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2025-2026 下学期高一数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D B A C A C D AB ACD ACD
11题解【答案】ACD
π 5T 17π 3T 45 54
【分析】A选项，根据 f 0 1得到 ；B选项，由 得到 ，
6 4 18 2 17 17
再由 f
17π
0
36 15
得到 k , k Z，进而得到 k 1， 3， f x 的图象不关于
18 17 17
π π 7π
直线 x

对称，B错误；C选项，整体法得到3m , 4π ，得到 C正确；D选6 6 2
项，先考虑临界情况，再得到 a的取值范围.
【详解】对于 A选项，由题意得 f 0 1，即 2sin 1
1
， sin ，
2
π
且在 x 0附近单调递增，又0 π，故 ，A正确；
6
5T 17π 3T
对于 B选项，由题意得 ，
4 18 2
5 2π 17π 3 2π 45 54
又 0，故 ，解得 ，
4 18 2 17 17
f 17π 17π又 0，且函数 f x 在 x 附近单调递增，
18 18
2sin 17π π 0 17π π即 ， 2k 1 π,k Z，
18 6 18 6
36 k 15解得 , k Z ，
17 17
45
因为
54 45 36 k 15 54 5 k 13 ，故 ，解得 ，
17 17 17 17 17 17 6 12
又 k Z
36 15
，故 k 1，所以 3，
17 17
f x 2sin 3x π f π π π 2sin ，故 3 ，
6 6 2 6
f x x π所以 的图象不关于直线 对称，B错误；
6
对于 C选项， x 0,m 3x π π ,3m π ， ， 6 6 6
高一数学期中答案 1
f x π 7π 若函数 恰有 4条对称轴和 3个零点落在区间 0,m 内，则3m , 4π ， 6 2
m 10π解得 ,
23π
，C正确；
9 18
11π
对于 D选项，由于 f 2sin 2π 0 ，
18
由于 a 0，且 a 1， f ax 在 f x 1的基础上，纵坐标不变，横坐标伸缩为原来的 a ，
f ax f x 0, 11π要想方程 （ a 0，且 a 1 ）在 18 内至少有 3个不同的根，
先考虑临界情况，如图，
此时 f ax 11π f x （ a 0，且 a 1 ）在 0, 内有 2个不同的根，
18
11π
且满足 x 时， f ax f x 成立，
18
即 2sin
11π π
3a 2sin
3 11π π
18 6
，
18 6
3a 11π π 3 11π π结合图象的单调性，可知 π ，
18 6 18 6
17
解得 a ，
11
17
当 a , f ax 11 时， 纵坐标不变，横坐标进一步进行缩短，此时满足
11π
方程 f ax f x （ a 0，且 a 1 ）在 0,
18
内至少有 3个不同的根，

实数 a a
17
的取值范围是 ,

11
，D正确.

故选：ACD
高一数学期中答案 2
π 5π
二、填空题：12.π 13． 1,0 14． 2kπ, 2kπ k Z
12 12
14 题详解令 f x x2sin x 1 x 1 x 2 cos
sin cos 1 x2 1 2cos x cos ，
则 f 0 cos 0 ， f 1 sin cos 1 1 2cos cos sin 0，
π π
故

2kπ, 2kπ

k Z

，则 kπ, kπ k Z ， tan

0,1 ，
2 2 4 2
1 2cos sin
2 cos2 2cos2 2sin2
f x 对称轴为 x 2 2 2 22 sin cos 1 2 2sin
cos

2cos2
2 2 2
3cos2 sin2 3 tan2
2 2 2
，令 t tan 1 1, 2 ，则 tan

t 1
， 2 2sin cos 2cos
2 4 tan 1
2 2
2 2 2 2
3 tan2 2 3 t 1 2 t 22 2t 2 t 2t 1 , 3故
4 tan 1 4t 4t 4

4 4
，


2
又 sin cos 1 0，故使得 f x 最小的 x0 在区间 0,1 内，
故对 f x sin cos 1 x2 1 2cos x cos ，
有Δ 1 2cos 2 4 sin cos 1 cos 1 4sin cos 0，
π 5π
即有 2sin cos sin 2
1
2 ，则 2kπ, 2kπ

k Z ， 2 6 6
π kπ, 5π kπ k Z π 即 ，又 2kπ, 2kπ k Z ，
12 12 2
π 5π
取交集可得 2kπ, 2kπ

k Z .
12 12
三、解答题
2 1
15．（13 分） (1) (2)
3 9
高一数学期中答案 3
【详解】（1）角 的始边与 x 轴的正半轴重合，终边过定点P 2,3 ，则 AB
r OP 4 9 13 ，
sin y 3 3 13 x 2 2 13所以 ， cos ．--------2 分
r 13 13 r 13 13
所以
cos 11π

sin
9π
2sin π cos cos
3π


sin
π 2sin π cos
2 2 2 2
cos π
sin π cos π sin π
2 2
2 13
sin cos 2 sin cos sin cos cos
13 2 ---7 分
sin sin sin sin sin 3 13 3
13
π π2
π π 1
（ ）由于 sin sin6

2
cos ，
3 3 3
cos 2π

cos

π
π cos
π 1


，
3 3 3 3
π 2π 1 1 1
所以 sin cos ．-------13 分
6 3 3 3 9
16 4 3
11 π
．（15 分）(1) (2) (3)
7 14 3
【详解】（1） cos
1
且 0,π ， sin 1 cos27
4 3
-----3 分
7
1 1 π π
（2） cos (0, )且 0,π ，
7 2
, ，
3 2
0, π π

又 ， ,
3π
，又 sin
5 3 1 2

3 2

14
, ，
2 2
3π 5π , 11 ，--8 分 cos 1 sin2 ．---11 分
4 6 14
高一数学期中答案 4
11
（3）由（1）（2）知 sin 4 3 ， cos ，
7 14
cos cos cos cos sin sin

11 1 5 3 4 3 1 π
， 又 0, π ，∴ ． -----15 分
14 7 14 7 2 3
17（15分）（1）解：因为 c 2a cosB b 2cosA 3sinC ，
由正弦定理可得 sinCcosB 2sin AcosB 2cosAsinB 3sinBsinC ，
所以 sinC 3sinB cosB 2 sinAcosB cosAsinB ，
所以 2sinCsin
π
B

2sin A B 2sinC ， ---2分
6
又因为0 C π，所以 sinC 0，
所以 sin

B
π
1 B π π 7π ，又因为0 B π ，所以
, ，
6 6 6 6
π π
所以B ，故B
π
；---5分
6 2 3
（2）解：因为D是边 AC 上靠近 A的三等分点，

所以BD BA
1
AC BA 1 AB BC 2 1 BA BC ， 3 3 3 3
2 2
2 2 2 2 2
所以BD 1 BA BC
4
BA
4
BA BC 1 BC 1 4BA 4BA BC BC ，
3 3 9 9 9 9
2 3 π
又因为 a 2，BD ，B ，
3 3
2
2 3 1 2 π 4 1 4c2 4c 4 4所以 4c 4c 2 cos 4 ，化简得 c
2 c 1 ，
3 9 3 3 9 9

即 c2 c 2 0，解得 c 1或 c 2（舍去），
1 1
所以 S ABC acsinB 2 1
π 3
sin ； -----10分
2 2 3 2
高一数学期中答案 5
π
（3）解：已知BD平分 ABC ，且 B ，故 ABD CBD
π

3 ， 6
由 S S
1 1 π 1
ABC ABD S CBD 得 ac sin B c BD sin a
π
BD sin ；
2 2 6 2 6
将 a 2，BD 2 3 代入得 1 2 c 3 1 c 2 3 1 1 2 3 1 2 ，解得 c 1
3 2 2 2 3 2 2 3 2
∵b2 a2 c2 2ac cos B 4
1
1 4 5 2 3
2
∴b 3 -----15分
18.（17分）
（1） f x cos4 x sin4 x 2 3 sin x cos x cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x 2 3 sin x cos x
cos 2x 3 sin 2x 2sin 2x
π
，
6
将函数 f (x)

的图象向左平移12 个单位长度
得y = 2sin 2 x + π + π = 2sin 2x + π
12 6 3
2
函数图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变得
3
h(x) = 2sin 2 × 3 x + π =2sin 3x + π
4 4
，h(x)+ =2sin 3x + π + 0
2 3 3 3 3 3 =
sin 3x π 2 π π 即 在 ,
3 3 6 2
上有两个不相等的实数根 x1, x2 ，

π π 5π π 11π π 5π 11π
当 x 时， 3x

，设u 3x ,u , ， 6 2 6 3 6 3 6 6
可知 y 2sinu u
5π , 3π 3π 11π在

上单调递减，在u , 上单调递增， 6 2 2 6
sin 3x π 2 π 2所以 1 ,sin 3x ，
3 3 2 3 3
3x π π 7π1 3x3 2
3π ，即 x
3 1
x2 , 9
那么 cos3 x 1 x2 cos3 x
7π
x cos 6x 7π cos 5π1 1 1 6x1

，
9 3 3
π 2 2π π 1
因为 sin 3x1 ，所以 cos 6x1 1 2sin
2
3x3 1
，
3 3 3 9
高一数学期中答案 6
所以 cos

6x
5π
cos 6x 2π π 2π 11 1 cos

6x

1 ，
3 3 3 9
所以 cos3 x 11 x2 . -----8分 9
mf x π 2g x 0 x 0, π （2）方程 在 上有解，
12 2
f x π 2sin
2 x π π 2sin 2x，
12 12 6


所以方程变为m·2sin 2x 2 sin x cos x 0 ，
π
即方程 sin x cos x msin 2x 0在 x 0,

2
上有解，

设 sin x cos x t ，则1 sin 2x t 2 ，所以 sin 2x t 2 1，
π π π 3π
因为 x 0, 上，所以 x

, ，则 t 2 sin
x π
2 4 4 4 4
1, 2 ，

则原方程可化为 t m t 2 1 0 在 t 1, 2 上有解，
m 1 1由题知， 0 ，故方程可化为 t 在 t 1, 2 m t 上有解，
因为 y t在 t 1, 2 1 上单调递增， y 在 t 1, 2 上单调递减， t
1 2
所以 y t 在 t 1, 2 上单调递增，所以 y t 0, 2 ，
1
所以 0,
2
，故m , 2 ，故实数m 的取值范围为m 2 , 2 ． ---19分
19．（17 分）
121
(1)1 (2) 4 3 (3)
7 228
3π
【详解】（1）由题意可知， e1 、 e2 的夹角为 ， 4
3π 2
由平面向量数量积的定义可得 e1 e2 e1 e2 cos ， 4 2
高一数学期中答案 7
因为 a

2,1 ，则 a 2e1 e2 ，
2 2 2
则 a2 2e1 e2 2e1 2 2e1 e2 e2 2 2 2 2 1 1， 2

所以 a 1 1 . ------3 分

（2）由 a 1,3 ，b 3,1 ，得 a e1 3e2 ，b 3e1 e2 ，

且 e1 e2 1 1 cos cos ，
2 2 2所以 a2 e1 3e2 e1 6e1 e2 9e2 10 6cos ，

b 2 2 2 2 3e1 e2 9e1 6e1 e2 e2 10 6cos ，
则 a b 10 6cos ， a b e1 3e2

3e1 e2
2 2
3e1 3e2 10e1 e2 6 10cos ，

π cos π a b 6 10cos 1 1因为a 与b 的夹角为 ，所以 3 3 a b 10 6cos 2
，解得 cos .
7
1 4 3
又 sin2 cos2 1，0 π ，所以 sin 1 cos2 1 ；------8 分
49 7
B m,0 C 0, n BOC π（3）依题意，设 、 （m 0， n 0），且 ， BC 1，
3
7 OD OC 0,
7 n ， 19 19
1
因为F 为BC 的中点，则OF OB BF OB BC
2

OB 1 OC OB 1 OC 1 OB 1 me 1 ne2 2 2 2 1 2 2 ，
高一数学期中答案 8
1 1 1 7
因为E 为BD中点，同理可得OE OD OB me1 ne2 ， 2 2 2 38
所以
2 2
OE 1 1 1 OF me ne me 7 1 7 ne m2 e n2 e 7 1 2 1 2 2 1
mn mn
2 38 2 1 2
e1 e2 ，
4 76 76 4
2 2 2 π 1
由题意知 e e e e 1 cos 1 2 1， 1 2 ， 3 2

OE OF 1 m2 7 n2 7 mn 1 mn 1 1 m2 7 n2 13则 mn， 4 76 76 4 2 4 76 76
在△OBC 中，依据余弦定理得m2 n2 mn 1，所以mn m2 n2 1，
8 2 5 2 13 1 2 2 13
代入上式得，OE OF m n 8m 5n .
19 19 76 19 76
BC OB OC

在△OBC 中，由正弦定理得 sin π sin COB sin BCO ，
3
设 BCO ，则 sin CBO sin


π
0 2π ，且 ，
3 3
m 2所以 sin n
2 sin π，

3 3 3
，

1 cos 2 2π
8m2 5n2 20 sin2 π 32 sin2 20
32 1 cos 2

3
3 3 3 3 2 3 2
2 1 3
8 1 cos 2 5 1 cos 2 sin 2 3 2 2
2 5 3 11 11
13 sin 2 cos 2
2
3 2 2
13 7sin 2 ， 为锐角，且 tan ，
3 5 3
2π 4π
因为0 ，则 2 ，
3 3
π 2 40
故当 2 时，8m2 5n2 取最大值 13 7 ， 2 3 3

OE OF 1 8m2 5n2 13 1 40 13 121则 . ------17 分 19 76 19 3 76 228
高一数学期中答案 9

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