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2025-2026学年广东省东莞市初中联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列各式计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.某研究院承担了当地山体隧道的设计工作，为了得到A，B两点之间的距离，测得山体附近地形数据简图如图所示（此为山体从上往下看得到的图形，图中测量线拐点处均为直角），则隧道AB的长度为（　　）
A. 12km B. 13km C. 15km D. 16km
4.下列各组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A. 2，3，4 B. 1，4，9 C. 5，12，13 D. 5，11，12
5.如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也.合矩以为方，中规乃行”.如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若AO=CO，且BO=DO，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（　　）
A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等
C. 一组对边平行且相等 D. 两组对边分别平行
6.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若AB=OB=5.则AC=（　　）
A. 10
B. 8
C. 5
D. 5
7.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A. x2-6=（10-x）2 B. x2-62=（10-x）2
C. x2+6=（10-x）2 D. x2+62=（10-x）2
8.如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP长度的变化情况是（　　）
A. 不断增大
B. 不断减小
C. 先减小后增大
D. 不变
9.如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、2、3，则最大正方形E的面积是（　　）
A. 12
B. 16
C. 25
D. 38
10.如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的最小值是（　　）
A. 3
B. 4
C. 4.8
D. 5
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12.计算的结果是 .
13.比较大小：2 3.（填“＞”“＜”或“=”）
14.如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE=16米，则A、B两点间的距离为 m.
15.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是 ．
16.已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为 .
17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”.当AC=8，BC=6时，阴影部分的面积为 .
三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：.
19.(本小题6分)
先化简，再求值：（1-）÷，其中a=-1.
20.(本小题6分)
人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦-秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=，那么，这个三角形的面积S=.如图，在△ABC中，a=3，b=6，c=7.
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，BC边上的高为h2.求h1+h2的值.
21.(本小题9分)
如图，四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB=10cm,AD=8cm,DE=6cm.
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求折痕AF长.
22.(本小题9分)
森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB=1000m,AC=600m,BC=800m,飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.
（1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？
（2）若该飞机的速度为14m/s,要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
23.(本小题9分)
如图1，在4×4的方格中，每个小正方形的边长为1.
（1）图1中正方形ABCD的边长为______；
（2）如图2，若点A在数轴上表示的数是-1，以A为圆心，AD为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______；
（3）请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上.（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）
24.(本小题12分)
问题呈现：对于任意正实数x、y,由于，所以有，于是，只有当x=y时，才成立.也就是说，若xy为定值p,则当x=y时，x+y有最小值.
（1）应用：对于正实数x,当x=______时，代数式，有最小值______.
（2）数学思考：现有面积为1的矩形ABCD，直接写出其周长的最小值______.
（3）拓展运用：如图，在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（0，-4），点P为第一象限内一动点，过P分别向坐标轴作垂线，分别交x、y轴于C、D两点，矩形OCPD的面积始终为12.求四边形ABCD面积的最小值和此时点P的坐标.
25.(本小题12分)
在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE=______，EF=______
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】x≥-2
12.【答案】1．
13.【答案】＜
14.【答案】32
15.【答案】17m
16.【答案】或5
17.【答案】24．
18.【答案】．
19.【答案】解：（1-）÷
=
=，
当a=-1时，原式==．
20.【答案】解：（1）∵a=3，b=6，c=7，
∴p===8，
∴S===4；
∴△ABC的面积为4；
（2）由（1）知，∴△ABC的面积为4；
∴S=1=4，S=×h2=4，
∴h2=，h1=，
∴h1+h2=+=．
21.【答案】（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE=AB=10cm，AE2=102=100，
又∵AD2+DE2=82+62=100，
∴AD2+DE2=AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）解：设BF=x cm，则EF=BF=x cm，EC=CD-DE=10-6=4cm，FC=BC-BF=（8-x）cm,
在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
故BF=5cm.
在Rt△ABF中，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，
∵AB=10cm，BF=5cm,
∴AF==5cm.
22.【答案】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AB=1000m,AC=600m,BC=800m,
∴AC2+BC2=6002+8002=10002，AB2=10002，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴，
即600×800=1000CD，
解得CD=480（m），
因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，480＜500，
所以着火点C受洒水影响；
（2）如图，当EC=FC=500m时，飞机正好喷到着火点C，
在Rt△CDE中，，
所以EF=2ED=280m.
因为飞机的速度为14m/s,
所以280÷14=20（s），
20秒＞15秒，
答：着火点C能被扑灭．
23.【答案】 如图，正方形的面积为5．

24.【答案】2;4 4 四边形ABCD面积的最小值为24，此时点P的坐标为（3，4）
25.【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC===5，
由题意得：AE=CF=t，
∴EF=AC-AE-CF=5-2t；
故答案为：t，5-2t；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，
∴AC===5，∠GAF=∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG=BG，CH=DH，
∴AG=CH，
∵AE=CF，
∴AF=CE，
在△AFG与△CEH中，，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF=HE，
同理：可证△AGE≌△CHF，可得：GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接GH，
由（2）可知四边形EGFH是平行四边形，
∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴GH=BC=4，
∴当EF=GH=4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①AE=CF=t，EF=5-2t=4，
解得：t=0.5．
②AE=CF=t，EF=5-2（5-t）=4，
解得：t=4.5
即：当t为0.5秒或4.5秒时，四边形EGFH为矩形.
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