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北京市陈经纶中学2025-2026学年下学期期中诊断高二年级
数学学科试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，若，则( )
A. B. C. D.
2.的展开式中，常数项等于( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量，且，则下列说法错误的是( )
A. B.
C. D.
4.学校要从名男生和名女生中选择人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为( )
A. B. C. D.
5.某学术会议有个相邻座位编号至，安排来自所不同大学的位教授入座，每校人甲校、乙校、丙校，要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知函数在处取得极小值，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.由数字，，，，，组成没有重复数字的五位数，其中小于的偶数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，下列命题正确的有( )
A. 可能有个零点
B. 没有极小值
C. 时，
D. 若存在极大值点，其中，则
10.已知函数，关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ，次活动中，甲至少获胜次的概率为 ．
12.已知为常数，，的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为，则展开式中的系数为 用数字作答．
13.函数的最小值为 ．
14.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ．
15.已知函数，若函数无最小值，则的取值范围是 ．
16.已知函数给出下列四个结论：
存在实数，使得函数的最小值为；
存在实数，使得函数的最小值为；
存在实数，使得函数恰有个零点；
存在实数，使得函数恰有个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”从年龄在岁以下的客户中抽取位归为组，从年龄在岁及以上的客户中抽取位归为组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“”表示组的客户，“”表示组的客户．
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．
记，两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为，，根据图中数据，试比较，的大小结论不要求证明；
从抽取的位客户中随机抽取位，求其中至少有位是组的客户的概率；
如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于，那么称该客户为“驾驶达人”，从，两组客户中，各随机抽取位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列．
18.本小题分
已知函数，其中．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间；
当且时，判断与的大小，并说明理由．
19.本小题分
某数学学习小组的名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示满分分：
学生 学生 学生 学生 学生 学生 学生
第一次
第二次
从数学学习小组名学生中随机选取名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差．从数学学习小组名学生中随机选取名，得到数据，定义随机变量，如下：

求的分布列和数学期望；
设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．结论不要求证明
20.本小题分
设函数．
在点处的切线与直线平行，求的值；
当时，求的最大值；
存在两个零点，，求的取值范围．
21.本小题分
对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：；对，，则称数列具有性质．
若数列具有性质，求数列的前项和；
对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.

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13.
14.
15.
16.
17.解：
设“从抽取的位客户中随机抽取位，至少有位是的客户”为事件，
则
，
所以从抽取的位客户中随机抽取位，至少有位是组的客户的概率是
由题图，知组“驾驶达人”的人数为，组“驾驶达人”的人数为，的取值范围为，
则，，．
所以随机变量的分布列为：

18.解：时，，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
的定义域为，，
所以在区间和上单调递减，
在区间上单调递增，
所以的增区间，减区间；
当且时，，证明如下：
令，则，
设，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以，即，
所以的单调递增区间为．
当时，，即，
当时，，即，
综上所述，当且时，．

19.解：根据表中数据，可知这名学生中有名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生，学生，学生，学生，
则从数学学习小组名学生中随机选取名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为
随机变量 可能的取值为，，．
这名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为，， ，，， ， ．
时，若 ，有 ， ， 共种，
若 ，有 ， 共种，
若 ，有 ， ， ， 共种，
故 ；
时，若 ，有 ， ， 共种，
若 ，有 ， ， 共种，
故 ；
时，若 ，有 ， ， ， 共种，
若 ，有 共种，
若 ，有 共种，
故 ．
则随机变量 的分布列为：
所以 的数学期望 ．
由知 ，
这名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为，， ，，， ， ．
随机变量 可能的取值为，，，．
时，若 ，有 ， ， 共种，
若 ，有 ， 共种，
故 ；
时，若 ，有 ， ， ， 共种，
故 ；
时，若 ，有 ， ， 共种，
若 ，有 ， ， 共种，
故 ；
时，若 ，有 ， ， ， 共种，
若 ，有 共种，
若 ，有 共种，
故 ．
则随机变量 的分布列为：
所以 的数学期望 ．
所以 ，
因为 ，所以 ．

20.解：函数，，则，
又在点处的切线与直线平行，
，
；
当时，，，
，
令，，，
，函数在上单调递减，由，
，，即，
，，即，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为；
，，
当时，有，即函数在上单调递减，
所以函数至多一个零点，不合题意；
当时，令，即，
令，，在上单调递增，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，即函数单调递增，
当时，，即单调递减，
，
由知，当时，此时，而，函数只有一个零点，不合题意；
当时，则，又，单调递增，所以，
取，，有，
先来证明，，
设，则，
当时，，即单调递减，则，即，
所以可得，则，
故在上存在一个零点，为函数的另一个零点，
即当时，函数存在两个零点；
当时，即，则，又，单调递减，
所以，取，，，
先来证明，当时，，方法不同酌情给分
由上面，，则，即单调递增，
则，即，等价于，
即，即，，
则，
故函数在上存在一个零点，又为函数的另一个零点，
即当时，函数存在两个零点；
综上可知，当时，存在两个零点．

21.解：由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和；
由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，
，综上：为常数列，由可得：；
要证，只需证，即证，令数列，由于具有性质，即，对，，则，对，，所以具有性质，令，设的最小值为，对，令，，由于具有性质，则有，所以，
所以，所以成立
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