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2025-2026学年上海科技大学附属学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是（　　）
A. ∠A=60° B. ∠B=60°，AB=AC C. ∠B+∠C=120° D. AB=AC
2.已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则它的周长是（　　）
A. 25或20 B. 25 C. 20 D. 15
3.如图，△ABC中，∠B=30°，∠BCA=70°，请依据尺规作图的作图痕迹，计算∠α=（　　）
A. 30°
B. 70°
C. 80°
D. 100°
4.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD是△ABC的中线，如果∠B=70°，那么以下结论中，错误的是（　　）
A. ∠CAD=20°
B. AD⊥BC
C. △ABD的面积是△ABC面积的一半
D. △ABD的周长是△ABC周长的一半
5.在△ABC中，∠B=∠C=50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，则以下结论错误的是（　　）
A. 直线AD是线段BC的垂直平分线
B. ∠APO+∠DCO=30°
C. △OPC是等边三角形
D. AB＞AO+AP
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.比较大小：4 .（填“＞”或“＜”）
8.如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是 .
9.已知≈1.732，≈5.477，那么≈ .
10.如果和互为相反数，那么xy的立方根是 .
11.2025年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外（DUV）激光光源系统，理论上可支撑3nm芯片制造工艺.已知1nm=0.0000001cm,则3nm用科学记数法表示为 cm.
12.大于且小于的整数的和是 .
13.一个正数a的平方根是2x-1与2-x,则2-a的值是 .
14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为______．
15.如图，MN是△ABC中AC边的垂直平分线，已知△ABC与△BCM的周长分别为22cm和14cm,则CN的长为 cm.
16.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④∠DAE=∠DBC.其中正确的有 （填番号）
17.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP=3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM=4.2，则EN= .
18.用一条线段可以把一个三角形分割成两个三角形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”.那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是______.
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：.
20.(本小题6分)
若x,y是有理数，且满足.
（1）求x,y的值；
（2）求x+2y的平方根.
21.(本小题6分)
已知|a|=4，b是9的算术平方根，3c-2的立方根是-2.
（1）求a,b,c的值；
（2）若a＜c＜b,求5a+2b-c的立方根.
22.(本小题7分)
已知，如图，AD，CE相交于点G，且AD⊥CE.
（1）尺规作图：作线段AD的垂直平分线，垂足为点H，交AE的延长线于点B，交CD于点F；（保留作图痕迹，不写作法，作图请用黑色字迹的笔描黑）
（2）若∠C=∠ABF，求证：△ABH≌△DFH.
23.(本小题7分)
如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E是BC的中点，BF∥AC交DE的延长线于点F.
（1）试说明：△CDE≌△BFE；
（2）若CA=CB，CE=6，BF=4，求AD的长.
24.(本小题6分)
如图，已知在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，点E为AC边上任意一点（不与A、C重合），连接BE交AD于点F.求证：BF＞EF.
25.(本小题8分)
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．
（1）补全图形；
（2）求证：△BDF是等腰三角形；
（3）求证：AB+BD=2AC．
26.(本小题12分)
已知在△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，点C是平面内一点，联结AC、BC、OC，OA=OC.
（1）如图1，点O在△ABC的内部.
①当∠ACO=20°，求∠OBC的度数；
②当CO平分∠ACB，判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接写出答案）.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】＞
8.【答案】72°
9.【答案】54.77
10.【答案】2．
11.【答案】3×10-7
12.【答案】2
13.【答案】-7．
14.【答案】60°或120°
15.【答案】4
16.【答案】①②④
17.【答案】1.8
18.【答案】22.5°或18°或36°或45°
19.【答案】．
20.【答案】 ±4
21.【答案】a=±4，b=3，c=-2 -
22.【答案】如图：

由条件可知BF垂直平分AD，
∴∠AHB=∠DHF=90°，AH=DH，
由条件可知CE∥BF，
∴∠C=∠BFD，
由条件可知∠BFD=∠ABF，
∴△ABH≌△DFH（AAS）．
23.【答案】证明见解析 8
24.【答案】见解答．
25.【答案】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=22.5°，
∴∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5°，
∵点A与点E关于直线BC对称，
∴∠EBC=∠CBA=45°，
∴∠ABF=90°，
∴∠AFB=90°-∠BAD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠BDF=∠AFB，
∴BF=BD；
∴△BDF是等腰三角形；
（3）证明：过D作DK⊥AB于K，如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠KAD，
∵DK⊥AB，
∴∠AKD=90°=∠ACD，
在△ACD和△AKD中，
，
∴△ACD≌△AKD（AAS），
∴AC=AK，CD=DK，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠KBD=45°，
∴△KBD是等腰直角三角形，
∴BK=DK，
∴BK=CD，
∵AB=AK+BK，
∴AB=AC+CD，
∴AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC．
26.【答案】解：（1）①在△OAC中，OA=OC，∠ACO=20°，
所以∠CAO=∠ACO=20°，
所以∠AOC=180°-（∠CAO+∠ACO）=140°，
又因为∠AOB=120°，
所以∠BOC=360°-（∠AOC+∠AOB）=100°，
因为OA=OB，OA=OC，
所以OB=OC，
在△BOC中，OB=OC，∠BOC=100°，
所以∠OBC=∠OCB=（180°-∠BOC）=40°；
②△ABC为等边三角形，理由如下：
如图1所示：

因为CO平分∠ACB，
所以设∠OCA=∠OCB=α，则∠ACB=2α，
在△OAC中，OA=OC，
所以∠OAC=∠OCA=α，
在△OBC中，OB=OC，
所以∠OBC=∠OCB=α，
在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，
所以∠OBA=∠OAB=（180°-∠AOB）=30°，
所以∠CAB=∠OAB+∠OAC=30°+α，∠CBA=∠OBA+∠OBC=30°+α，
在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA=180°，
所以2α+30°+α+30°+α=180°，
所以α=30°
所以∠ACB=2α=60°，∠CAB=30°+α=60°，∠CBA=30°+α=60°，
所以△ABC为等边三角形；
（2）∠OCB的度数为20°或40°，理由如下：
因为直线BC与直线AO相交于点D，且△COD是以DO为腰的等腰三角形，
所以有以下两种情况：
①当直线BC与线段AO交于点D时，如图2①所示：
设∠OCB=β，
因为△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC，
所以∠DOC=∠OCB=β，
因为∠AOB=120°，
所以∠COB=∠DOC+∠AOB=β+120°，
在△OBC中，OB=OC，
所以∠OBC=∠OCB=β，
因为∠OCB+∠COB+∠OBC=180°，
所以β+β+120°+β=180°，
所以β=20°，
即∠OCB=β=20°，
②当直线BC与AO的延长线交于点D时，如图2②所示：
设∠OCB=θ，
因为∠AOB=120°，
所以∠BOD=180°-∠AOB=60°，
因为△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC，
所以∠DOC=∠OCB=θ，
所以∠COB=∠DOC+∠BOD=θ+60°，
在△OBC中，OB=OC，
所以∠OBC=∠OCB=θ，
因为∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，
所以θ+θ+θ+60°=180°，
所以θ=40°，
所以∠OCB=θ=40°，
综上所述：∠OCB的度数为20°或40°．
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