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北京市育才学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则( )
A. B. C. D.
4.中，“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
5.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，满足，，则向量在向量上投影数量为( )
A. B. C. D.
7.设，则( )
A. B. C. D.
8.在中，若，则的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
9.函数，在的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只要将的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
10.函数在区间内的图象是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.在中，，，，则 ．
12.九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长弧长为米，径长两段半径的和为米，则该扇形田的面积为 平方米．
13.已知正方形的边长为，点满足当时， 当 时，取得最大值．
14.已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则 ．
15.健康成年人的收缩压和舒张压一般为和心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值，记某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：，其函数图象如图所示，判断下列说法：
收缩压为
舒张压为
每分钟心跳次
以上说法中正确的是
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知向量，，．
若，求的值；
当时，与共线，求的值；
若，且与的夹角为，求．
17.已知角的终边与单位圆交点的横坐标为且
求；
求的值；
若，求的值．
18.已知函数的最小正周期为，且．
求和的值；
函数的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位，得到函数的图象，
求函数的单调增区间；
求函数在的最大值．
19.如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，连接．
若的面积为，求的长；
若，求角的大小．
20.已知函数从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
条件：；
条件：图像的一条对称轴是轴；
条件：的最大值为；
条件：图象的相邻两条对称轴之间的距离为
求的解析式；
设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
21.定义向量的“相伴函数”为，函数的“相伴向量”为，其中为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
设函数，求证：；
将中函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变得到的图象已知，，问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值当运动时，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.
16.解：，，，解得；
，，又，．
与共线，，解得；
，．
又与的夹角为，．
，
．

17.解：由题意得，
所以．
．
由，得，
，
，
又，故．

18.解：的最小正周期为，所以，即，
又因为，则，
，，
所以．
由可知，则，
由得，
函数增区间为，
因为，所以．
当，即时，函数取得最大值，最大值为

19.解：由已知得，
又，，
，．
在中，由余弦定理，得
．
．
，
在中，由正弦定理，得，
又，得，
，
解得，
所以．

20.解：，
该函数为奇函数，图像关于原点对称，故条件不成立，舍去．
若选：由得，即；代入得，
解得，不唯一，不符合题意．
若选：由得，得；代入得，得，
函数唯一确定，且．
若选：由得，由得，函数唯一确定，且．
综上所述，．
．
令，得，即．
在上，零点依次为．
要使在上恰有两个零点，需．
所以的取值范围是．

21.解：，
故是向量的“相伴函数”，故；
，
设，则，，
则，
即，
由，则，故，
又，故当且仅当且时，原式成立，
即有，解得，故，
即存在点，使得；
由题意可得，其中，
由在处取得最大值，则，
即，则，
由，则
则，
由函数在上单调递减，故
由，即
则
即的取值范围为．

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