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2026年甘肃省兰州市第五十五中学中考数学二模试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，相反数为-2026的是（　　）
A. 2026 B. -2026 C. D.
2.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A. DeepSeek B. ChatGPT
C. 文心一言 D. 纳米AI
3.已知x2+ax+9是完全平方式，则a的值为（　　）
A. ±3 B. ±6 C. 3 D. 6
4.下列方程中有两个不相等的实数根的是（　　）
A. 2x2+1=0 B. 4x2+1=-4x C. x2+6=3x D. 7x2-4x-1=0
5.如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）
①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5；⑤∠BAD=∠D.
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
6.如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在（　　）
A. △ABC三边的垂直平分线的交点
B. △ABC三个内角平分线的交点
C. △ABC三条中线的交点
D. △ABC三条高所在直线的交点
7.如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图.点P处放置一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，若AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=1.5m,BP=2m,PD=6m,则该古城墙的高度CD是（　　）
A. 3m B. 4.5m C. 8m D. 5m
8.如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象.下列结论错误的是（　　）
A. 第30天的销售量为150件
B. 第10天销售一件产品的利润是15元
C. 第13天和第30天的日销售利润相等
D. 第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润
9.体育老师对一班和二班学生参加体育兴趣小组的情况进行了统计（每人只能参加一个兴趣小组），并得到了如图所示的统计图，则下列说法一定正确的是（　　）
A. 一班和二班参加乒乓球兴趣小组的人数一样多
B. 二班参加足球兴趣小组的人数占二班总人数的35%
C. 一班参加羽毛球兴趣小组的人数比二班参加羽毛球兴趣小组的人数多
D. 二班参加羽毛球兴趣小组和参加足球兴趣小组的人数一样多
10.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
11.如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别为AB，BC上的点，DE，AF交于点G，AE=BF=x.若四边形CDGF与△AEG的面积分别为S1，S2，则S1-S2与x的函数关系为（　　）
A. 正比例函数关系
B. 一次函数关系
C. 反比例函数关系
D. 二次函数关系
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.因式分解2m2-4m+2= ．
13.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E.若AC=12，BC=16，则AE的长为 .
14.传统服饰日益受到关注，图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图②）.若长为米，裙长AB为0.8米，圆心角∠AOD=60°，则的长度为 米.（结果保留π）
15.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小马同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小马同学两次都没有抽中C（秋分）邮票的概率为 .
三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：.
17.(本小题5分)
解不等式组：.
18.(本小题5分)
先化简，再求值：[（x+y）（x-y）-（x-y）2-y（x-2y）]÷2x,其中，y=.
19.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数y=kx-2的图象与x轴交于点A（-1，0），与反比例函数的图象交于点B（-2，a），射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）求△ABC的面积.
20.(本小题7分)
贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”.某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度，如下是两种测量方案.
实物图 课题 测量公馆桥的高度
测量示意图 方案一 方案二
方案说明 无人机位于水面上方62米的P处，测得A的俯角为45°，C的俯角为37°（A，C在桥面上）. 无人机位于水面上方62米的N处，测得桥面正中心A的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为37°.
（1）根据以上数据判断，方案______不能求公馆桥的高度；
（2）利用以上可行方案求公馆桥的高度（参考数据，，cos37°≈）
21.(本小题7分)
阅读与思考
下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.
关于“平行六边形”的研究报告
研究对象：平行六边形
研究思路：类比平行四边形，按“概念—性质—判定”的路径展开研究.
研究方法：观察度量—提出猜想—推理证明
研究内容：
【概念理解】如果一个凸六边形的三组对边分别平行，我们称这个凸六边形为平行六边形.如图1，在六边形ABCDEF中，AB∥ED，BC∥EF，CD∥AF，六边形ABCDEF就是平行六边形.其中AB与ED，BC与EF，CD与AF是三组对边，∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是三组对角.
【性质探索】由平行六边形的定义，我们知道平行六边形的三组对边分别平行.除此之外，平行六边形还有什么性质呢？它的角之间有什么关系？它的边之间还有什么关系？
通过观察和度量，我们提出如下猜想：
猜想1：平行六边形相邻三个角的和都等于______°，三组对角分别相等.
下面我们结合图1所示平行六边形ABCDEF，证明∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
证明：如图2，连接AD.
∵六边形ABCDEF是平行六边形，∴AB∥ED，AF∥CD.
∴∠BAD=∠EDA，∠FAD=∠CDA.（依据1）
∴∠BAD+∠FAD=∠EDA+∠CDA，即∠BAF=∠EDC.
同理，∠B=∠E，∠C=∠F.
猜想2：如果平行六边形的一组对边相等，则另两组对边也分别相等.
如图3，若六边形ABCDEF是平行六边形，且AB=ED，则AF=CD，BC=EF.
证明：分别连接AE，BD.
∵六边形ABCDEF是平行六边形，
∴AB∥ED，∠F=∠C，∠ABC=∠DEF.
又∵AB=ED，∴四边形ABDE是平行四边形.
…
学习任务：
（1）材料中空缺的内容是______，依据1是______.
（2）补全猜想2的证明过程.
（3）如图4，四边形ABCD是平行四边形.在平行四边形ABCD外求作两点P，Q，使得六边形APBCQD是平行六边形.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）
22.(本小题7分)
在今年4月份，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A.48≤x≤50；B.46≤x＜48；C.44≤x＜46；D.0≤x＜44），下面给出了部分信息：
抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50.
初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表
性别 平均数 中位数 众数 满分率
女生 48 49 b 45%
男生 47.9 a 50 35%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ______；b= ______；m= ______；
（2）根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校初三年级共有学生800人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数.
23.(本小题7分)
如图，已知AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，点C为AB延长线上一点，AE⊥CF，垂足为E，AF平分∠EAC，AG=BG，连接AG，BF.
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若，AF=8，求线段EF的长.
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+4的图象过点A（2，t），B（3，t）.
（1）求a与b之间关系；
（2）已知二次函数的y=ax2+bx+4最小值为.
①求该二次函数的表达式；
②若M（x1，m），N（x2，m）为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：.
25.(本小题8分)
已知， AOBC的一边OB在平面直角坐标系的x轴上，点B（8，0）.
（1）如图1，点，求OA的长；
（2）如图2，当OA在y轴上时，AB的中垂线EF分别交AC，AB，OB于点E，D，F.
①求证：四边形AFBE是菱形；
②若点A（0，4），动点P，Q分别从点A，B以1，0.8的速度同时出发匀速运动，动点P自A→F→O→A停止，Q自B→C→E→B停止.请问是否存在 APBQ，若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.
26.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O及⊙O外一点P，若⊙O上存在点A，点B和点T，使得点A，B关于直线PT的对称点A′，B′与点P共线，则称点P为⊙O的“对称点”，直线A′B′为⊙O关于点T的“弦称线”，线段A′B′为⊙O关于点T的“弦称弦”.
⊙O的半径为1，点P为⊙O的“对称点”.
（1）若点P（-3，0），直线y=kx+b为⊙O的“弦称线”，则k的取值可能是______；
①k=-1；
②；
③k=2.
（2）直线+4是⊙O关于点T（0，1）的弦称线，则“弦称弦”的最大值是______；
（3）直线y=x+b与x轴，y轴分别交于点M，点N.点S为线段MN上任意一点，若经过点S的所有直线都是⊙O的“弦称线”，则b的取值范围是______.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】B
12.【答案】2（m-1）2
13.【答案】10
14.【答案】0.6π
15.【答案】
16.【答案】0．
17.【答案】x≤-4．
18.【答案】-．
19.【答案】y=-2x-2； -1＜x＜0 2
20.【答案】解：（1）一；
（2）延长BA交MN于点C，
由题意得：AC⊥MN，BC=61米，MN=91米，
设MC=x米，
∴CN=MN-MC=（91-x）米，
在Rt△ACM中，∠AMC=37°，
∴AC=MC tan37°≈x（米），
在Rt△ACM中中，∠ANC=45°，
∴AC=CN tan45°=（91-x）米，
∴x=91-x,
解得：x=52，
∴AC≈x=39（米），
∴AB=BC-AC=62-39=23米．
答：公馆桥的高度约为23米．
21.【答案】360;360 如图3，六边形ABCDEF是平行六边形，分别连接AE，BD，
∴AB∥ED，∠F=∠C，∠ABC=∠DEF，
又∵AB=ED，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴∠ABD=∠AED，
∵∠ABC=∠DEF，
∴∠ABC-∠ABD=∠DEF-∠AED，
∴∠FEA=∠CBD，
在△AEF和△DBC中，
，
∴△AEF≌△DBC（AAS），
∴AF=CD，BC=EF 使得六边形APBCQD是平行六边形的点P、Q，如图即为所求．

22.【答案】48.5，50，10；
女生的体育中考成绩更优异，理由见解析；
540人．
23.【答案】（1）连接OF，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∵AF平分∠EAC，
∴∠OAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠OFA，
∴OF∥AE，
∵AE⊥CF，
∴OF⊥CF，
∵OF是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线 （2）
24.【答案】 ①y=x2-5x+4；②证明：∵点M（x1，m）在函数y=x2-5x+4的图象上，
∴．
由①知，点M（x1，m），N（x2，m）关于直线对称，
不妨设x1＜x2，则，
∴x1+x2=5，即x1=5-x2，
∴，
∴
25.【答案】（1）解：∵点A（2，2），
∴OA==4；
（2）①证明：∵四边形AOBC是平行四边形，
∴AC∥BO，
∵EF是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∵AC∥OB，
∴∠AEF=∠EFB，∠EAB=∠FBA，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE=BF，
又∵BO∥AC，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵AD⊥EF，
∴四边形AFBE是菱形；
②解：∵EF是AB的中垂线，
∴AE=BE，
∴平行四边形AFBE是菱形，
∴AF=BF=AE=BE，
∵点A（0，4），点B（8，0），
∴OA=4=CD，OB=8=AC，
∵AF2=AO2+OF2，
∴BF2=16+（8-BF）2，
∴BF=5，
∴AF=BF=AE=BE=5，
∴OF=CE=3，
当点P在OF上时，点Q在CE上时，四边形APBQ为平行四边形，
∴BP=AQ，
设运动时间为t秒，
∴5+t-5=8-（0.8t-4），
∴t=，
∴BP=AQ=，
∴OP=，
∴点P（，0），点Q（，4）．
26.【答案】①②；
；
-3＜b＜3且b≠0．
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