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山东聊城市冠县一中等校2026届高三下学期5月命题趋势预测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线绕其顶点旋转后得到抛物线，且抛物线的准线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量，则( )
A. B. C. D.
5.某小学五年级共有名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这名学生成绩的分位数是( )
A. B. C. D.
6.已知正四棱锥外接球的表面积为，，则正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.若存在实数，，使得方程成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，则下列结论正确的有( )
A. 数列是等比数列 B.
C. 数列是等比数列 D.
10.某企业有员工人，其中男员工人，女员工人该企业按性别用比例分配的分层随机抽样方法抽取人参加专业技术技能测试，在测试后统计成绩的结果如下：男员工的平均成绩为分，方差为，女员工的平均成绩为分，所有参加专业技术技能测试的人成绩的方差为，则下列结论正确的有( )
A. 参加专业技术技能测试的人中有女员工人
B. 所有参加专业技术技能测试的人成绩的均值为分
C. 名男员工中能被抽到参加测试的概率为
D. 所有参加专业技术技能测试的人中女员工成绩的标准差为
11.已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有( )
A. 过点的直线被圆截得的最短弦长为
B. 的最大值为
C.
D. 对任意实数，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
13.已知，则________ __．
14.已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某中学高三年级各班人数相同一次模拟考试后，班有学生的数学成绩低于分，班有学生的数学成绩低于分．
从班、班中随机抽取一人，已知该学生的数学成绩低于分，求该学生为班学生的概率。
在数学成绩高于分的学生中，班有名，班有名现从这名学生中选人在全年级学生大会上作学习经验报告，记人中来自班的人数为，求．
16.本小题分
在中，内角的对边分别为已知．
求角；
若，求的值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若，，且曲线在点处的切线在轴上的截距，当时，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，平面平面，为的中点．
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程．
若过点的动直线与椭圆交于，两点，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：在班、班中随机抽取一人，设事件“该学生来自班”，
事件“该学生的数学成绩低于分”，
则由题意得，，，，
，
该学生为班学生的概率；
由题意，的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
，
．
16.解：．
由余弦定理，得，
又．
，即．
由余弦定理，得，
又．
．为的内角，．
由余弦定理，得，
又，．
．
由知，又，结合余弦定理，得，
，即，解得或舍去，故．

17.解：，函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在区间上单调递增，
当时，解，得；解，得，
则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；
综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，，则，
，
曲线在点处的切线方程为，
令，解得，即，
，，，
又，即，，
设，则，
当时，；当时，，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
由，得，即实数的取值范围是．

18.解：，
，．
为的中点，，．
又，
，．
，，．
是等边三角形，为的中点，．
平面平面，平面平面平面
平面．
平面．
平面平面，
平面．
平面平面平面．
，平面平面，平面平面，平面，
平面．
平面，
两两垂直．
以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则．
设平面的法向量为，则
令，则．
设平面的法向量为，则
令，则．
设平面与平面的夹角为，则
即平面与平面夹角的余弦值是．

19.解：，，
又因为点在椭圆上，，
即，
又，代入，解得，
可得椭圆的标准方程为；
当直线垂直于轴时，椭圆关于轴对称，
点关于轴对称，，
轴上任意不同于点的点，均满足，
设，当直线与轴重合时，点是椭圆的长轴端点，
不妨设，
，即，解得舍去或，
存在不同于点的定点满足条件，且点的坐标为；
下面证明：当直线不平行于坐标轴时，点满足，
设直线的方程为，
由，消去，整理得，
直线恒过椭圆内的定点，恒成立，
，
点关于轴的对称点为，
直线的斜率，
直线的斜率，
，
，
，即，三点共线，
．
综上，存在与点不同的定点，使得恒成立．

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