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2025一2026学年第二学期高二年级数学学科期中考试试卷
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1、在复平面内，复数z=(1+)i,则z的共轭复数z对应的点的坐标是()
(A)(1,1)
(B)(1,-1)
(C)(-1,1)
(D)(-1,-1)
2、点P在曲线y=x3一x+2上，设曲线在点P处切线的倾斜角为a,则角a的取值范围()
(A)[o,
(B)[0,)v
C.(0,)u(]
D.,
3、在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆⊙0交于点P,且c0sa=
一点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧P贝的长为
牙，则点Q的横坐标为()
(A)-5
4
(B)15
4
(C)-
(D)
4、设函数f(x)=lnx的导函数为f'(x),则()
(A)f'(3)(B)f'(3)(C)f'(2)(D)f'(2)5、如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC和△ABD是边长为2的等边三角形，
平面ABC⊥平面ABD,则CD=()
(A)V2
(B)2
(C)√6
(D)2V2
6、如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个
铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，
可用于测量物体质量.把铜环权的质量从小到大排列后，前三项
成等差数列，后七项成公比为2的等比数列，其中质量最小的为
1铢，最大的为8两（古制1两=24铢)，若某物体的质量恰为第3,5,8枚铜环权的质
量和，则该物体的质量为()
(A)4两15铢(B)4两5铢
(C)3两15铢
(D)3两5铢
试卷第1页，共6页
7、已知m>0,n>0,直线y=忌x+2n与曲线y=3mx-m+4相切，则异+的最小
值是()
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
8、在等比数列{an}中，a>0.则“a>a1”是“a>aw+3”的（)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9、己知A、B是圆O:x2+y2=4上两个动点，点P的坐标为(2,1)，若PA⊥PB,则
线段AB长度的最大值为()
(A)3+√2
(B)2+√5
(C)3V2
(D)√5+√5
10、对于无穷数列{an}和正整数k(k≥2)，若存在，n,…,n满足na=a=…=8,则称数列{Q,}具有性质R.下列选项中错误的是（）
nk
(A)若a,=n，则数列{an}不具有性质B
(B)若an=n-1+cos(nπ)，则数列{an}具有性质Po2s
(C)存在数列{an}和{b},使得{an}和{b,}均不具有性质B,且{an+bn}具有性质Po2
D)若数列{an}和{b.}均具有性质P2s，则{an+b,}具有性质P2s
二、填空题：共7小题，每小题4分，共28分
11、已知函数)=0x,则f'(孕一
12、在长方形ABCD中，|AB=1,B距=BC,且AB.AE=AD.A正，则1AD1=,
AE.AC=
试卷第2页，共6页选择题
1—5 D B A B C 6-10 A C B D D
填空题
11、 12、 2 13、 4 14、 15、b16、-1
17、 ①②③
16、（Ⅰ）当 时， ，
因为 是等比数列，所以 .
又因为 ，所以 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，
因为 ，且 ，{ 或者 }
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
.
19、【详解】（1）因为底面 是菱形，所以 是 中点，
因为 E是棱 PA的中点，所以 ，
又因为 平面 PCD, 平面 PCD,
所以 平面 PCD.
（2）因为 ， 是 的中点，所以 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又 ，所以 两两垂直，
以 为原点建立空间直角坐标系 ,
因为菱形的边长为 2，
所以 ,
所以 设
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，
由 得 所以
取 ，所以 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ,
平面 PAC与平面 PCD的夹角的余弦值为 ,
所以 ，所以
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 .
所以线段 OP的长为 .
20、【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以，曲线 在点 处的切线方程 ，即 ．
（2）函数 的定义域为 ，
所以， ，
所以，当 时， 在 上恒成立，函数 在 上单调递增，
当 时， 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
综上，当 时，增区间为 ，无减区间；
当 时， 减区间为 ，增区间为 .
（3）由（2）知，当 时， 在 上单调递减， 在 单调递增.
所以，
因为 ， 得 ，
所以，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以， ，
因为 和 有相同的最小值，
所以 ，即 ，
令 ， ，
令 ， ，
所以，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
所以， 在 上单调递增，
因为 ，
所以， 等价于
即 的值为 .
21、【详解】（1）在 中，由 及正弦定理，得 ，
而 ，则 ，解得 ，又 ，
所以 .
（2）选择条件①： ，而 ，余弦函数 在 上单调递减，
则 ， ，与 矛盾，因此 不存在.
选择条件②： ，由（1）及余弦定理 ， ，
得 ，解得 ， ，经检验 存在且唯一确定，
所以 的面积 .
选择条件③：CD为 AB边上的高，且 ，则 ，
由（1）及余弦定理 ， ，
得 ，解得 ， ，经检验 存在且唯一确定，
所以 的面积 .
22、 (1)f(x)=xln(x+1)-ax2的定义域为{x|x>-1}.
因为 f(0)=0ln(0+1)-a·02=0,
因为 f (x)=ln(x+1)+ -2ax,所以 f (0)=ln(0+1)+ -2a·0=0,
所以切线的方程为 y=0.
(2)令 g(x)=f (x)=ln(x+1)+ -2ax(x>-1),
则 g (x)= + -2a.
因为 x>-1且 a<0,
所以 g (x)>0在(-1,+∞)上恒成立,
所以 f (x)在(-1,+∞)上单调递增,且 f (0)=0,
所以 x, f (x), f(x)在区间(-1,+∞)的变化情况如下表:
x (-1,0) 0 (0,+∞)
f (x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当 x=0时, f(x)取得极小值,问题得证.
(3)当 a≤0或 a=1时,函数 f(x)有一个零点;
当 a>0且 a≠1时,函数 f(x)有两个零点.
23、解：（Ⅰ）满足条件的答案有 4组：分别为
；
；
；
． ……… 3分
（Ⅱ）记等差数列 的公差为 ，
由 ， ， ，
得 ，则 . …………… 5分
由 = ，得 . …………… 6分
因为 ，且 和 均为各项互不相等的 项数列，
所以 ， …………… 7分
所以 ，即 .
所以公差 . …………… 8分
不妨设公差 ，则 .
而 只能由 和 得到，去除两端的数后 只能由 和 得到……以此类推，于是
总为定值 . …………… 10分
（Ⅲ）由题意，数列 中有 个不同的整数，
所以 的值大于或等于 ，当且仅当数列 为 个连续整数时取得等号.
当 为偶数时，若存在数列 ，使得 ，则 .
由 为偶数，知 为奇数，则 不可能为 .
这与 矛盾，
所以当 为偶数时， . …………… 12分
且当 为偶数时，如果数列 ；
数列 ；
那么数列 ；
此时满足 . …………… 13分
当 为奇数时，
如果数列 ；
数列 ；
那么数列 ；
此时 .
综上，当 为偶数时， 最小值为 ；当 为奇数时， 最小值为 .
…………… 15分

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