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北京市第五中学2025-2026学年度第二学期期中检测试卷高二数学
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.函数在处的瞬时变化率为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知的展开式中的系数为（ ）
A. 243 B. 40 C. 32 D. 10
3.设是两个随机事件，且，如果，那么事件与是（ ）
A. 互斥事件 B. 对立事件 C. 独立事件 D. 包含事件
4.已知，则（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
5.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.过原点的直线l与曲线y=lnx+1相切，则切点坐标为（　　）
A. （1，1） B. （2，ln2+1） C. （e,2） D.
7.中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（）
A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种
8.“”是“函数存在单调递减区间”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10.已知，对于，记，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. ，都有
C. 若，则 D. ，使得
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若展开式的第三项和第四项的二项式系数同时最大，则 ，其展开式中的常数项为 .
12.在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则机器人成功完成指令的概率为.假设下达的动作指令表述模糊的概率为，则该机器人成功完成指令的概率为 .
13.在刚过去的“五一”假期，甲、乙、丙、丁四名同学从，，三个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为 .
14.已知函数的导函数，请写出一个满足条件且的函数 .
15.设，，其中，定义，给出下列四个结论：
①当时，共有2个极值点；
②，都有；
③，使得是增函数；
④若恰有个零点，则.
其中正确结论的序号为 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
在△中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且，．
(1)求证：△为等腰三角形；
(2)从条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知，求AC边上的高h．
条件①：△的面积为；条件②：△的周长为20．
17.(本小题12分)
2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约 安全 精彩”的冬奥盛会拉开序幕.
为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率）
收看方式 通过电视收看 通过手机收看 没有收看
人数（人） 200 300 100
(1)从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率；
(2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和期望；
(3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为；若3人都用手机收看的概率为.试比较与的大小.（直接写出结论）
18.(本小题12分)
如图，在三棱柱中，侧面，均为矩形，点D是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，．
（Ⅰ）求直线到平面的距离；
（Ⅱ）在棱上是否存在点M，使得直线与平面所成角为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
20.(本小题14分)
定义在上的函数在取得极小值.函数满足（其中是的导函数）且.
(1)求的最小值；
(2)解不等式；
(3)若，求过点作的切线有多少条？
21.(本小题15分)
已知各项均为正整数的有穷数列满足，有，若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质.
(1)判断下列数列是否具有性质，并说明理由：
①
②
(2)已知数列具有性质，求出的所有可能取值；
(3)若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】 ； ； ； ； ； ；
12.【答案】 /
13.【答案】
14.【答案】 /答案不唯一
15.【答案】①③
16.【答案】(1)证明：
因为，由余弦定理可得：，又，设，
则，解得（舍）或，
故△为等腰三角形，即证.
(2)
选①：△的面积为，
由，可得，又，故，
则，又，故可得，又，则，
因为AC边上的高为h，故，故可得；
选②：△的周长为20，
则，即，结合可得，
由，可得，又，故，
则，即，解得.
综上所述，选择①②作为条件，均有.
17.【答案】解：（1）由频率估计概率，总人数为(人)，
通过电视收看的人数为200(人)，；
（2）由题意，～，可能的值为，服从超几何分布：
；
；
；
；
分布列如下：
；
（3）由题意知，指随机抽取的人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率.
从人中任选人有种，其中人用手机收看的概率为，
再从剩下的两人中任选人，有种，用电视收看的概率为，还有人没有收看的概率为，
由分步计数原理得：；
同理得，
所以.

18.【答案】解：（1）证明：由题意：连接 交 于点 ，
∵ 为矩形∴ 为 中点，
连接 ， ，
在△ 中， 为 中点，D是棱 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平面 ；
（2）（Ⅰ）由题意及（1）得 平面 ，
∴直线 到平面 的距离与点 到平面 的距离相等，
连接 ，设点 到平面 的距离为 ，
∵ ， ，
∴由几何知识得 ， ， ，
在△ 中， ，
∴△ 是直角三角形，
∴ ，
取 中点 ，连接 ，
由几何知识得， ，易得 ，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴直线 到平面 的距离为 ；
（Ⅱ）由题意，（1）及（2）（Ⅰ）得，
以点 为原点， ， ， 方向为 轴，建立空间直角坐标系如下图所示，
则 ， , ， ， ，
∴ ， ，
设 ， 为面 的一个法向量，
∴ ，
∴ 即 ，解得： ，
当 时， ，
∴面 的其中一个法向量 ，
若直线 与平面 所成角为 ，
∴ ，
整理得 ，
解得： ，
∴ .

19.【答案】解：（1）由焦距为，可得，即，
由椭圆定义可得，故，
故，
即椭圆的标准方程为；
（2）由题意可得，设，、，
联立，消去可得，恒成立，
则，，
则，，即，
则，令，解得，即，
若在以为直径的圆上，则，
由，，
即有
，
即
，
令，解得，
故以为直径的圆恒过定点.


20.【答案】解：（1）因为，则，
由题意可知：，解得，
若，则，，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则在取得极小值，所以符合题意，
所以的最小值为.
（2）由（1）可知：，即，
可知在定义域内单调递增，且，
不等式即为，可得，
所以不等式的解集为.
（3）由题意可知：，可设，，
因为，解得，即，
则，符合题意，
即，，
设切点坐标为，则切线斜率，
则切线方程为，
代入点可得，
整理可得，
设，则，
令，即，解得或；
令，即，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则的极大值为，，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
由图象可知：有2个零点，所以过点作的切线有2条.

21.【答案】解：（1）①任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，
而，所以具有性质；
②，任意两项和的结果有共7个，
而，所以不具有性质．
（2）因为数列中任意两项和的结果有共个，且全部为偶数，
所以数列，任意两项和不同的取值最多有个，
所以，
若为奇数，都是奇数，与前6项中任意两项和的值均不相同，
则中所有的不同值共有15个，所以．
若为偶数，都是偶数，所以，所以，
因为，有，所以，则，
则任意两项和比任意两项和多了，共个，不符合题意；
综上，.
（3）存在最小值，且最小值为4049．
将的项从小到大排列构成新数列：，
所以
所以的值至少有个．
即的值至少有4049个，即．
数列符合条件，即．
此时为等差数列，由等差数列性质，
当时，；当时，，
因此每个等于中的一个，或者等于中的一个．
即所有和的不同值为个不同值，且．
综上，的最小值为4049

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