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北京市和平街第一中学2025-2026学年第二学期高一数学期中调研试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知是不同的直线，是不同的平面，下列命题中真命题为( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.在中，，则( )
A. B. C. D.
4.在平行四边形中，点是对角线上靠近点的三等分点，设，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
6.已知是等腰三角形，，，点在线段上运动，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设是非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.某同学为了测量天文台的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶，天文台顶的仰角分别是和，在阳台处测得天文台顶的仰角为，假设，和点在同一平面内，则该同学可测得学校天文台的高度为( )
A. B. C. D.
9.已知的内角所对的边分别为，下列四个说法中正确个数是( )
若，则一定是等边三角形；
若，则一定是等腰三角形；
若，则一定是等腰三角形；
若，则一定是锐角三角形．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点为线段上的动点，则的最大值为．
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为，则 ； ．
12.已知的内角的对边分别为，且，则 ．
13.如图，在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心若圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为 ．
14.已知不共线的向量满足若，则的一个坐标为 ．
15.如图，在正方形中，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 ， ．
16.如图，正方体的棱长为，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 ．
直线与直线相交；
当时，为四边形；
当为的中点时，平面截正方体所得的截面面积为；
当时，截面与，分别交于，则．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知的内角，，所对的边分别为，，，且，．
若，求的值；
若的面积，求，的值．
18.如图，在正方体中，为的中点．
求证：平面；
取中点，求证：平面平面
求异面直线与所成角的余弦值．
19.在中，，且．
求的大小；
再从条件条件条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件：；
条件：边上的高为；
条件：．
20.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．
证明：平面；
过点作平面平面交于点，交于点
证明：；
求的值．
21.设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；．
若 的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集．
Ⅰ当时，已知集合，，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
Ⅱ当时，已知集合若不是的完美子集，求的值；
Ⅲ已知集合，其中，若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集若是，请说明理由；若不是，请给出反例．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.
17.解：因为，所以，
在中，由正弦定理得，
即，所以；
由得，
因为，即，解得，
由余弦定理得，所以，
综上，．

18.解：在正方体中，连接交于，连接，
则为的中点，而为的中点，则，
又平面，平面，所以平面．
由为的中点，为的中点，得，，
则四边形为平行四边形，，又平面，平面，
于是平面，由知平面，而，
平面，所以平面平面．
如图，作，连接则是异面直线与所成的角或其补角，
令正方体的棱长，则，，
因此，
所以异面直线与所成角的余弦值为．

19.由余弦定理及得
，
因为，所以；
选条件，，
由余弦定理得，
而由得，显然不成立；
所以无解；
选条件：边上的高为，
可得，即，又，
由余弦定理得，
化简得，解得，或舍去，
所以有一解，此时的面积为；

选条件：，
因为，所以是钝角，可得是锐角，
所以，
，
在中，由正弦定理得，
可得，再由解得，
由余弦定理得，
即，符合有一解，
此时的面积为．

20.解：连交于，因为底面为平行四边形，
所以为的中点，而为的中点，所以，
又平面平面；
所以平面；
因为平面平面，平面平面，平面平面，
由面面平行的性质定理可得；
当为的三等分点且时，有平面平面，下面证明：
因为为上的点，且，所以在中，，所以，
由知平面，因为不在平面内，所以平面，
由可知，因为不在平面内，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，所以．

21.解：Ⅰ是完美集；
设，
即．
所以是完美集．
不是完美集．
设，
即
令，则．
所以不是完美集．
Ⅱ因为不是完美集，
所以存在，使得，
即
因为，
由集合的互异性得，且．
所以，，．
所以
所以．
所以或．
检验：
当时，存在使得．
当时，因为，所以，舍．
所以．
Ⅲ一定是的完美子集．
假设存在不全为的实数满足，
不妨设，则否则与假设矛盾．
由，得．
所以．
与，即矛盾．
所以假设不成立．
所以．
所以．
所以一定是的完美子集．
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