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2025-2026学年宁夏六盘山高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，，则=（　　）
A. （-1，7） B. （-5，7） C. （5，2） D. （-1，5）
2.在复平面内，复数z=4-3i对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.已知向量满足，，，则向量的夹角为（　　）
A. B. C. D.
5.已知一组数据为：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的80%分位数为（　　）
A. 40 B. 38 C. 37 D. 35
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，b=，A=，则角B=（　）
A. B. C. 或 D. 或
7.甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如图.设甲、乙命中环数的众数分别为Z甲，Z乙，方差分别为，，则（　　）
A. B. Z甲=Z乙，
C. D. Z甲＜Z乙，
8.如图，在河岸CD上测量河对面A，B两点间的距离，测得∠ACD=60°，∠ADC=75°，∠BCD=30°，∠ADB=30°，CD=4，则AB=（　　）
A.
B.
C. 4
D.
二、多项选择题：本大题共4小题，共20分。
9.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（　　）
A. “恰有1名男生”与“恰有2名男生”
B. “至少有1名男生”与“全是男生”
C. “至少有1名男生”与“全是女生”
D. “至少有1名男生”与“至少有1名女生”
10.已知互不相等的数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数为，方差为s2，则下列选项中正确的是（　　）
A. 数据2x1+1，2x2+1，…，2x6+1的平均数为2+1
B. 数据2x1+1，2x2+1，…，2x6+1的标准差为4s
C. 给原数据增加一个数据x7，且，若这七个数据的方差为，则
D. 给原数据增加一个数据x7，且x7=，若这七个数据的方差为，则
11.如图，在等边△ABC中，AB=3，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，.则以下选项正确的是（　　）
A.
B.
C. 2m+n=3
D. 的最小值是
12.已知点O是△ABC所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（　　）
A. 若，则O为△ABC的垂心
B. 若，则O为△ABC的外心
C. 若O为ΔABC的重心，AD是BC边上的中线，则
D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知z1=3+4i,z2=1-i,则|z1+z2|= .
14.已知点P（3，5），Q（4，6），向量，若，则实数λ= .
15.现从编号为01，02，…，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第5个数字开始由左向右读取，则抽取的第3支水笔的编号为 .
39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263
16.正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分：
小组A：86 86 87 90 91 93 93 94
小组B：69 84 90 91 92 93 94 99
（1）分别求两组评委打分的平均分；
（2）判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由.
18.(本小题10分)
如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．
19.(本小题12分)
已知在△ABC中，N为AB中点，，，.
（1）设和的夹角为θ，若，求证：CN⊥AB；
（2）若∠BAC=60°，求.
20.(本小题12分)
某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数：
（2）现已知直方图中考核得分在[70，80）内的平均数为75，方差为6.25，在[80，90）内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[70，90）内的平均数和方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）
21.(本小题12分)
已知a,b,c分别为△ABC三个角A，B，C所对的边，且2acosA=ccosB+bcosC.
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长；
（3）若△ABC为锐角三角形，求的范围.
22.(本小题14分)
如图所示，设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系xOy为θ仿射坐标系，若在θ仿射坐标系下，则把有序数对（x,y）叫做向量的仿射坐标，记为.
（1）若，求；
（2）若，，有同学认为“”的充要条件是“x1x2+y1y2=0”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由；
（3）在θ仿射坐标系下，设，若对任意t∈R恒成立，求θ的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】ABD
13.【答案】5
14.【答案】2．
15.【答案】35．
16.【答案】
17.【答案】90，89 A组更像，理由如下：
两组的方差分别为：，，
由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，而9.5＜72.5，
根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的
18.【答案】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC
=122+202-2×12×20×cos120°=784．
解得BC=28．
所以渔船甲的速度为海里/小时．
答：渔船甲的速度为14海里/小时．
（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，
由正弦定理，得．
即．
答：sinα的值为．
方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，
由余弦定理，得．
即．
因为α为锐角，所以=．
答：sinα的值为．
19.【答案】因为N为AB的中点，所以=-=-，
由平面向量数量积的定义得 =||||cosθ=2×4×=2，
所以 =（-） =- =×22-2=0，
又因为、均为非零向量，所以⊥，即CN⊥AB
20.【答案】t=0.030；85 平均数为81，方差为26.8
21.【答案】 6
22.【答案】 不正确，理由如下：
由及（1）知，，而向量，
则
=，而，
因此的充要条件是，
所以“”的充要条件是“x1x2+y1y2=0”是不正确的 [，π）
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