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哈尔滨市第六中学校 2024 级高二下学期期中考试
数学试题
一、单选题(本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．)
1．设函数 f x 在 x x f x x f x 0处存在导数为 2，则 lim 0 0 （ ）
x 0 2 x
2
A．2 B．1 C． D．6
3
2．已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn,a1 a3 30,S4 120，则其公比 q （ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 3
3．曲线 f (x) x a x在点 (1, f (1))处的切线与直线 y 2x 5平行，则 a （ ）
A．0 B． 2 C．1 D．3
4．已知 x 0是函数 f x x3 ax2 a2 a x 2的极小值点，则 f a 1 （ ）
A． 2 B．0 C． 1 D． 1或 2
π
5．已知函数 f (x) ax tan x在[0, ]上单调递增，则实数 a的最小值为（ ）
4
A．4 B．3 C．2 D．1
6 2．若正项数列 an 的前 n项和为 Sn，且 2Sn an n，则 S20 （ ）
A．20 B．100 C．200 D．210
S n 3n a7．等差数列 an ， bn 的前 n项和分别记为 S 4n，Tn，若 T ，则 （ ）2n 2n 4 b3 b12
4 3 21 7
A． B． C． D．
15 7 32 6
8．已知 f x 是函数 f x x R 的导数，且 x R, f x 1, f 3 2，则不等式
f x x 1的解集为（ ）
A． , 2 B． 2, C． ,3 D． 3,
二、多选题(本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求,全部选对的得 6分，部分选对的得部分分．)
9．已知 Sn是等差数列 an 的前 n项和，且 a7 0，a5 a10 0，则下列选项正确的是（ ）
A．数列 an 为递增数列 B． Sn的最大值为 S7
C． S14 0 D． a6 a7 a8 a9
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10 4．关于函数 f x x 2x3 1 ，下列说法正确的是（ ）
3
A． f x 在 , 0 上单调递减 B． f x 的图象关于直线 x 对称
2
11
C． f x 的最小值为 D． f x 的一个极大值为 1
16
f (x) f (x) g(x) f (x)11．已知函数 与其导函数 的部分图象如图所示，若函数 x ，e
则下列关于函数 g (x)的结论正确的是（ ）
A．在区间 (3,6)上单调递减
B．在区间 ( 3,1)上单调递减
C．当 x 1时，函数 g (x)有极小值
D．当 x 3时，函数 g (x)有极小值
三、填空题(本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．)
12．已知等比数列 an 的前 n项和 Sn 22n 1 a，则 a __________；
13．记Tn为数列 an 的前 n项积，且 a1 2,Tn 1 Tn n，则 a5 __________；
14 f x ex 1 1 ax2．已知函数 ax有两个极值点，则实数 a的取值范围为__________．
2
四、解答题（本题共 5小题,共 77分,解答时要求写出必要的文字说明证明过程演算步骤．）
15.（本小题满分 13分）
已知等差数列 an 中， a1 3，11a5 5a8 ，设 Sn是等差数列 an 的前 n项和，
S
若数列 b nn 满足bn ．n 2n
(1)求数列 an ， bn 的通项公式；
(2)求数列 bn 的前 n项和Tn．
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16.（本小题满分 15分）
已知函数 f x 2x 3 bx2 3 (3 b)x a ．
2
(1)若函数 f x 在定义域上不单调，求实数b的取值范围；
(2)若b 0，且函数 f x 有三个零点，求实数 a的取值范围；
(3)若 a b 0，过点 1, 3 作函数 f x 的切线，求切线方程．
17.（本小题满分 15分）
4 2a 已知数列 n 中， a1 ,a n N3 n 1 3 a ．n
(1)求 a2 ,a3；
b 2 a(2) n设 n a 1 ，证明：数列 bn 是等比数列；n
(3)记 cn an 1 1 2 an ，数列 c
1
n 的前 n项和为 Sn，求证： Sn ．3
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18.（本小题满分 17分）
已知函数 f x alnx ln x 1 ，a R .
(1)讨论 f x 在 0, 上的单调性；
1 1
(2)若 a 1，证明： f x .
x x 1
19.（本小题满分 17分）
设函数 f x ln x 1 ， g x xf x x 0 ．
(1)令 g1 x g x ， gn 1 x g gn x ， n N*．
（i）求 gn x 的表达式；
2
（ii）当 x 1 x x时， gn x 2 恒成立，求 n的最大值；x ln x 2x2 1
89 1
(2)求 t
k 1 g sin k sin k 1
（令 sin1 t，结果用 表示）．

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《期中考试答案》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A C D D D BCD AC
题号 11
答案 BC
3 1
12．-2 13． 14． , 2 e
.

15．(1) an = 2n - 5 b
1 n 1
； n = (n - 4) × ( ) (2)Tn = (2 - n) × ( )
n - 2
2 2
【详解】（1）解：设等差数列 an 的公差为 d ，因为 a1 = -3，11a5 = 5a8 ，
可得11 (-3 4d ) = 5 (-3 7d )，解得 d = 2，所以 an = -3 (n -1) 2 = 2n - 5，
S n(-3 2n - 5) S n(n - 4) 1所以 n = = n(n - 4)，则bn = n = = (n - 4) × ( )
n .
2 n ×2n n ×2n 2
（2）解：由（1）知bn = (n - 4) (
1
× )n ，
2
T 1 1 1 2 1 3 1 n-1 1 n可得 n = -3 × ( ) - 2 × ( ) -1× ( ) L (n - 5) × ( ) (n - 4) × ( ) ，2 2 2 2 2
1 T 3 1= - × ( )2 1则 n - 2 × ( )
3 -1× (1)4 L 1 1 (n - 5) × ( )n (n - 4) × ( )n 1，
2 2 2 2 2 2
1 T 3= - [(1)2 1 1 1 1 ( )3 ( )4 L ( )n ]- (n - 4) × ( )n 1两式相减得
2 n 2 2 2 2 2 2
(1)23 [1- (
1)n-1] 1
= - 2 21 - (n - 4) × ( )
n 1 = -1- (n - 2) × (1)n 1，
2 1- 2 2
2
所以T 2 (n 2)
1
n = - - - × ( )
n = (2 - n) 1× ( )n - 2 .
2 2
16．(1)b 3或b 6
(2) - 2, 2
(3)3x - y = 0 或 21x 2y 27 = 0
6
17．(1) a2 = ， a
10
= ；
5 3 9
(2)证明见解析；
S 1 1(3) n = -3 2n 1 1
【详解】（1）数列 4an 中， a1 = ,a
2
=
3 n 1 3- a ，n
a 2 2 6 a 2 2 102 = = = = = =则 3 - a 4 31 3- 5 ， 3- a 62 3- 9 ；
3 5
2 2-
b 2 - a= n 2 - an 1 3- an 4 - 2an b2 n 1
4 - 2an an -1
（ ）由 n a -1 ，则
bn 1 = = = ，则 = × = 2
n a 2n 1 -1 -1 an -1 bn an -1 2 - a
，
n
3- an
2 4 2-
从而 b b 2 - an 是以 1 = 1 = 3 = 34 1 = 2为首项，公比为 2 的等比数列；a1 -1 -1
3 3
b 2 2n-1 2n 2 - a 2
n 2
（3）由（2） n = × = = n an = n ，an -1 2 1
2n 1 2 2nc 2
1 1
则 n = an 1 -1 2 - an = 2n 1 -1 1 2 - n = n 1 1- n 2 1 2 1 2 1
2n 1 1
= = -
2n 1 1 2n 1 2n 1 2n 1 1，
从而 Sn = c1 c
1 1 1 1 1 1
2 L cn = - - L n -
1 1 1
= - .
3 5 5 9 2 1 2n 1 1 3 2n 1 1 3
a 1 a -1 x a
18．【详解】（1）由题意得函数定义域为 0, ， f x = - = , x 0x x 1 x x ． 1
若 a 0，则 a -1 x a 0，即 f x 0恒成立，所以 f x 在 0, 上单调递减；
若a 1，则 a -1 x a 0，即 f x 0恒成立，所以 f x 在 0, 上单调递增；
f x = 0 x a若0 a 1，令 ，得 = ，
1- a
0 x a当 时， f x 0 a，当 x时， f x 0，
1- a 1- a
f x 0, a a 所以 在 上单调递增，在 , 上单调递减．
1- a 1- a
综上，当 a 0时， f x 在 0, 上单调递减；
0 a 1 f x 0, a a 当 时， 在 上单调递增，在 , 上单调递减；
1- a 1- a
当a 1时， f x 在 0, 上单调递增.
（2）若 a =1，则 f x = lnx ln x 1 ln x- = , x 0．
x 1
1 1 1 1
要证明- f x 1 1 1 - ，即证明 - f x ，即 ln 1 ．
x x 1 x 1 x x 1 x x
t 1 t 0 t设 = ，由 x 0，可得 ，待证不等式转化为 ln 1 t t ．
x 1 t
先证明 ln 1 t t 不等式，设m t = ln 1 t - t t 0 m t 1， ，则 = -1 0 ，
1 t
所以m t 在 0, 上单调递减，故m t m 0 =ln1- 0 = 0，即 ln 1 t t ．
t t
再证明 ln 1 t 不等式，设 n t = ln 1 t - ，t 0，
1 t 1 t
1 1 t - tn t t则 = -1 t 2 = 2 0，所以 n t 在
0, 上单调递增，
1 t 1 t
故 n t n 0 =ln1- 0 = 0，即 ln 1 t t ．
1 t
综上，原命题得证．
x 2
19．(1) i 1- t（ ） gn x = ；（ii）4． (2) .nx 1 89 t 2
1 x
【详解】（1）（i）∵ f x = ， g1 x = g x = xf (x) = ，x 1 x 1
g x g gn xg ∴ n 1 = n x = gn x 1，
1 gn x 1 1 1∴ = = gn 1 x gn x g x
，
n
ì 1 ü 1 x 1
∴ í g 是一个首项为
= ，公差为 1 的等差数列，
n x g1 x x
1 1
故 = n -1 d
x 1 1
= n -1 = n
gn x g1 x x x ，
∴ g x xn = .nx 1
2
ii x 1 x x - x（ ）法一：当 时，由条件得 ，
nx 1 x2 ln x 2x2 -1
1 x -1 x2 ln x 2x2∴ ∴ nx 1 -1， ，
nx 1 x2 ln x 2x2 -1 x -1
n x ln x 2x -1∴ .
x -1
x ln x 2x -1 h x - ln x x - 2令 h x = , x 1，则 = , x 1
x -1 x -1 2 ，
令φ x = - ln x x - 2, x 1 φ x 1 x -1， = - 1 = 0，
x x
所以j x 在 1, 单调递增，又j 3 =1- ln 3 0，
j 4 = 2 - ln 4 0，
所以存在唯一的 x0 3,4 ，使得j x0 = 0，即 ln x0 = x0 - 2，
所以当 x 1, x0 时，j x 0 ，即 h x 0，故 h x 在 x 1, x0 上单调递减；
当 x x0 , 时，j x 0，即 h x 0，故 h x 在 x x0 , 上单调递增，
2
h x h x x0 ln x= 0 2x0 -1 x0 -1所以 0 = = x0 1，即 n x 1，x 00 -1 x0 -1
又∵ x0 3,4 ， x0 1 4,5 ，
因为 n N*，所以 n 的最大值为 4．
法二：设 h x ln x 2 1 1= - n( -1), x 1
x x
x 1 1
（2）由（1）知 g x = ，则 =1 g x x ，x 1
1 1 1\ =
g ésin k° ×sin k 1 °ù sin k° ×sin k 1 °
sin1° sin é k 1 ° - k°ù
=1 =1
sin1° ×sin k° ×sin k 1 ° sin1°sin k° ×sin k 1 °
sin k 1 °cos k° - cos1 k 1 °sin k° 1 cos k° cos k 1 ° = =1 - ，
sin1° ×sin k° ×sin k 1 ° sin1 ° sin k° sin k 1 °
89
1 89 1 cos1° cos 2° cos 2° cos3° L cos89° cos90°则 = - - -
k=1 g é sin k° ×sin k 1 °ù sin1° sin1° sin 2° sin 2° sin3° sin89° sin90°


89 1 cos1° 1- t
2
= × = 89 .
sin1° sin1° t 2

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