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广东韶关市仁化县2025-2026学年八年级下学期期中质量监测数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.使有意义的 x的取值范围是（　　）
A. x≤3 B. x＜3 C. x≥3 D. x＞3
2.下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是
A. += B. -= C. ×=6 D. ÷=4
4.在下列长度的线段中，能构成直角三角形的是( )
A. 3，5，9 B. 4，6，8 C. 1，，2 D. ，，
5.直角三角形中，两直角边分别是和，则斜边上的中线长是（ ）
A. B. C. D.
6.若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
7.下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，在中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且连接AE、AF、EF、AC，EF交AB于点则下列结论：≌；；若，，则；若，E为DC的中点，则其中正确结论的个数是 　　
A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.计算： ．
12.如图，在正方形网格中，，，，，都是格点，则 ．
13.如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为 ．
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为 .
15.如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.计算：
四、解答题：本题共7小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，有一棵大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC=3m,折断处A与折断后树的顶端B的距离AB=5m.在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD的距离为6m,求BD的距离.
18.(本小题10分)
如图，在四边形中，是对角线，点分别是边，的中点，依次连接．求证：四边形是平行四边形．
19.(本小题10分)
如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量， ， ， ， ．
(1) 求证： 是直角三角形．
(2) 八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用．
20.(本小题10分)
小芳在解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的：
，，
，，，
．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
(1) 计算：．
(2) 若．
①求的值；
②求的值．
21.(本小题10分)
综合与实践
【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为．
【操作探究】
(1) 如图1，逐梦组将三角板的边与三角板的边重合，得到的四边形．证明四边形是平行四边形．
(2) 如图2，追光组将三角板沿三角板的边平移一定距离时，得到四边形是矩形，且点在上，求三角板平移的距离．
22.(本小题20分)
项目式学习．
项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣．
素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．
素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．
(1) 【解决问题】任务一：小明画出了锐角，，，计算的值，并写出过程；
(2) 任务二：小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程；
(3) 任务三：小山画出了钝角，，，则 ．
(4) 【项目总结】
综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由 （填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的总面积最大．
23.(本小题15分)
综合与实践
【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形中，点E是边上的任意一点，，与正方形的外角的平分线交于点P，说明．
(1) 【思考尝试】①张金发现：在边上截取，连接（如图2）便可以通过证明解决这个问题．其中，说明时，需先求得二者度数均为________；②刘鼎有不一样的思路：延长至点，使，连接，（如图3），通过证明四边形是平行四边形后，巧妙地将证明的问题转化为证明．请写出刘鼎的证明过程．
(2) 【实践探究】课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程．
(3) 【拓展迁移】刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接．当正方形的边长确定时，可以确定的最小值．若记，请你用含的代数式表示的最小值（直接写出答案）．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】6
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】4
15.【答案】2
16.【答案】解：原式
．

17.【答案】2m．
18.【答案】证明：分别是的中点，
是的中位线，
，，
同理：，，
，，
∴四边形是平行四边形．

19.【答案】【小题1】
证明： ， ， ，
，
是直角三角形．
【小题2】
解：过 作 交 于 ，
， ，
为 中点， ，
，
，
是直角三角形，
，
，
则 （元），
答：购买西红柿苗总共需要 元．

20.【答案】【小题1】
解：，
，
，
；
【小题2】
解：，
，
，，
，
①；
②，
，
，
，
，
．

21.【答案】【小题1】
证明：根据题意：，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小题2】
解：根据题意：，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则，
在和中，
∵，
∴，即，
解得：，
∴三角板平移的距离．

22.【答案】【小题1】
解：由题意可知，，
，
．
【小题2】
解：由题意可知，①，
，
，即，
②，
联立①②得：，
则．
【小题3】
【小题4】
钝角

23.【答案】【小题1】
解：①∵正方形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴时，需先求得二者度数均为；
②∵，
∴，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
【小题2】
不变，，
如图，在上截取，连接，
是等腰直角三角形，
，，
由（1）同理可得，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵在正方形中，，
∴；
【小题3】
如图，过D作交的延长线于点H，连接、．
由（2）知：，
∴点P在与成的直线上运动，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点H与D关于对称，，
∴，
∴，
当A、P、H三点共线时，即最短，
此时，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值是．

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