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广东梅州市曾宪梓中学等六校2025-2026学年高一第二学期中段考测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知水平放置的的直观图中，，，那么的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为( )
A. B. C. D.
4.已知为所在平面内的一点，，则( )
A. B. C. D.
5.设为单位向量，且，则( )
A. B. C. D.
6.为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
7.如图，为了测量河对岸两点，间的距离，现在沿岸相距的两点，处分别测得，，，，则，间的距离为( )
A. B. C. D.
8.设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的图像关于直线对称 D. 的图像关于点对称
10.如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 不存在点，使得平面
B. 一蚂蚁从点出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为
C. 三棱锥的体积为
D. 三棱锥的外接球表面积为
11.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子如图，其平面图是如图的扇形，其中，，点在弧上，且，点在弧上运动包括端点，则下列结论正确的有( )
A. 在方向上的投影向量为
B. 若，则
C.
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.若，，则 ．
14.在中，内角，，所对的边分别为，，若，角的平分线交于点，，，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数，为实数．
当为何值时，是纯虚数
若 ，求的值
若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求的值；
求的单调递减区间；
求在区间上的值域．
17.本小题分
在中，内角的对边分别为，，．
求；
若，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，分别是的中点，，
．
求证平面；
若平面，求的值；
作出平面与平面的交线，并说明理由．
19.本小题分
已知的内角所对的边分别为，且．
求；
若，求的长；
若，点在上，直线上一点满足在点和点的变化过程中，求的最小值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：若是纯虚数，则 ，解得 ，
所以当 时，是纯虚数；
若 ，则 ，
所以 ；
因为复数 ，对应的点为 ，
若复数 在复平面内对应的点在第三象限，
则 ，解得 ，
故实数的取值范围为 ．

16.解：
，
则；
令，
解得，
故的单调递减区间为；
当时，，
则，故，
即在区间上的值域为．

17.解：因为，由正弦定理可得，
且，即，
又因为，则，可得，
且，所以；
则，可得，
又因为，所以．
因为，，
则，
又因为，则，
所以．

18.解：
如图延长，连接并延长与交于点，连接
因为且是的中点，
所以，且，
所以
所以为中点，
在中，分别是的中点，所以
又因为平面，平面，所以平面
连接，交于点，连接
因为平面，平面，而平面平面，
故，
所以
所以
在梯形中，因为，
所以
又
所以
所以
过点在平面中作直线，如图
理由如下
因为，平面，平面，
所以平面
又因为平面，平面平面
所以
所以

19.解：在中，，
即，
故，
代入已知等式得：，
即
由正弦定理边化角得，
因为为三角形内角，，
得：，
即，
即，
因为，
所以，
故
因为，
由，得，
得：
两边平方得：，
代入，
得：；
条件，变形得，
即，
如图，以为原点，所在直线为轴建系，
则，，
因为，，得，
设，设中点为，的中点为，
则，则，
则，
平方可得：，
即，
又，代入上式化简可得：
，
所以
对二次函数，对称轴，
最小值为：，
故的最小值为．

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