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2026年湖南省株洲市第十九中学中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-2的绝对值是（　　）
A. -2 B. 2 C. 0 D. ±2
2.若一个n边形的内角和为900°，则n的值是（　　）
A. 9 B. 7 C. 6 D. 5
3.关于x的一元二次方程x2-mx-1=0的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
4.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（　　）
A. 20°
B. 25°
C. 40°
D. 50°
5.如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是（　　）
A. 4π
B. 3π
C. 2π
D. π
6.有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）
A. 如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B. 如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C. 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b-2a＜0，③b2-4ac＜0，④a-b+c＜0，正确的是（　　）
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ②④
8.若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　）
A. -1 B. -2 C. 0 D. 2
9.在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＜0；②2a-b=0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．
其中正确的结论有（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，⊙O与边AD、对角线AC均相切，过点B作⊙O的切线，切点为P，则切线长BP的最小值为（　　）
A. 6
B. 7
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均成绩都是9.0环，方差分别是S甲2=0.65，S乙2=0.55，S丙2=0.50，S丁2=0.45，则射击成绩最稳定的是______（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）．
12.若关于x方程的解是x=3，则a的值为______．
13.如图，将△ABC沿BC方向平移2cm之后得到△DEF，若EC=5cm,则EF= cm.
14.小明用一块圆心角为270°，半径为6cm的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），那么这个圆锥的底面半径为______cm．
15.如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数的图象上，点D在y轴上，点B，C在x轴上，AB与y轴交于点E，连接CE.若BC=2OB，S△OBE=1，则k的值为 .
16.4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：
阅读时间（x小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5
人数 12 8 6 4
若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为 人．
17.从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是，，，你认为适合参加决赛的选手是 .
18.如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接OA，OB，OC，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P.
（1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：S1 S2；（填“＜”，“＞”或”=”）
（2）如图2所示，若OM=MN=NP，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是 .
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：.
20.(本小题8分)
某校开展了“预防溺水、珍爱生命”的安全知识竞赛.先从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成四组，A.80＜x≤85，B.85＜x≤90，C.90＜x≤95，D.95＜x≤100）.
部分信息如下：
七年级10名学生竞赛成绩：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99；
八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据：94，94，91.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 b 92.5 d 49
八年级 92 c 100 46.8
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a= ______，b= ______，c= ______，d= ______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生安全知识竞赛成绩更好？请说明理由；
（3）若该校七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩（x＞95）的学生有多少人.
21.(本小题6分)
已知x2-x-1=0，求的值.
22.(本小题8分)
阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.
.
∵（x+2）2≥0，∴当（x+2）2=0时，原式有最小值，最小值为-9.
根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法分解因式：x2+2x-8；
（2）求多项式x2+4x-2020的最小值；
（3）已知a,b,c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2+50=6a+8b+10c满足求△ABC的周长.
23.(本小题8分)
如图，已知△ABC，∠C=50°，将AB沿射线BC的方向平移至A′B′，使B′为BC的中点，连结AA′，记A′B′与AC的交点为O.
（1）求证：△AOA′≌△COB′；
（2）若AC平分∠BAA′，求∠B的度数.
24.(本小题8分)
如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE，DE.
（1）判断DE和⊙O的位置关系，并证明；
（2）若，DE=5，求AD的长；
（3）求证：.
25.(本小题9分)
如图，在⊙O中，直径所在的直线AO垂直于弦BC，连接AC，过点B作BD∥AC交⊙O于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD于E，点F在CE上，且CF=BD.
（1）求证：点E为DF中点；
（2）若BC=4，，求⊙O的半径.
26.(本小题13分)
如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线y=kx与抛物线交于点E，F，M是线段EF的中点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若点E的横坐标是-3，求点M的坐标.
（3）若0＜k＜2，求四边形MCDB的面积的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】丁
12.【答案】4
13.【答案】7
14.【答案】
15.【答案】-12
16.【答案】400
17.【答案】乙
18.【答案】=
72

19.【答案】0．
20.【答案】（1）a=40，b=92，c=94，d=99；
（2）八年级学生成绩更好，理由如下：八年级学生成绩的中位数、众数都比七年级的高，而方差比七年级的小，成绩比七年级稳定；
（3）（人），
答：估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩（x＞95）的学生约有864人．
21.【答案】解：
=
=，
∵x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
∴上式=．
22.【答案】（x+4）（x-2） -2024 12
23.【答案】（1）证明：由平移可知，AB=A'B'，AB∥A'B'，
∵B′为BC的中点，
∴OB'是△ABC的中位线，
∴OA=OC，OB'=AB，
∴OB'=A'B'，
即A'O=OB'，
在△AOA'与△COB'中，
，
∴△AOA′≌△COB′（SAS）；
（2）解：∵△AOA′≌△COB′，
∴∠A'AO=∠C=50°，
∵AC平分∠BAA′，
∴∠BAC=∠OAA'=50°，
∴∠B=180°-50°-50°=80°．
24.【答案】解：（1）结论：相切；
理由：连接BD，OD，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
在Rt△BDC中，点E是BC的中点，
∴，
又∵OB=OD，OE=OE，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：由（1）中结论，得BC=2DE=10，
在Rt△BDC中，，
∴CD=6，
；
∵∠A+∠C=90°，∠A+∠ABD=90°，
∴∠C=∠ABD，
∵∠ADB=∠BDC=90°，
∴△ADB∽△BDC，
∴，
∴；
（3）证明：∵OA=OB，BE=CE，
∴OE∥AC，
∴∠OEB=∠C，
∵∠OBE=∠BDC=90°，
∴△OBE∽△BDC，
∴，
由（1）中结论△OBE≌△ODE（SSS），得BE=DE，BC=2DE，
∴，
即2DE2=CD OE，
∴．
25.【答案】（1）证明：∵直径所在的直线AO垂直于弦BC，
∴，
即，
∵BD∥AC，
∴，∠ACF=∠CDB，
∴AD=BC，，
∴AC=CD，
在△ACF和△CDB中，
，
∴△ACF≌△CDB（SAS），
∴AF=BC，
∴AD=AF，
∵AE⊥CD，
∴DE=EF，
即点E为DF中点；
（2）解：设AO的延长线交BC于P，交⊙O于Q，连接CQ，如下图所示：
∵BC=4，
∴由（1）可知：AD=AF=BC=4，AC=CD，
∵，
设BD=5t,AC=9t,
∴CD=AC=9t,
∵CF=BD=5t,
∴DF=CD-CF=4t,
∵点E为DF中点，
∴DE=EF=2t,则CE=CF+EF=7t,
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2=AF2-EF2=16-4t2，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2=AC2-CE2=81t2-49t2，
∴16-4t2=81t2-49t2，
整理得：36t2=16，
∴t=，舍去负值；
∴AC=9t==6，
∵AP垂直于弦BC，
∴PC=BC=2，，
∴∠CAQ=∠BCQ，
在Rt△APC中，由勾股定理得：AP==，
∵∠CAQ=∠BCQ，∠APC=∠CPQ，
∴△ACP∽△CQP，
∴AP：CP=CP：PQ，
即，
∴PQ=，
∴AQ=，
∴⊙O的半径OA=AQ=．
26.【答案】解：（1）由题意，把点A（-1，0），B（3，0）代入y=-x2+bx+c,
得，
∴．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）由题意，把x=-3代入y=-x2+2x+3，
∴y=-9-6+3=-12．
∴点E的坐标是（-3，-12）．
把点E（-3，-12）代入y=kx,得-3k=-12，
∴k=4．
∴直线的解析式是y=4x.
联立方程组，得，．
∴．
∴点M的坐标是（-1，-4）．
（3）由题意，把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3，
∴点C的坐标是（0，3），OC=3．
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴点D的坐标是（1，4）．
把y=-x2+2x+3与y=kx联立方程组，得x2+（k-2）x-3=0，
∴．
如图，连接OD．
S四边形MCDB=S△OCD+S△OBD-S△OCM-S△OBM
=
=．
∵，
当时，S四边形MCDB有最小值，最小值为．
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