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河南省部分重点中学2025-2026学年高三下学期第二次模拟联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4.平面向量满足，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知单调递增等比数列的前项积为，且，若数列的前项和为，则使的最小正整数为( )
A. B. C. D.
7.已知点是曲线上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.点为棱长是的正方体的外接球上一动点，为底面的中心，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，则下面说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.将函数图象向左平移个单位长度后得到一偶函数图象，则当取最小值时，下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数为奇函数
C. 函数在区间单调递增
D. 函数在图象处的切线斜率为
11.已知数列，，满足，则下列选项不正确的是( )
A. 为单调递增数列
B. 为周期数列
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 ．
13.如图，设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，且，则的离心率为 ．
14.平面内有两组相交平行线，一组有条，一组有条，且每组中相邻两平行直线间距离均为，则从这两组直线构成的平行四边形中任取一个，取到的平行四边形恰为菱形的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角的取值范围；
当角取最大值时，边上存在一点，满足，求周长的取值范围．
16.本小题分
中国航天“十五五”规划核心是从航天大国迈向航天强国、从大国重器转向万亿级支柱产业、从近地领先走向深空领跑为实现发动机科研突破，我国某航天研究院对甲、乙、丙三款新型发动机关键部件进行可靠性测试，单次测试中，部件连续稳定工作时长达到小时及以上，即可判定为“一级可靠性部件”为预测本次测试中获评“一级可靠性部件”的数量及最优部件型号，收集了三款部件过往的测试数据单位：小时，如下所示：
甲部件：，，，，，，，，，
乙部件：，，，，，
丙部件：，，，
求收集到的甲部件测试数据的第分位数
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三款部件的测试结果相互独立设为甲、乙、丙三款部件中获评“一级可靠性部件”的总数量，求的概率分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，三棱台的下底面是边长为的正三角形，上底面是边长为的正三角形，平面，．
证明：为直角三角形
已知为棱上一动点，，若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的标准方程；
点为坐标原点，过点的直线与双曲线交于两点．
(ⅰ)若的面积为，求直线的方程；
(ⅱ)双曲线的左右顶点分别为，，直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为、、，探究是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，判断在区间有无零点，并说明理由
若在区间单调递增，求正整数的最小值
当取中的最小值时，已知存在，，且，使，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以根据正弦定理，得
由余弦定理，得
化简得．
又当且仅当时，等号成立．
所以．
因为，所以角的取值范围是．
当角最大时，，且，所以是等边三角形．
设的边长为，
因为点在边上，所以，即，
由，所以，解得，所以，
即周长的取值范围为．

16.解：将甲部件测试数据从小到大排列，
得，，，，，，，，，，
又为整数，
所以数据的第分位数为第个数据和第个数据的平均数，．
甲部件：数据共个，大于等于小时的是，，，，，，共个，频率为．
乙部件：数据共个，大于等于小时的是，，，，共个，频率为．
丙部件：数据共个，大于等于小时的是，，共个，频率为．
由频率估计概率得，甲部件为“一级可靠性部件”的概率为，
乙部件为“一级可靠性部件”概率为，
丙部件为“一级可靠性部件”的概率为．
设：甲部件为“一级可靠性部件”为事件，乙部件为“一级可靠性部件”为事件，丙部件为“一级可靠性部件”为事件．
，
，
，
．
的分布列为：
所以的数学期望．
17.解：由题意，平面，
则可过点作交棱于点，则平面，
又平面，得，
，，为棱的中点，
又因为为等边三角形，所以，
又，、平面，
平面，
又平面，，
又，则，
所以为直角三角形
以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
又，所以，
因为为棱上一动点，
可设
则，
设平面的法向量为，
则即，
可取．
因为平面，所以，
即．
解得，得，．
又，设平面的法向量为，
则，即．
可取，
又平面的法向量可取．
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.解：由已知得渐近线方程为，右焦点，知．
且，则得，又，
故双曲线的标准方程为；
(ⅰ)【法一】当直线的斜率不存在时，直线方程为，代入双曲线方程，
求得，不妨设，，则，又，
故的面积，即直线符合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为，
将其与双曲线方程联立：，消元可得
则，设，，
则，，
故，
而点到直线的距离，
故的面积为：
，
整理得，化简得
解得，
所以直线方程为．
综上当时，直线的方程为或．
【法二】当直线的斜率不存在时，与上同法得到直线符合题意；
当直线的斜率存在时，与上同法得到：，
因，
故的面积，
即，
整理得，解得，则得直线方程为．
综上当时，直线的方程为或．
【法三】由题意设直线的方程为，
直线与双曲线交于两点，所以，
另设，
则，．
故
点到直线的距离，
故的面积，
即，
解得或，
所以当时，直线的方程为或．
【法四】由题意设直线的方程为，
直线与双曲线交于两点，所以，
另设，，
则，．
故的面积，
即，
解得或，
所以当时，直线的方程为或．
(ⅱ)
由题意知，，故可设，直线与双曲线方程联立得，
又因为直线与双曲线交于两点，则，，
设，，
则，，
所以直线，的方程分别为，，
联立得
得，
则可设点，故可得，，
所以，
所以为定值．

19.解：法一：当时，由得，
又当时，，
又因为函数在连续，所以在区间定存在零点．
法二：当时，由可知，
取得，
因为，，
故，又函数在连续，所以在区间定存在零点．
因为，
又在区间单调递增，故在区间恒成立，
即恒成立．
设，，则
当时，，，所以，
则在区间单调递减．
当时，令，，又，，
所以，可知在区间单调递减，
又，，，，
故定存在使，
所以时，，函数在区间单调递增，
时，，函数在区间 单调递减，
所以，的最大值为，
又因为，所以．
因为的导函数在区间大于，
所以在区间单调递增，
又，所以，
故大于的最小正整数为，所以正整数的最小值为．
由知此时，，，
由题意知，即，
即，
因为，，不妨设，
得，，
所以，
整理得，
，
，则，
又，，则
，
得．
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