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北京景山学校2025-2026学年第二学期期中考试七年级数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
3.下列各式从左到右，是因式分解的是（）
A. B.
C. D.
4.下列分式变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.若（ k是整数），则k＝（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6.若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不变
7.八年级师生去距学校24km的中国人民抗日战争纪念馆参观，师生乘大车先出发，过了4min学校的后勤人员乘小车出发，结果他们同时到达.已知小车的平均速度是大车的平均速度的1.2倍，求大车的平均速度.如果设大车的平均速度为x km/h,那么下面所列方程中正确的是（　　）
A. B.
C. D.
8.已知，当时，y的值记为；当时，y的值记为；当时，y的值记为……，则的值为（ ）
A. 2025 B. 2026 C. 2035 D. 2037
二、填空题：本题共8小题，共18分。
9.若二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10.若x2+kx+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为 ．
11.有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式 ．
12.计算： ．
13.已知则的值为 ．
14.若，则的值为 ．
15.已知k为任意整数，代数式（k+2）2-（k-1）2的值记为M，有下列三个结论：
①M一定是正整数；
②M一定是奇数；
③M总能被3整除.
其中所有正确结论的序号是 .
16.快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示．
(1) 若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为 ；
(2) 小明骑行的最短距离为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共15分。
17.分解因式：
(1) ；
(2) ．
18.计算：
(1) ；
(2) ．
19.解方程：．
四、解答题：本题共9小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题4分)
已知，，求代数式的值．
21.(本小题6分)
在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．
解：原式……①，
……②，
……③，
……④
……⑤
(1) 甲同学从第 步开始出错（填序号）；
(2) 请你写出正确的解法．
22.(本小题4分)
化简：，再从的整数中选取一个数代入求值．
23.(本小题6分)
据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
(1) 求从高空抛物到落地时间；
(2) 已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）．
24.(本小题4分)
列分式方程解应用题：
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买A，B两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中B型号的“文房四宝”花费3000元，已知每套A型号的“文房四宝”的价格比B型号的“文房四宝”的价格高30%，求每套B型号的“文房四宝”的价格.
25.(本小题6分)
对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：．
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
(1) ， ；
(2) 如果，那么x＝ ；
(3) 如果，求x的值．
26.(本小题6分)
阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1) 请补全小明的证明过程. ，
(2) 若和为两个相邻整数，则 .
(3) 若和为相差4的两个整数，求的值．
27.(本小题6分)
小明设计了一个净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为1的水．
(1) 用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ；
(2) 小明共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤.三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量
0 /
_____ _____
①请将表格中方案的数据填写完整；
②在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好，并通过计算说明理由．
(3) 当净水材料总量为单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为的_____倍．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
28.(本小题9分)
给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程 的解是 成立，那么我们就把实数a，b组成的数对 称为关于x的分式方程 的一个“k相关系数”．
例如：当 时，使得关于x的分式方程 的解是 成立，所以数对 称为关于x的分式方程 的一个“1相关系数”．
(1) 在数对① ；② ；③ 中， （只填序号）是关于x的分式方程 的“1相关系数”；
(2) 若数对 是关于x的分式方程 的一个“1相关系数”，求t的值；
(3) 若数对 （ 且 ）是关于x的分式方程 的一个“1相关系数”，且关于y的方程 有整数解，直接写出整数c的值．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】（答案不唯一）
12.【答案】
13.【答案】12
14.【答案】2
15.【答案】②③
16.【答案】【小题1】

【小题2】


17.【答案】【小题1】
解：
【小题2】
解：
．

18.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

19.【答案】解：，
去分母得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
系数化为得，
经检验，是原分式方程的解．

20.【答案】解：∵x=2+，y=2-，
∴x+y=4，x-y=2，
∴x2-y2=（x+y）（x-y）=4×2=8．
21.【答案】【小题1】
②
【小题2】
解：原式
．

22.【答案】解：
，
分式有意义，
，
，
原式．

23.【答案】【小题1】
解：由题意知，
∴，
故从高空抛物到落地时间为；
【小题2】
解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当时，，
∴，
这个玩具产生的动能，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．

24.【答案】100元．
25.【答案】【小题1】


【小题2】

【小题3】
∵-2＜0，
∴=-2+x．
①当时，
，
解得：，
经检验是原方程的解，但不符合，
∴舍去．
②当时，
，
解得：．
经检验是原方程的解，且符合．
∴．

26.【答案】【小题1】
平方

【小题2】
25
【小题3】
解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：，
，
，
．

27.【答案】【小题1】
【小题2】
解：①补充表格如下：
方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量
0 /
②由①可得：，
∵，，
∴，，
∴根据分子一定，分母的值越大，分式的值也就越小可知：，
答：在这三种方案中，方案的最终过滤效果最好；
【小题3】
C

28.【答案】【小题1】
①
【小题2】
解：根据定义，分式方程 的解为 ，
故 ．
解得 ；
【小题3】
解：根据数对 （ 且 ）是关于 的分式方程 的一个“1相关系数”，
得关于 的分式方程 的解是 ，
回代方程，得 ，
整理，得 ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ，
∵方程 的解为 ，
∴ ，
∵方程有整数解，
∴
当 时， ， （舍去）；
当 时， ， （舍去）；
故 或 ．

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