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2025-2026学年辽宁省大连市沙口区育明高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数f（x）在x=x0处可导，若，则f′（x0）=（　　）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
2.随机变量X的分布列如表所示，若，则D（X）等于（　　）
X -1 0 1
P a b
A. 1 B. C. D.
3.已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7+a4=0，{|an|}的前n项和为Tn，则=（　　）
A. B. C. D.
4.甲盒中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两盒中的球除颜色外没有其他区别）.先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，再从乙盒中随机取出两球，则取出的两球都是白球的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ax+2y-3=0，则3a-2b=（　　）
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
6.某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款a元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是t,并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（　　）
A. a（1+t）12元 B. 元
C. 元 D. 元
7.某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B+，B，C+，C，D+，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X～N（50，256），那么B+等级的原始分最低大约为（　　）
参考数据：对任何一个正态分布X～N（μ，σ2）来说，通过转化为标准正态分布Z～N（0，1），从而查标准正态分布表得到P（X≤X1）=P（Z≤Z0）.可供查阅的（部分）标准正态分布表：
Z0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
P（Z≤Z0） 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713
Z0 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
P（Z≤Z0） 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974
A. 57 B. 64 C. 71 D. 77
8.已知数列{an}的各项均不为0，其前n项积为Tn，且，记数列的前n项和为Sn，则S2026=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 随机事件A，B相互独立的充要条件是
B. 一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为
C. ，则E（X）=1，D（X）=2
D. 若X N（1，22），记函数f（x）=P（X≤x），x∈R，则f（x）的图象关于点对称
10.已知数列{an}满足，设bn=a2n-1，则（　　）
A. B. an+3=an
C. 数列{bn}的前n项和为 D. 数列{an}的前37项和为
11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列，现将{an}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{bn}，则（　　）
A. b2002=1
B. b1+b2+b3+…+b2022=2696
C. a1+a2+a3+…+a2002=a2004-1
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列{an}满足，则a2026= .
13.已知P（）=，P（|A）=，P（B|）=，则P（）= .P（|B）= .
14.已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止.记n次操作后游戏终止的概率为Pn.求Pn关于n的表达式.Pn= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为，且Sn+1+3an+1+9=0.
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足，记{bn}的前n项和为Tn，求Tn；
16.(本小题15分)
为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且（si，yi）与（ti，yi）（i=1，2，3，…，13）的相关系数分别为r1，r2，且r2=-0.9953.
10.15 108.40 3.04 0.16
14.00 -2.10 11.67 0.21 21.22
（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
（2）根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值.
参考数据和公式：0.21×21.22=4.4562，11.67×21.22=247.6374，，对于一组数据（ui，vi）（i=1，2，3，…，n），其回归直线方程v=α+βu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，α=v-β，相关系数.
17.(本小题15分)
某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“是否为网购迷与性别有关系”；
网购人群类别 性别 合计
男 女
网购迷 20
非网购迷 45
合计 100
（2）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：
类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数
甲 80 40 16 24
乙 90 60 18 12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望.
附：.
α 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
Xa 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.(本小题17分)
已知数列{an}满足.
（1）求{an}的前n项和Sn；
（2）记数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn=2bn-2n+2+6.
（i）并求出{bn}的通项公式；
（ii）求数列{}的前n项和Mn.
19.(本小题17分)
在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市，从干线枢纽到目的地城市；有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为.
（1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；
（2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.
记第n次选择方案A，B，C的概率分别为an，bn，cn.
（i）求a2，b2，并证明：数列为等比数列；
（ii）在研发的这套智能自适应调度系统的核心算法下，求物流提前送达的概率；
（提示：可构造an+kbn+c为等比数列（其中k,c为常数）
（iii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率，并说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】

14.【答案】
15.【答案】an=-3×（）n Tn=-4n×（）n+1
16.【答案】模型建立y与x的回归方程更合适；
；
960万元．
17.【答案】补全2×2列联表如下：
网购人群类别 性别 合计
男 女
网购迷 15 20 35
非网购迷 45 20 65
合计 60 40 100
有97.5%把握认为“是否为网购迷与性别有关系”
18.【答案】Sn=n2- （i）bn=（2n-1）×2n；（ii）Mn=
19.【答案】 （i），；（iì）；（iii）能提高
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