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2025-2026学年广东省湛江市徐闻县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算-5+3的结果是（　　）
A. -8 B. 8 C. -2 D. 2
2.AI是人工智能的英文缩写，下列4个AI品牌的图标是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.2026年全国两会审议通过的《政府工作报告》及“国家账本”预算报告数据显示，2026年全国教育支出达到4.58万亿元，中央本级教育支出安排1925亿元，财政投入力度前所未有.将2026年全国教育支出4.58万亿元用科学记数法表示为（　　）
A. 4.58×1011元 B. 4.58×1012元 C. 4.58×1013元 D. 45.8×1012元
4.下列计算正确的是（　　）
A. （3x）2=3x2 B. 3x+3y=6xy
C. （x+y）2=x2+y2 D. （x+2）（x-2）=x2-4
5.不等式组的解集是（　）
A. x＞5 B. 3＜x＜5 C. x＜5 D. x＞-5
6.如图，坡角为25°的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为（　　）
A. 25°
B. 55°
C. 65°
D. 115°
7.从-2，-1，3中任意取一个数作为正比例函数y=kx中的k,则正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是（　　）
A. B. C. D.
8.下列对二次函数y=x2-x的图象的描述，正确的是（　　）
A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 顶点在x轴的上方
9.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，则cos∠ADC的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.在 ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线BO，交AD于点E，CD的延长线于点F.已知AB=3，DE=2，下列结论错误的是（　　）
A. ∠ABE=∠CBE B. BC=5 C. DE=DF D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：-= ______．
12.分解因式：xy2-x= ．
13.已知一元二次方程x2-6x+2=0有两个实数根x1，x2，则x1+x2-x1x2的值等于 .
14.如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F．若DE=，则BC的长为______．
15.如图，△ABC为圆的内接三角形∠CAB=29°，∠B=34°，将△ABC绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为 °.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：.
17.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中x=2．
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．

（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
19.(本小题9分)
图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人识别身份成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”成轴对称，∠ABC=∠DEF=30°，半径BA=ED=60cm,且它们之间的距离AD为10cm.
（1）求闸机通道的宽度即BC与EF之间的距离；
（2）经调查，一个智能闸机平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数.
20.(本小题9分)
指向五育并举的过程性评价是新时代教育改革与发展的重大命题.党的二十大报告指出：“全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人.某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程.为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）.学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成如图的条形统计图.
（1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为______；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
21.(本小题9分)
科技创新是发展的第一动力.某科研公司向市场推出了一款创新产品，该产品的成本价格是40元/件，销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
x（件） 10 15 20 …
y（元/件） 58 57 56 …
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求销售利润W（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？
（3）为了保证销售利润不低于420元，求该产品的销售价格的取值范围.
22.(本小题13分)
【问题情境】：在数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在等边△ABC中，点O是BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△DEF，DE与AC交于点G，连接AD和EC.试猜想线段AD与CE的数量关系，并加以证明.
（1）请你根据图①的情况，解答老师提出的问题；
（2）“善思小组”发现，如图②，连接OG和CD，则直线OG垂直平分线段CD，请你根据图②的情况加以证明.
23.(本小题14分)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-2x+3的图象（记为G1）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，二次函数y=x2+bx+c的图象（记为G2）经过点A、C.直线x=t与两个图象G1、G2分别交于点M、N，与x轴交于点P.
（1）求b,c的值.
（2）当点P在线段AO上时，求MN的最大值.
（3）设点M，N到直线AC的距离分别为m,n,当mn=2时，求对应的t值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】1
12.【答案】x（y-1）（y+1）
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】54
16.【答案】．
17.【答案】解：原式=
=
=，
当x=2时，原式==．
18.【答案】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；

（2）证明：如图2，连接OD，

∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴ ∠ODB=90°，
即OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线．
19.【答案】闸机通道的宽度即BC与EF之间的距离为70cm 一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人
20.【答案】合格；
2.5分；
240名．
21.【答案】y=-x+60 W=-x2+20x，当销售量为50件时，销售利润最大，最大值是500元 该产品的销售价格的取值范围为46≤y≤54
22.【答案】AD=CE，理由如下：
如图，连接AO和EO，
∵△DEF由△ABC旋转得到，
∴AO=EO，∠BOD=∠COF，AB=AC，点O是BC中点，
∴AO⊥BC，
∴∠AOB=90°，
同理，∠EOF=90°，
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=∠EOF-∠COF=∠EOC，
在△AOD和△EOC中，
，
∴△AOD≌△EOC（SAS），
∴AD=EC 由（1）得AD=CE，
由（1）证明得△ADO≌△ECO，
∴∠DAO=∠CEO，
∵，
∴∠DAG=∠DAO+∠OAG=∠CEO+∠DEO=∠GEC，
又∵∠AGD=∠EGC，
∴△AGD≌△EGC（AAS），
∴DG=GC，
∵OD=OC，GD=GC，
∴点G和O都在线段CD的垂直平分线上，
∴直线OG垂直平分CD
23.【答案】b=4，c=3 t值为或或-1或-2
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