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7．【答案】B
10
【 解 析 】 ∑xi = 20 20+ 4， ∴ 增 加 两 个 样 本 点 后 x 的 平 均 数 为 = 2 ；
i=1 12
10
y = 3×2 2 = 4 ，∴∑yi = 40 40 4．∴增加两个样本点后 y 的平均数为 = 3，
i=1 12
∴新的经验回归方程为 y = bx + a ，则当 x = 4 时， y = 4b + a =10，又 a + 2b = 3，解
b 7得 = ．故选：B．
2
8．【答案】B
【解析】如图，在平行六面体中，对角线 AC1与平面 A1BD 和平面CB1D1分别交于点
O，N，则 O，N 分别是平面 A1BD 和平面CB1D1的重心，且 AO = ON = NC1 ，由四
条 体 对 角 线 的 八 个 三 等 分 点 可 以 得 到 一 个 平 行 六 面 体 OSPT MQNR ，
V 1V 1 1 1 1O PQR = OSPT MQNR = × ×V3 3 27 ABCD A B C D
= × ×6×V
1 1 1 1 3 27 A1 ABD
1 1 6 2 93 9 2= × × × × = ．故选：B．
3 27 12 2
D C D1 C11 1
R R N
D D A1 C1
P C M T P
C
A1 Q A1 Q
B B1 NO 1 O S
O
A BD C
A B A B
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分，有选错的得 0 分．
9．【答案】ACD
【解析】对于 A，取 AE 的中点Q ．连接 DQ，MQ．因为 M 为 BE 的中点，所以 MQ∥AB ，
MQ 1 AB DO AB DO 1= ，又 1∥ ， 1 = AB ，所以 MQ∥DO1 ，MQ = DO1 ，2 2
所以四边形 DO1MQ 为平行四边形，则 DQ∥O1M ，又 DQ 平面
ADE ，O1M 平面 ADE ，所以O1M∥平面 ADE ，故 A 正确；对
于 B 5，圆柱OO1 的侧面积 S侧 = 2πrl = 2π× ×2 5 =10π，故 B 错2
数学参考答案 第 2 页 （共 10 页）
C AE BE AE BE 10误；对于 ，由题意得 ⊥ ，且 = = ，所以V
2 三棱锥B ADE
=V
三棱锥D ABE =
1 1 10 10
× × × ×2 5 5 5= ，故 C 正确；对于 D，取OO1 的中点 F ，连接 FD，3 2 2 2 6
2
5 2 5 5
易求得 FD = + ( 5 ) = ，即圆柱OO1 的外接球的半径为 ，故该球的表面
2 2 2
5 2
积为 4π× = 25π，故 D 正确．故选：ACD．
2
10．【答案】BCD
【解析】对于抛物线 C : y2 = 4x ，过抛物线外一点 P (m, n) 的切点弦方程为
ny = 2(x +m) ． 当 m = 1 时 ， 得 到 lAB : ny = 2x 2 ， 过 焦 点 F (1,0) ， 此 时

OA OB = x1x2 + y1 y2 =1 4 = 3＜0 ，故△OAB 为钝角三角形，故 A 错误；因为
k n 2PF·kAB = × = 1，故 PF ⊥ AB ，故点 P 在直线 AB 上的投影为定点 F ，故 B 正确；2 n
设 A(x1, y1 )，B (x2 , y2 ) k
y1 4 y 4 4，则 AT = = 1 = ，故l : 4x ( y + 4) y + 4y = 0 ，x 4 y2 y + 4 AT 1 11 1 4 1
4
令 y = 0，则 xM = y1 ，同理 xN = y2 ，故 OM ON = y1 y2 = 4，故 C 正确；当 m = 4
时，过 P ( 4, n)作抛物线的切线方程为 x = ty tn 4 ，与抛物线方程 y2 = 4x 联立得
y2 4ty + 4tn +16 = 0 ，由 = 0 ，整理得 t 2 nt 4 = 0 ，则 t1 + t2 = n ， t1t2 = 4 ，故
l : x t 4 4AP = 1y t1n 4 ， 令 x = 0 ， 则 yM = n + ， 同 理 可 求 yN = n + ， 故t1 t2

OM ON n 4 n 4
t + t 16
= +
2
+ = n + 4n 1 2 + = 4，故 D 正确．
t1 t2 t1t2 t1t2
11．【答案】ABD
【解析】法一：令 x = y = 0 ，得 f (0) = 2 f (0) g (0) 1，因为 g (0) ≠ 和 0，则 f (0) = 0．
2
令 y = x ， 得 0 = f (x) g ( x) + g (x) f ( x) = g (x)( f (x) + f ( x)) ， 故 f (x) +
f ( x) = 0 ，则 f (x)为奇函数．故选项 A 正确；
令 x = 0 ， 得 g (0) = f 2 (0) + g 2 (0) ， 因 为 f (0) = 0 ，则 g (0) =1 . 令 y = x ，得
1= f (x) f ( x) + g (x) g ( x) = g 2 (x) f 2 (x) =1，故选项 B 正确；
用“ y ”代替“ y ”，得 g (x y) = f (x) f ( y) + g (x) g ( y) = f ( x) f ( y) + g ( x) g ( y)，
数学参考答案 第 3 页 （共 10 页）
两 式 相 乘 得 g (x + y) g ( x y) =1+ f 2 ( x) + f 2 ( y) ， 若 等 于 f 2 (x) f 2 ( y) ， 则
f 2 ( y) 1= ，故选项 C 错误；
2
令 y = x ， f (2x) = 2 f (x) g (x) ， g (2x) = f 2 (x) + g 2 (x) ，相加得 f (2x) + g (2x) =
( f (x) + g (x))2 ，
2 4
用“ 2x ”代替“ x ”得 f (4x) + g (4x) = ( f (2x) + g (2x)) = ( f (x) + g (x)) ，继续操
n
作得 f (2n x) + g (2n x) = ( 2f (x) + g (x)) ，令 n =10 ， x =1，得 f (1 024) + g (1 024) =
10
( 2f (1) + g (1)) = 21 024 ，由 g 2 (1 024) f 2 (1 024) =1 ，联立得 g (1 024) f (1 024) =
1
21 024
．故选项 D 正确．故选择 ABD．
emx e mx mx mx
法二：取 f (x) = ，g (x) e + e= (m ≠ 0)符合题意，此时 f (x)为奇函数，
2 2
2 2

A g 2 (x) f 2 (x) e
mx + e mx emx e mx
故选项 正确； = 2
=1，故选项 B 正确；
2
em(x+ y) + e m(x+ y) em(x y) + e m(x y) e2mx + e2my + e 2mx 2myg (x + y) g (x + e y) = = ，而
2 2 4
2mx 2my 2mx 2my
f 2 (x) f 2 ( y) e e + e e = ，不恒相等，故选项 C 错误；
4
若 f (1) + g (1) 1= 2，则 em = 2 ， g (1 024) f (1 024) = e 1 024m = 1 024 ．故选项 D 正确． 2
故选择 ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．【答案】 20 2
( )5 5 r r
5 r r
【解析】 2 x 的展开式的通项公式为Tr+1 = C
r
5 ( 2 ) ( x ) = ( 1)r Cr 2 25 2 x ，
r 0 1 2 5 r
5 2
= ， ， ， ， ．由 =1 r = 2．所以 x 的系数为： ( 1)2 C2 25 2 = 20 2 ． 2
13．【答案】2 026
【解析】由等差数列{an}，其前 n 项和 Sn 有最大值，得{an}是首项 a1＞0，公差 d＜0
a
的 等 差 数 列 ， 因 为 1 013 ＜ 1 ， 故 a1 013＞0 ， aa 1 014
＜0 ， 且 a1 013 + a1 014＞0 ， 则
1 014
S2 026 = (a1 + a2 026 )×1 013 = (a1 013 + a1 014 )×1 013 > 0 ， S2 027 = 2 027a1 014 < 0 ， 故 满 足
Sn＞0时 n 的最大正整数为 2 026．
数学参考答案 第 4 页 （共 10 页）
14 2π．【答案】 /120°
3
【解析】设∠F2PM = α，∠F2MP = β，∠F1PF2 的角平分线交 x 轴于点T ，由椭圆的
光学性质可知 PT ⊥ PM ．
sin π α
cos∠F2PM
2 F2T F1T F2T + FT 2c由 = = = = 1 = = e ， 又 tan β = 2 ，
cos∠F2MP sin π β F2P F P F 1 2
P + F1P 2a
2
cos β 3= ，则 cos∠F2PM = ecos
1 π 2π
∠F2MP = ，得∠F2PM = ，则∠F1PM = ． 3 2 3 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．【解析】（1）因为底面 ABCD 是菱形，∠BAD = 60°，所以△ABD 为等边三角形，
BD = AB = 2，AO⊥BD ，AO = 3 ．又 PB = PD = 3 ，O 为 BD中点，故 PO⊥BD ，
2 2 ( )2PO = PB BO = 3 12 2= 2 ． 已 知 PA = 5 ， 则 AO2 + PO2 = ( 3 ) +
( )22 =5，则 AO2 + PO2 = PA2 ，故 PO⊥ AO ． ........................................... （4 分）
因为 AO∩BD = O ， AO ， BD 平面 ABCD ，所以 PO⊥平面 ABCD ． ... （5 分）
（2）由（1）知，OA，OB，OP 两两垂直，以O 为原点，OA为 x 轴，OB 为 y 轴，
OP 为 z 轴建立空间直角坐标系． .................................................................... （6 分）
P (0,0, 2 )， A( 3,0,0)， B (0,1,0)，C ( 3,0,0)， D (0, 1,0)．
设平面 PAB的法向量为： n1 = (x1, y1, z1 )，

PA = ( 3,0, 2 )， PB = (0,1, 2 )，

n1 PA = 0 3x 2z = 0则 ，即 1 1 ，令 z1 = 3 ，得 n = 1 ( 2, 6, 3 )． .... （9 分）
n1 PB = 0 y1 2z1 = 0
设平面 PCD的法向量为： n2 = (x2 , y2 , z2 )，
( PC = 3,0, 2 )， PD = (0, 1, 2 )，

n2 PC = 0 3x2 2z2 = 0则 ，即 ，令 z2 = 3 ，得 n2 = ( 2, 6, 3 )．（12 分）
n2 PD = 0 y2 2z2 = 0
设平面 PAB与平面 PCD的夹角为θ，
n n 2 ×( 2 ) + 6 ×( 6 ) + 3× 3
cosθ 1 2 5则 = = = ．所以，所求锐二面角余
n1 n2 11× 11 11
5
弦值为 ． ......................................................................................................... （13 分）
11
数学参考答案 第 5 页 （共 10 页）
16．【解析】（1） f (x) = 2sin x cos x 2 3 cos2 x + 3 = sin 2x 3 (2cos2 x 1) =

sin 2x 3 cos 2x 1 3= 2 sin 2x cos 2x
π
= 2sin 2x ................................（3 分）
2 2 3
π
已知 f (A) = 0 ，即 2sin 2A = 0 ．
3
∴sin 2A π π π 5π 3
= 0 ； A∈(0,π)，∴2A ∈
3
,
3 3
， ............................ （4 分）

∴2A π = 0或 2A π = π π 2π，解得 A = ， A = ． ...................................... （6 分）
3 3 6 3
（2）由题意知： a = 3 ，周长 a + b + c = 3+ 3 ，∴b + c = 3，
i 2π a b c．当 A = 时，由正弦定理： = = = 2R 2π， a = 3 ， A = ，
3 sinA sinB sinC 3
3
∴2R = = 2 ，∴b = 2sinB ， c = 2sinC ．
sin 2π
3
A+ B +C = π，∴C = π A B π= B，又b + c = 3，∴2sinB + 2sin π B = 3，3 3

展开化简：2sin B 2 3 cos B 1+ sin B = 2sin B + 3 cos B sin B = sin B + 3 cos B
2 2
π
= 2sin B + = 3 ，∴sin

B
π 3+ = >1
2π
， A = 不符合题意． ............... （10 分）
3 3 2 3
ii π．当 A = 时，由余弦定理： a2 = b2 + c2 2bccosA，
6
π π 3 2 3
代入 a = 3 ， A = ， cos = ，得
6 6 2 ( 3 ) = b
2 + c2 2bc× 2
，

即3 = b2 + c2 3bc 2．由完全平方公式b2 + c2 = (b + c) 2bc ，且b + c = 3，代入得：
3 = (3)2 6 2bc 3bc ，即3 = 9 (2+ 3 )bc ，解得bc = ． ................. （13 分）
2+ 3
ABC S 1 bcsinA 1 6 1 3 3△ 的面积 = = × × = 3 ． ................................ （14 分）
2 2 2+ 3 2 2
3 3
综上得，△ABC 的面积为3 ． ............................................................... （15 分）
2
数学参考答案 第 6 页 （共 10 页）
17．【解析】（1）设事件 A1 =“学生甲 A 任务合格”，事件 B1 =“学生甲 B 任务合格”，
............................................................................................................................. （1 分）
由题意可知，甲评定为优秀需均合格，由条件概率的乘法公式可知
P (A1B1 ) P (A )P(B
3 2 1
= 1 1 | A1) = × = ．........................................................... （3 分） 4 3 2
（2）设事件C =“甲、乙两人中至少有一人评定为优秀”，事件 D =“学生甲评定
为优秀”， ........................................................................................................... （4 分）
CD 1表示“甲优秀且甲乙至少一人优秀”，即甲优秀，故 P (CD) = P（甲优秀）= ，
2
对立事件C =“甲乙两人都不优秀”；
P 1 1 1 2（甲不优秀）=1 = ，P（乙不优秀）=1 = ，
2 2 3 3
由相互独立事件概率公式：
P (C ) 1 2 1= × = ， 2 3 3
因此 P (C ) 1 2=1 P (C ) =1 = ； 3 3
1
P CD
P (D | C ) ( ) 2 3= = 2 = ． ........................................................................... （7 分） P (C ) 4
3
（3） X 的可能取值为 0，4，8，.................................................................... （8 分）
1
学生甲得分的概率为：P（甲得 0 分）=1 P (A1 ) = ； 4
P（甲得 4 分）= P (A1 B1 ) = P (A1 )P(B | A 11 1) = ； 4
P 8 1（甲得 分）= ； ........................................................................................ （10 分）
2
学生乙：得分的概率为：设事件 A2 =“学生乙 A 任务合格”，事件 B2 =“学生乙 B 任
务合格”，
P 1（乙得 0 分）=1 P (A2 ) = ； 3
P（乙得 4 分）= P (A2 B ) P (A )P(B 12 = 2 2 | A2 ) = ； 3
P（乙得 8 分）= P (A2B2 ) = P (A2 )P(B2 | A
1
2 ) = ； ....................................... （11 分） 3
数学参考答案 第 7 页 （共 10 页）
1
由于从甲、乙随机选取一人，则选中甲、乙的概率为 ，
2
P (X = 0) 1 1 1 1 7= × + × = ；
2 4 2 3 24
P (X = 4) 1 1 1 1 7= × + × = ；
2 4 2 3 24
P (X = 8) 1 1 1 1 5= × + × = ． ........................................................................ （13 分）
2 2 2 3 12
则 X 的分布列为
X 0 4 8
7 7
P
5
24 24 12
7 7
则 E (X ) = 0× + 4× +8 5 9× = ． ............................................................ （15 分）
24 24 12 2

a2 = b2 + c2

18 1 1 1
a2 = 2 x2
．【解析】（ ）由题可知 2 + 2 =1，解得 ，则椭圆C 的方程为 + y
2 =1．
a 2b b
2 =1 2
c 2
=
a 2
............................................................................................................................. （3 分）
（2）设直线 AB 方程为： x = 7y 1， A(x1, y1 )， B (x2 , y2 )，
2 7
x2 + 2y2 2 = 0 y + y = 1 2
，联立得9y2 2 7y 1= 0 ，则 9 ，............. （5 分）
x = 7 y 1
y1y
1
2
=
9

F2 A F2B = (x1 1, y1 ) (x2 1, y2 ) = 8y1y2 2 7 ( y1 + y )
7 7
2 + 4 = = 0 ， ...... （7 分） 9
π
则∠AF2B = ．.................................................................................................. （8 分） 2
（3）在△AF1F2 中，设 AF1 = m ，∠AF1F2 = θ，则 AF2 = 2a m ．
2
由余弦定理可知 m2 + 4c2 (2a m) = 2m×2c cosθ，
数学参考答案 第 8 页 （共 10 页）
2
解得 m b= ．......................................................................................... （10 分）
a c cosθ
BF n b
2
同理可得 1 = = ，........................................................................ （11 分） a + c cosθ
因为∠AF π 22B = ，所以由 (m + n) = (2a m)
2 + (2a n)2 ，解得 mn = 4a2 2a (m + n)，
2
b4 2ab2 b4 + 4a2b2
则 2 2 2 2
a2 c2 2
= 4a 2a
cos θ a2 c2
， 整 理 a c cos θ = ， 即
cos2 θ 4a2
2
2

1 e2 cos2 θ 1 b b
2
= 2 + ， 4 a
2
a
1 1则 e2 cos2 θ = (1 e2 )2 +1 e2 ，
4
解得 sinθ 1= 1 e

， ...................................................................................... （15 分） 2 e
因为0＜sinθ ≤1 1 1，则0 ＜ e ≤1，解得 e∈ 2 1,1)． .............................（17 分） 2 e
19．【解析】（1）设 g (x) = ax 1 4 x2 (x∈[ 2,2])，
当 2 ≤ x ≤ 0 时，ax 1≤ 0， 4 x2 ≤ 0，且不同时取等，则 g (x)＜0 ， g (x)无零
点，则曲线Γ与函数 f (x)没有交点； ............................................................ （1 分）
当0 ≤ x ≤ 2，因 a ＞1，故 g (x)在定义域内单调递增；
g (0) = 2＜0， g (2) = a2 1＞0 ．
由零点存在性定理，存在唯一的 x0 ∈[0,2]，有 g (x0 ) = 0；
故 g (x)在[ 2,2]有唯一零点 x0 ，即曲线Γ与函数 f (x)有一个交点； ....... （3 分）
综上曲线Γ与函数 f (x)有一个交点． ............................................................ （4 分）
（2）（i）因 k nOT = ，则曲线Γ在点 T 处的切线斜率为 k
m
TK = ； m n
m ( ) m
2
lTK：y n = x m ，则 K 0, + n ； n n
2 2 m2 m (m2 + n2 )
从而 | TK | 2m= +m
2 = m
n n2
= ，由于 n = a 1；
n
数学参考答案 第 9 页 （共 10 页）
m 1
只需证 m ＜ ，即 ln(a
m )＜am 1； ....................................................... （7 分）
a 1 ln a
设 h (x) = x 1 ln x ，其中 x＞1，则 h′ (x) 1 1= ＞0 ，故 h (x)单调递增；
x
则有 h (x)＞h (1) = 0，从而 ln x＜x 1；
则 ln(am )＜am 1，证毕； ................................................................................. （9 分）
2
（ii）点 M ( f (x1 ) ,m) y在椭圆 + x2 =1内，下证： 4
m m
由 f (x)在点C (x1, f (x1 )) n a 1 a 1处的切线与TK 垂直可知，ax1 ln a = = ，即ax1 =m m ln am ；
............................................................................................................................. （11 分）
2 2
只需证： m2 + 4(ax1 1) ＜4 ，即证 4(ax1 1) ＜n2 ；
即证 2(ax1 1)＜n = am 1；
am 1
即证 2 mm ＜a +1；....................................................................................... （13 分） ln a
2
t (x) ln x (x 1) ( ) ( x 1
2
设 = ，其中 x＞1，则 t′ x )= ＞0 ，故 t (x)单调递增；
x +1 x ( x +1)2
2 x 1
则有 t (x)＞t (1) = 0 ln x ( )，从而 ＞ ；
x +1
2(am 1)
则 ln(am )＞ m ，证毕．........................................................................... （17 分） a +1
数学参考答案 第 10 页 （共 10 页）

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