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2025-2026学年甘肃省兰州市城关区云麓山学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.若一个多边形的外角和是它的内角和的2倍，则这个多边形是（　　）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
3.小温将含30°角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得∠AFD=55°，则∠ABC的度数为（　　）
A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
4.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A. ∠A+∠B=∠C B. ∠A=2∠B=3∠C
C. ∠A-∠B=∠C D. AB：BC：AC=5：12：13
5.若实数a、b满足a＜b,则下列式子成立的是（　　）
A. a-1＜b-1 B. -a＜-b C. D. a2＜b2
6.如图，在△ABC中，BC=9cm.将△ABC沿BC所在直线向右平移，所得的对应图形为△DEF，当点E在点C左侧时，连接AD，若AD=2CE，则平移的距离是（　　）
A. 12cm
B. 9cm
C. 6cm
D. 15cm
7.2025年U20亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行24场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，其中一支队伍在前20场比赛中，负2场，积分超过了48分，设该球队胜了x场，则下列不等关系正确的是（　　）
A. 3x+（20-x）＞48 B. 3x+（18-x）＞48
C. 3x+（20-x）≥48 D. 3x+（18-x）≥48
8.下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 内错角相等，两直线平行
C. 对顶角相等 D. 等边三角形的三个角都是60°
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜3的解集为（　　）
A. x＞-1
B. x＜-1
C. x＜3
D. x＞3
11.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A、C在y轴、x轴上，B（2，1），将矩形OABC绕着点C顺时针旋转90°得到矩形CO1A1B1，再将矩形CO1A1B1绕着点B1顺时针旋转90°得到矩形C1O2A2B1，按此方式依次进行，则点A7的坐标为（　　）
A. （11，0） B. （12，1） C. （14，2） D. （15，2）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设 .
13.在平面直角坐标系中，点A（a,-5）与点B（2，b）关于原点成中心对称，则ab的值为 .
14.已知关于x的不等式3x-m≤0的正整数解有4个，则m的取值范围是 .
15.正六边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为 .
三、计算题：本大题共1小题，共4分。
16.解不等式.
四、解答题：本题共10小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上.
18.(本小题6分)
△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，求△ABC的各内角的度数．
19.(本小题5分)
已知：如图△ABC与△BDE都是等边三角形，点E、B、C在一条直线上，连接DC、EA.求证：AE=DC.
在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下：
（1）请问老师的提示中①是______，②是______.
（2）请根据以上思路写出完整的证明过程.
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为点D，交AC于点E，连接BE.
（1）若∠A=40°，求∠EBC的度数；
（2）若△ABC的周长为41cm,BC=11cm,求△BCE的周长.
21.(本小题6分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上.

（1）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1.
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2.
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 .
22.(本小题8分)
根据以下素材，探索完成任务
“新能源汽车充电桩”问题
素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元.
素材二 每个充电桩的占地面积如下：
地上充电桩地下充电桩每个充电桩占地面积/m221
任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元？
任务二 若该商场计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过78m2，则共有几种建造方案？请列出所有方案.
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F.
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F=30°，BD=4，EC=6，求AC的长.
24.(本小题7分)
某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒a元；
方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费）．设需要该种规格的包装盒x个，方案一、二的总费用分别为y1元，y2元，且y1，y2关于x的函数图象分别对应直线l1，l2，如图所示．
（1）求a的值及y1关于x的函数解析式；
（2）求y2关于x的函数解析式；
（3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由．
25.(本小题8分)
定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb=a+2b；当a＜b时，aΔb=a-2b.例如：3Δ（-4）=3+2×（-4）=-5，1Δ2=1-2×2=-3.
（1）填空：（-4）Δ3= ______；（直接写出结果）
（2）已知（2x-4）Δ2＞1，求x的取值范围.
26.(本小题12分)
【发现问题】
如图①，点P在等边三角形ABC内，且∠APC=150°，PA=3，PC=4，求PB的长.
小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到△ABD.由等边三角形的性质，可证△ACP≌△ABD，得PC=BD.根据∠APC=150°，可求得∠PDB的大小，进而可求得PB的长.
（1）在图①中，∠PDB=______，PB=______；
【问题解决】
（2）参考小明思考问题的过程，解决下面问题：
如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在△ABC内，且PA=1，，，求∠APC的度数和AC的长；
【灵活运用】
（3）如图③，某公园要建一个四边形花园ABCD，连接AC，BD.已知AB=BD，∠ABD=90°，m,DC=9m,公园计划在四边形ABCD内种植郁金香以供游客观赏，并将AC修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使AC的长度尽可能大（AC的宽度不计），当AC的长度最大时，求此时种植郁金香的面积.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】D
12.【答案】每一个内角都大于60°
13.【答案】-10
14.【答案】12≤m＜15
15.【答案】60°
16.【答案】x≥-2．
17.【答案】-1≤x＜3，．
18.【答案】解：∵∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，
∴∠C=∠A+10°+10°=∠A+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A+10°+∠A+20°=180°，
解得∠A=50°，
∴∠B=50°+10°=60°，∠C=50°+20°=70°．
19.【答案】∠1+∠2=∠3+∠2;BA=BC ∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴BE=BD，∠1=∠3=60°，BA=BC，
∴∠3+∠2=∠1+∠2，即∠EBA=∠DBC，
在△ABE与△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=DC
20.【答案】30° 26cm
21.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3） （-2，0）．

22.【答案】任务一：地上充电桩需要0.2万元，地下充电桩需要0.3万元；
任务二：共有2种建造方案，方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个．
23.【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠FEC=∠FEB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，∠C+∠F=90°，
∴∠BDE=∠F，
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF=∠F，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形 （2）8
24.【答案】解：（1）根据图象得：a=8000÷2000=4；
∴y1关于x的函数解析式为y1=4x；
（2）根据题意，设y2关于x的函数解析式为y2=kx+10000，
将点（2000，14000）代入得：
2000k+10000=14000，
解得k=2，
∴y2=2x+10000；
（3）令4x=2x+10000，
解得x=5000，
∴当x=5000时，y1=y2，方案一，方案二的总费用一样多；
令4x＜2x+10000，
解得x＜5000，
∴当0≤x＜5000时，y1＜y2，选择方案一更省钱；
令4x＞2x+10000，
解得x＞5000，
∴当x＞5000时，y1＞y2，选择方案二更省钱；
综上所述，当0≤x＜5000时，y1＜y2，选择方案一更省钱；当x=5000时，y1=y2，方案一，方案二的总费用一样多；当x＞5000时，y1＞y2，选择方案二更省钱．
25.【答案】-10；
x≥3．
26.【答案】90°;5 ∠ APC=135°；AC= 157.5 m2
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