CD(△).
A.☆代表已知
B．○代表对顶角相等
C．□代表等量代换
D．△代表两直线平行，同旁内角互补
9．(海南万宁月考)如图，下列能判定AB∥CD的条件有(C)
(1)∠B＋∠BCD＝180°；(2)∠1＝∠2；
(3)∠3＝∠4；(4)∠B＝∠5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(1)由条件，可知AB∥CD，符合题意；(2)由条件，可知AD∥BC，不符合题意；(3)∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，符合题意；(4)∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，符合题意．综上所述，能判定AB∥CD的条件有3个．
10．(海南三亚崖州区校级月考)如图，点G在直线CD上，已知∠BAG＋∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC.请证明AE∥GF.
∵∠BAG＋∠AGD＝180°，
∠AGC＋∠AGD＝180°，
∴∠BAG＝∠AGC.
∵EA平分∠BAG，
∴∠1＝∠BAG.
∵FG平分∠AGC，∴∠2＝∠AGC，
∴∠1＝∠2，
∴AE∥GF.
【母题P15T3】在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知∠2是直角，要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角？为什么？
度量∠3，如果∠3是直角，那么∠2＋∠3＝180°，则可以判断两条直线平行，理由：同旁内角互补，两直线平行．(答案不唯一)
【变式】　(湖北武汉江夏区模拟)如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是(C)
A．∠2＝90°　　　　B．∠3＝90°
C．∠4＝90° D．∠5＝90°
11．(数学抽象)如图1，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．
(1)若∠DCF＝70°，试判断射线AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若∠DCF＝60°，射线AB，CD分别绕点A，点C以1°/s和6°/s的速度同时顺时针转动，设转动时间为t s，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某一时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由.
　　
(1)AB∥CD.理由如下：
∵∠DCF＝70°，∴∠ACD＝180°－∠DCF＝110°.
∵∠BAF＝110°，
∴∠BAF＝∠ACD，∴AB∥CD.
(2)存在．分三种情况：
①如图1，当AB与CD在EF的异侧时，
∵(180°－60°)÷6°＝20(s)，∴0＜t＜20.
由题意，得∠ACD＝180°－60°－6t°＝120°－6t°，∠BAC＝110°－t°，
要使AB∥CD，则需∠ACD＝∠BAC，
即120°－6t°＝110°－t°，解得t＝2；
②如图2，当CD转动到与AB都在EF的右侧时，
∵(360°－60°)÷6°＝50(s)，
∴20＜t＜50.
由题意，得∠DCF＝360°－6t°－60°＝300°－6t°，∠BAC＝110°－t°，
要使AB∥CD，则需∠DCF＝∠BAC，
即300°－6t°＝110°－t°，解得t＝38；
③如图3，当CD转动到与AB都在EF的左侧时，∵射线CD转动一周所用的时间为360°÷6°＝60(s)，在这段时间内，射线AB一直在EF的右侧，∴此情况不存在．
综上所述，满足条件的t值为2或38.7．2.2　平行线的判定
1．判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角 ，那么这两条直线平行．简单地说，同位角 ，两直线平行．
2．判定方法二：两条直线被第三条直线所截，如果内错角 ，那么这两条直线平行．简单地说，内错角 ，两直线平行．
3．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 ，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角 ，两直线平行．
考点1?　分析直线平行的条件
【典例1】一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )
A.先向左拐30°，再向右拐30°
B．先向右拐50°，再向左拐30°
C．先向右拐50°，再向右拐130°
D．先向左拐50°，再向左拐130°
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两条直线平行．
【变式训练】
1．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置(其中A点位置始终不变)，当∠BAD＝ 时，CD∥AB.
考点2?　判定两直线平行
【典例2】按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1＋∠2＝90°.
求证：DE∥BC.
要证明两直线平行，先要根据图形确定相关的同位角、内错角或同旁内角，而后分析如何通过已知条件达成目标，最后梳理证明过程．
【变式训练】
2．如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，试说明：CE∥DF.请完成下面的解题过程．
∴∠DBC＝∠ ，∠ECB＝∠ (角平分线的定义)，
又∵∠ABC＝∠ACB(已知)，
∴∠ ＝∠ ．
又∵∠DBF＝∠F(已知)，
∴∠F＝∠ (等量代换)，
∴CE∥DF( ).
知识点1?　同位角相等，两直线平行
1．(广西南宁青秀区校级开学)如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是( )
A.∠2＝∠1 B．∠1＝∠5
C．∠3＝∠5 D．∠2＋∠5＝180°
2．(河北唐山校级二模)如图，把AB，CD，EF三根木条钉在一起，使之可以在连接点M，N处自由旋转．若∠1＝60°，∠2＝80°，则如何旋转木条AB才能使它与木条CD平行．以下说法正确的是( )
小明说：把木条AB绕点M逆时针旋转20°；
小刚说：把木条AB绕点M顺时针旋转150°.
A．小明的操作正确，小刚的操作错误
B．小明的操作错误，小刚的操作正确
C．小明和小刚的操作都正确
D．小明和小刚的操作都错误
知识点2?　内错角相等，两直线平行
3．(湖北恩施期中)下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( )
4．(宁夏银川金凤区校级期末)如图，将两个完全相同的三角尺的斜边重合放在同一平面内，可以画出两条互相平行的直线．这样画的依据是 ．
知识点3?　同旁内角互补，两直线平行
5．(广东揭阳普宁市月考)如图，AC，BC分别平分∠DAB，∠ABE，且∠1与∠2互余，则 ∥ ．
6．如图，若∠1＝100°，∠4＝80°，则 ∥ ，理由是 ；
若∠3＝70°，则∠2＝ 时，可推出AB∥CD.
易错易混点　没有分类讨论导致出错
7．如图，一个弯形管道的拐角∠ABC＝120°，若工人师傅准备在点C处对管道进行加工拐弯，要保证拐弯的部分CD与AB平行，则加工后拐角∠BCD的度数是 度．
8．如图，已知直线AB，CD被直线EF所截，交点为M，N.∠AMN＝60°，∠DNF＝120°.对AB∥CD的说理过程中的理由表述错误的是( )
∵∠AMN＋∠DNF＝60°＋120°＝180°(☆)； ∠DNF＝∠CNM(○)； ∴∠AMN＋∠CNM＝180°(□)； ∴AB∥CD(△).
A.☆代表已知
B．○代表对顶角相等
C．□代表等量代换
D．△代表两直线平行，同旁内角互补
9．(海南万宁月考)如图，下列能判定AB∥CD的条件有( )
(1)∠B＋∠BCD＝180°；(2)∠1＝∠2；
(3)∠3＝∠4；(4)∠B＝∠5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．(海南三亚崖州区校级月考)如图，点G在直线CD上，已知∠BAG＋∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC.请证明AE∥GF.
【母题P15T3】在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知∠2是直角，要判断两条钢轨是否平行，只需要再度量图中标出的哪个角？为什么？
【变式】　(湖北武汉江夏区模拟)如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是( )
A．∠2＝90°　　　　B．∠3＝90°
C．∠4＝90° D．∠5＝90°
11．(数学抽象)如图1，直线EF上有两点A，C，分别引两条射线AB，CD，∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．
(1)若∠DCF＝70°，试判断射线AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若∠DCF＝60°，射线AB，CD分别绕点A，点C以1°/s和6°/s的速度同时顺时针转动，设转动时间为t s，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某一时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由.
　　

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