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2025-2026学年福建省厦门市双十中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设，则方差D（X）=（　　）
A. B. C. D.
2.设A、B为两个事件，且P（A）=0.5，P（B）=0.3，P（A∪B）=0.6，则下列说法中正确的是（　　）
A. P（AB）=0.2 B. A和B互斥 C. A和B相互独立 D. P（B|A）=0.3
3.若定义在区间D上的函数f（x）的导函数为增函数，则称f（x）为D上的凹函数.下列函数中，在定义域上为凹函数的是（　　）
A. y=lnx B. C. y=xex D. y=x2+2cosx
4.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S19=20a10，则S8=（　　）
A. S10 B. S11 C. S12 D. S13
5.五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（　　）
A. 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种
6.已知点A（-1，0），抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则的最大值为（　　）
A. 1 B. C. D. 2
7.将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（　　）
A. 5100种 B. 4800种 C. 4500种 D. 4200种
8.若函数f（x）=ln（x+1）的图象与过M（1，0）的直线l交于P、Q两点，O为坐标原点，当△OPQ的面积最小时，直线l的斜率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第n行的第r个数可以表示为时），则下列选项正确的有（　　）
A. 第2026行中，从左到右数，第1013个数最大
B. 第2026行中，所有奇数项的和为22025
C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为3
D.
10.已知函数f（x）=x3-ax2+4，下列选项正确的有（　　）
A. 函数f（x）一定有极值点
B. 函数f（x）必有对称中心
C. 存在唯一条函数f（x）的切线与函数f（x）的图象只有一个公共点
D. 若函数f（x）有3个零点x1，x2，x3，设，则m的取值范围为
11.乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前已赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为p（0≤p≤1），实际比赛局数的期望值记为f（p），下列说法正确的是（　　）
A. 三局就结束比赛的概率为p3 B. f（1）=3
C. f（1-p）=f（p） D. f（p）最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二项式（x-a）5展开式中x2的系数为-80，则实数a= .
13.若实数a,b满足：ea+a-b-lnb=0，则a-b的最大值为 .
14.已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C分别在第一、二象限交于A，B两点，△ABF2内切圆的半径为r,若|BF1|=2a,，则双曲线C的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数，
（1）当a=1时，，f（x）≥m,求实数m的最大值；
（2）若f（x）在x=2处有极小值，求实数a的值.
16.(本小题15分)
一个袋子中有20个大小相同的小球，其中黑球10个，白球10个，
（1）从中有放回地抽取4个小球作为样本，用X表示样本中白球的个数，求X的分布列和数学期望；
（2）从中不放回地抽取10个小球作为样本，用Y表示样本中白球的个数，则样本中出现几个白球的可能性最大？（要求写出推导过程）.
17.(本小题15分)
已知椭圆的离心率，且过点M（3，1），
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上顶点为点A，若直线l：y=kx-1与椭圆C交于P、Q两点，
（i）证明：以线段PQ为直径的圆过点A；
（ii）求△APQ面积的最大值.
18.(本小题17分)
甲同学在连续学习过程中的学习状态（认真学习/不认真学习）仅与前一天状态有关.若当天认真学习：当天完成作业的概率为0.8，且第二天继续认真学习的概率为0.8，转为不认真学习的概率为0.2；若当天不认真学习：当天完成作业的概率为0.2，且第二天继续不认真学习的概率为0.7，转为认真学习的概率为0.3.
已知甲同学第1天一定认真学习，且约定：连续认真学习满3天，即可获得一次奖励.
（1）求甲同学第2天完成作业的概率；
（2）求甲同学在前5天的学习中，能获得奖励的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n,则.求甲同学在前n天完成作业天数的期望.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=xex+asinx,
（1）当a=1时，求f（x）在O（0，f（0））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在（0，π）内有零点，求实数a的取值范围；
（3）若存在x0，x1∈（0，π），使得f（x0）=f'（x1）=0，求证：x0＜2x1.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】2．
13.【答案】-1．
14.【答案】
15.【答案】m的最大值为 a=2
16.【答案】X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
E（X）=2 样本中出现5个白球的可能性最大
17.【答案】 （i）证明：由（1）知椭圆C的上顶点为点A（0，2），
设直线l：y=kx-1与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，
得x2+3（kx-1）2-12=0，
整理得（1+3k2）x2-6kx-9=0，
所以Δ=36（4k2+1）＞0，，，
又，，
所以=x1x2+（kx1-3）（kx2-3）
=（1+k2）x1x2-3k（x1+x2）+9，
=．
所以，
所以以线段PQ为直径的圆过点A；（ii）9
18.【答案】0.68 0.6784 0.56 n+0.48-0.48×0.5n
19.【答案】y=2x （-∞，-1） 证明：由已知得：，
．
由（2）得-a＞1，则，即2x1∈（0，π），
由（2）知在x∈（0，π）上单调递增，
要证明x0＜2x1，只需要证明，
又因为，所以即证明，
因为cosx1＞0，所以只需要证明，
构造函数m（x）=ex-x-1，n（x）=x-sinx，，
求导得m'（x）=ex-1＞0，n′（x）=1-cosx＞0，
所以m（x）=ex-x-1在上单调递增，
n（x）=x-sinx在上单调递增，
则m（x）=ex-x-1＞m（0）=0，n（x）=x-sinx＞n（0）=0，
即，
利用不等式性质可得：，
即原不等式x0＜2x1得证
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