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2025-2026学年重庆市第八中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列统计量中，能度量样本离散程度的是（　　）
A. 中位数 B. 平均数 C. 标准差 D. 众数
2.某市有大型超市15家，中型超市75家，小型超市165家.为掌握全市超市的营业情况，现按大型超市、中型超市、小型超市进行分层，通过分层随机抽样的方法抽取一个容量为68的样本，则应抽取中型超市（　　）家.
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
3.设函数，则=（　　）
A. B. C. D.
4.某市连续8天的AQI（空气质量指数）按从小到大的顺序排列为26，29，35，40，43，57，61，68，则这组数据的下四分位数为（　　）
A. 29 B. 32 C. 57 D. 59
5.设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的（　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在如图所示的六宫格中，每个格子用1、2、3、4、5中的一个数字填入，要求1用两次，其余数字各用一次，且两个1不相邻，则不同的填法共有（　　）种.
A. 144 B. 192 C. 288 D. 384
7.数列{an}中，a1=3，对 m、n∈N*，有am+n=am+an，若ak+1+ak+2+ak+3+ +ak+8=228，则k=（　　）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8.有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（　　）
A. 甲与乙互斥 B. 丙与丁对立 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.关于（2x-1）8的展开式，下列说法正确的是（　　）
A. 展开式共有8项 B. 展开式中第5项的二项式系数最大
C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中x3项的系数为448
10.有一组样本数据x1，x2， ，x10，其平均数为5，方差为，中位数为m1.在这组数中，去掉一个最大的数8和一个最小的数2，余下8个数据的中位数为m2，极差为n,方差为，则（　　）
A. m1=m2 B. n＜6 C. D.
11.某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（　　）
A. 甲队的积分可能为8分 B. 甲队积分为3分的概率为
C. 四支球队的积分总和可能为14分 D. 甲队胜2场且乙队负2场的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，记录向上一面的点数，若已知5个点数的中位数为2，唯一的众数为1，则平均数最大为 .
13.若自然数p使得作竖式加法p+（p+1）+（p+2）不发生进位现象，则称p为“可加数”，例如12+13+14不产生进位，所以12是“可加数”，41+42+43产生了进位现象，所以41不是“可加数”.那么在小于422的三位自然数中，“可加数”共有 个.
14.若对任意的x∈（0，+∞），恒有，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了100位同学的测试成绩，按[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100）分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图.
（1）若规定成绩排名前30%的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？
（2）已知落在[70，80）内的平均成绩是77分，方差是4分，落在[80，90）内的平均成绩是84分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差s2.
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m、、；n、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差.
16.(本小题15分)
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，且AB=2AD=2，，AD⊥BD，Q，H分别为AA1，D1B的中点.
（1）求平面QBH与平面HBC的夹角的正弦值；
（2）求三棱锥Q-BCH的体积.
17.(本小题15分)
某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案；若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为p1（0＜p1＜1），模型乙回答正确的概率为p2（0＜p2＜1），假设各模型每次回答相互独立.
（1）当p1=0.9，p2=0.8时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率；
（2）若对任意p2∈[0.6，1），系统最终输出正确答案的概率都不低于0.8，求p1的最小值.
18.(本小题17分)
过抛物线C：y2=2x上任意一点M（2m2，2m）（m≠0）作C的切线l1，交y轴于点N，过点N作垂直于l1的直线为l2，交C于A、B两点.
（1）求直线l1的方程；
（2）证明直线l2过定点，并求出定点坐标；
（3）求△ABM面积的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数，g（x）=（ax+2）lnx,a∈R.
（1）讨论g′（x）的单调性；
（2）记f（x）的极值点为x0，若a＜0，b∈R，对任意的x＞0，g（x）≤ax+b恒成立，证明：b-a+2x0≥0.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】3．
13.【答案】36．
14.【答案】
15.【答案】86.25 ，
16.【答案】解：（1）因为在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，
且AB=2AD=2，，AD⊥BD，Q，H分别为AA1，D1B的中点，
所以，
所以建系如图：
则，
所以，
设平面QBH的法向量为，平面HBC的法向量为，
所以，，
取，，
设平面QBH与平面HBC的夹角为θ，
所以，
所以；
（2）由（1）点Q到平面BCH的距离为：，
又，所以BC⊥BH，
又因为，BC=AD=1，
所以，
所以三棱锥Q-BCH的体积为．

17.【答案】0.26 3-
18.【答案】x-2my+2m2=0 证明：在直线l1的方程中，令x=0可得y=m，即点N（0，m），
所以直线l2的斜率为，故直线l2的方程为，
所以直线l2过定点
19.【答案】当a≤0时，函数g′（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数g′（x）在上单调递减，在上单调递增 由，得f′（x）=ex+x+1，
因为函数y=ex，y=x+1在R上单调递增，所以函数f′（x）在R上单调递增，
又，，
则存在x0∈（-2，-1），使得f′（x0）=0，
当x＜x0时，f′（x）＜0，当x＞x0时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
则f（x）仅有一个极值点x0∈（-2，-1），且．
由题意，对任意的x＞0，（ax+2）lnx≤ax+b恒成立，
即b≥（ax+2）lnx-ax恒成立，
设h（x）=（ax+2）lnx-ax，x＞0，则，a＜0，
因为函数在（0，+∞）上单调递减，
所以函数在（0，+∞）上单调递减，
又h′（1）=2＞0，x→+∞时，h′（x）→-∞，
则存在x1∈（1，+∞），使得，即，
当0＜x＜x1时，h′（x）＞0，当x＞x1时，h′（x）＜0，
所以函数h（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，
则，
即，所以，
设t=-ax1，t＞0，则，即，，
所以，设，
则，
令F′（t）=0，得，
该方程当且仅当，即时等号成立，即，
则F′（t）=0有唯一零点，此时F（t）在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即b-a+2x0≥0
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