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2025-2026学年广东省中山市第一中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列算式中，运算错误的是（　　）
A. B. C. D.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则点C到AB的距离为（　　）
A. 4.8
B. 5
C. 3
D. 4
4.如图，为测量位于珠海那洲村某生态农庄中水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD=10m,则A，B之间的距离是（　　）m.
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
5.下列命题中正确的是（　　）
A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
6.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树…依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（　　）
A. 1013 B. 2027 C. 2026 D. 2025
7.如图，公路AC，BC互相垂直，笔直公路AB的中点M与点C被湖面隔开.若测得AB长为2.4km,则点M，C之间的距离为（　　）
A. 1.2km
B. 0.9km
C. 0.6km
D. 0.5km
8.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形（　　）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
9.如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm,BC=8cm,点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论：
①当t=4s时，四边形ABMP为矩形；
②当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形；
③当CD=PM时，t=4或5s；
④当CD=PM时，t=4或6s.
其中结论正确的个数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 .
12.如图，正方体的棱长为3cm,蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为 .
13.如图，在 ABCD中，AD=3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF=1，则 ABCD的周长为 .
14.如图，四边形ABCD，∠A=80°，∠C=140°，DG和BG分别是∠EDC和∠CBF的角平分线，那么∠DGB= .
15.如图，在长方形ABCD中，AD=3，AB=2，BF=DE，则CE+DF的最小值是 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：
（1）；
（2）.
17.(本小题7分)
为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架AB与小腿支架BC需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：AB=8dm,BC=6dm,AC=10dm,∠CAD=90°.
（1）AB与BC垂直吗？请说明理由；
（2）据设计人员介绍，支架的CD比AD长2dm,求支架AD的长度.
18.(本小题7分)
如图，在梯形ABFE中，AE∥BF，，若点C为BF的中点，连接AC，BE交于点D.
（1）求证：四边形ACFE是平行四边形；
（2）若△ABC是等边三角形，且AE=3，求EF的长.
19.(本小题9分)
阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2），则这两点间的距离可用下列公式计算：MN=．
例如：已知P（5，1）、Q（3，-2），则这两点间的距离．特别地，如果两点M（x1，y1），N（x2，y2）所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x1-x2|或MN=|y1-y2|．
（1）已知A（1，3）、B（-2，4），求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为8，点B的纵坐标为-2，求A、B两点间的距离；
（3）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，2）、B（2，1）、C（5，4），你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
20.(本小题9分)
已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.
（1）判断四边形CODP的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，AD=3，求四边形CODP的面积.
21.(本小题9分)
问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron,约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c,三角形的面积为S.
（1）利用材料1解决下面的问题：
当a=3，b=5，c=6时，求这个三角形的面积；
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知△ABC三条边的长度分别是，记△ABC的周长为C△ABC.
①当x=2时，请直接写出△ABC中最长边的长度______；
②若x是满足0＜x≤4的整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积.
22.(本小题13分)
下面是奋斗小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务.
关于“等邻边四边形”的研究报告.
奋斗小组研究对象：等邻边四边形.
研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究.
定义：有两组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
如图1，四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则四边形ABCD是“等邻边四边形”.
如图2，四边形ABCD中，若AB=AD，AD=CD，则四边形ABCD是“等邻边四边形”.
性质探究：
性质：两组邻边相等.
如图3，四边形ABCD中，若∠ABC=∠BCD，BC∥AD，对角线BD恰好平分∠ABC，求证：四边形ABCD是“等邻边四边形”.
证明：∵BC∥AD，
∴….
任务：
（1）根据“等邻边四边形”的定义，下列常见的四边形中，一定是“等邻边四边形”的是______（多选）.
A.正方形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
（2）请你阅读上述报告，补全证明过程.
（3）如图4，已知△ABC，请你在图4中作一个“等邻边四边形ABCD”，使得点D在AC边右上方（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）.
23.(本小题14分)
在△ABC中，若过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线.
特殊地，如图1，在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D，直线CD是△ABC的关于点C的二分割线.
（1）如图2，AB=AC，∠BAC=120°，直线AD交BC于点D.已知AD是△ABC的关于点A的二分割线，点E是BD的中点，那么AE是△ABC的关于点A的二分割线吗？为什么？
（2）已知△ABC中最小的角∠C=18°，若存在关于点B的二分割线，直接写出∠BAC的度数.
（3）如图3，△ABC中，∠B=22.5°，∠BAC为钝角.作AD⊥BC，垂足为D.在CD上方取一点E，使CE=4，DE=6，∠CED=45°.若AD为△ABC关于点A的二分割线，求AE的长.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】m≤6
12.【答案】3cm．
13.【答案】16．
14.【答案】30°
15.【答案】
16.【答案】-1
17.【答案】AB与BC垂直，理由如下：
∵AB=8dm，BC=6dm，AC=10dm，
∴AB2+BC2=82+62=100=AC2，
∴∠ABC=90°，即AB⊥BC 24 dm
18.【答案】∵AE∥BF，，点C为BF的中点，
∴BC=CF=AE=BF，
∴四边形ACFE是平行四边形 3
19.【答案】解：（1）∵A（1，3）、B（-2，4），
∴AB==；
（2）∵A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为8，点B的纵坐标为-2，
∴AB=|8-（-2）|=10；
（3）△ABC是直角三角形．
理由：∵A（1，2）、B（2，1）、C（5，4），
∴AB==，
BC==3，
AC==2，
∴AB2+BC2=2+18=20=AC2，
∴△ABC是直角三角形．
20.【答案】四边形CODP是菱形，∵CP∥BD，DP∥AC，
∴四边形CODP是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且，，
∴OC=OD．
∴平行四边形CODP是菱形 9
21.【答案】 ①3；②
22.【答案】AC ∵ BC∥AD，
∴∠DBC=∠ADB，
∵对角线BD恰好平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
如图2，过点D作DE∥AB交BC于点E，
∵BC∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，∠ABC=∠DEC，
∴AB=DE，
∵∠ABC=∠BCD，
∴∠BCD=∠DEC，
∴DE=DC，
∴AB=DC，
∵AB=AD，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD是“等邻边四边形” “等邻边四边形ABCD”，如图4即为所求．

23.【答案】是，AE是△ABC的关于点A的二分割线．
理由如下：∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴．
∵AD是△ABC的关于点A的二分割线，
∴△ABD为直角三角形，△ADC为等腰三角形，
其中AD=CD，∠BAD=90°，
∵E是BD的中点，
∴，即AE=BE=DE，
由AD=CD得∠CAD=∠C=30°，
∴∠ADE=∠CAD+∠C=30°+30°=60°，
∴△ADE是等边三角形，∠DAE=60°，
∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=60°+30°=90°，
∴△AEC为直角三角形，
又△ABE为等腰三角形（因AE=BE），
故AE是△ABC的关于点A的二分割线 ∠ BAC的度数为90°或54°或45°或36°
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