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2025-2026学年广东省阳江市部分校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
2.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＞2027 B. x≥2027 C. x≤2027 D. x＜2027
3.如图，数轴上与对应的点大致是（　　）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
4.已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A. ∠A：∠B：∠C=1：2：3 B. a2=（b+c）（b-c）
C. ∠A=2∠B=3∠C D. a：b：c=3：4：5
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（　　）
A. 当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B. 当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
C. 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
D. 当∠DAB=90°时，四边形ABCD是矩形
6.笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为6km,BC的长为8km,则C，D之间的距离为（　　）
A. 3km B. 4km C. 5km D. 6km
7.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB=3，AC=2，则四边形ABCD的面积为（　　）
A. B. C. D. 5
8.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索长是多少？”示意图如图所示，请求出绳索的长度为多少尺（结果保留1位小数）（　　）
A. 9.1尺
B. 9.2尺
C. 12.1尺
D. 12.2尺
9.如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（　　）
A. B. C. D.
10.如图，在正方形ABCD中，P是BC边上一点，AP的垂直平分线交AB于点M，交AD的延长线于点N，连结PN交CD于点Q，连接AQ.给出下面四个结论：①NA=NP；②PA平分∠BPN；③BP+DQ=PQ；④若P是BC中点，则Q也是CD中点.上述结论中，正确结论的序号有（　　）
A. ①②③④ B. ①② C. ①②③ D. ①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知是整数，则正整数n的最小值是 .
12.若1，a,3是三角形的三边长，化简= .
13.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折，使得点B落在点E处，CE交AD于点F，若CE平分∠ACD，AF=2，则CD长是 .
14.如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏，一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放，把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示.若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为 .
15.如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A（-3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是 .
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
16.计算：.
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（OA=3米），向右转24°，再前进3米后到达点B（AB=OA=3米），又向右转24°，…这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）n的值为______.
（2）小明走出的这n边形的周长为______米.
（3）若一个正m边形的内角和比外角和多720°，求这个正m边形的边数.
18.(本小题7分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，BE=DF，∠AOE=90°，连接AE、FC.求证：四边形AECF是菱形.
19.(本小题9分)
如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C.
（1）若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离；
（2）当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向.此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援.若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？
20.(本小题9分)
如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
21.(本小题9分)
填空及解答：
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷.
（1）图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理.
证明：由等面积法知：S大正方形=4S直角三角形+S小正方形，
∴______，
∴______，得证.
（2）应用勾股定理
应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点.
如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使FG=1，以原点O为圆心，OF为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是______.
应用场景2——解决实际问题.
如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m,将它往前推2m至C处时，即水平距离CD=2m,踏板离地的垂直高度CF=1.5m,它的绳索始终拉直，求绳索AC的长.
22.(本小题13分)
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”.某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题：
（1）如图1，点E，F，G，H分别为任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下：
请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1：______；依据2：______；
（2）该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）.
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（3）如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形ABCD为“中方四边形”，则其对角线AC与BD应满足特殊的数量关系和位置关系.请写出AC与BD应满足的条件，并证明你的结论.
（4）如图3，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，GC，EG，求证：四边形BCEG是“中方四边形”.
23.(本小题14分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,E，F是对角线AC上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s,运动时间为t（0≤t≤5）s.
（1）若G，H分别是AB，DC的中点，当t＜2.5时，求证：以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形.
（2）当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形？
（3）若G，H分别是折线A-B-C，C-D-A上的动点，分别从点A，C开始，以与E，F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是菱形？
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】6
12.【答案】2a-6
13.【答案】．
14.【答案】2
15.【答案】3
16.【答案】解：原式=××+1-6×+2
=2+1-2+2
=3．
17.【答案】15 45 8
18.【答案】在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
即AF∥EC，
又BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠AOE=90°，即AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
19.【答案】解：（1）如图，连接BD，
Rt△ABD中，AB=3，AD=4，
∴BD=5，
∵BC=12，CD=13，
∴CD=132=169，BD2+BC2=52+122=169，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠CBD=90°，
∴点D到直线BC的距离是5海里；
（2）如图，过点C作CE⊥AB于E，
∵∠CBE=45°，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴CE=BE=4，
∴BC=4，
∴CD=AE=3+4=7，
∵4＜7，
∴CD＞BC，
∴若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣搜救艇B前往救援能更快到达轮船出事点．
20.【答案】解：（1）OE=OF，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠OEC=∠ACE，
∴OE=OC，
同理可得：OC=OF，
∴OE=OF；
（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；
理由如下：
∵OA=OC，OE=OF（已证），
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACG，
∴∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，
即∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．
21.【答案】;c2=a2+b2 应用场景1：；应用场景2：2.5m
22.【答案】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ④ AC⊥BD，AC=BD；证明：∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，EH⊥EF，
∵，
∴AC⊥BD，AC=BD 如图3，连接CE，BG，设CE分别交AB，BG于点H，点O，
∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，
∴AE=AB，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，
∴∠BAG=∠EAC，
在△BAG和△EAC中，
，
∴△BAG≌△EAC（SAS），
∴∠AEC=∠ABG，CE=BG，
又∵∠AHE=∠OHB，
∴180°-∠AHE-∠AEH=180°-∠OHB-∠OBH，
∴∠BOH=∠EAH=90°，
∴BG⊥CE，
∴CE=BG且BG⊥CE，
∴由（3）可得四边形BCEG是“中方四边形”
23.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∵G，H分别是AB，DC的中点，
∴，，
∴AG=CH．
∵E，F分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，且t＜2.5，
∴AE=CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴∠GEF=∠HFE，
∴GE∥HF，
∴以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形 当t为4.5s或0.5s时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形 当时，四边形EGFH是菱形
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