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北京市陈经纶中学2025-2026学年高一下学期贯通班期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，且，则( )
A. B. C. D.
2.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
3.设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点则满足的是( )
A. B.
C. D.
5.在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
6.如图，在棱长为的正四面体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，是的中线，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.图是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图所示已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为，体积之比为：，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为( )
A. B. C. D.
9.如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点含边界，若，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，是的中点，是上一点，且，其中所有正确结论的序号是( )
；
；
过点作一条直线与边，分别相交于点，，若，，则；
若是边长为的正三角形，是边上的动点，则的取值范围是．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.是虚数单位，则的值为
12.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为 ．
13.已知某学校汉服社、书法社、诗歌社、曲艺社四个学生社团的人数比为：：：，现用比例分配的分层随机抽样的方法，从这四个社团中抽取人担任志愿者，则从曲艺社抽取的人数为 ．
14.在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 ．
15.如图，某湖泊沿岸有，，，四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则，两镇之间的距离为 ．
16.如图，在正方体中，，点在线段上运动，给出下列四个结论：
存在点，使得三棱锥的体积为；
存在点，使得与所成角的大小为；
点到平面的距离随的增大，先变大再变小；
直线与平面所成的角随的增大，先变大再变小．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
“重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求，的值；
若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分；
现从以上各组中用分层抽样的方法选取人，担任本次宣传者若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差．
18.本小题分
在中，，，分别是角的对边，且．
求的大小；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长．
条件：，；
条件：，；
条件：，．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
19.本小题分
如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，与交于点，在底面的投影为，为中点，其中．
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求多面体的体积．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为．

证明：；
求直线与平面的夹角正弦值；
在线段不含端点上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
设，已知由正整数组成的集合，集合，，，是的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，设，令是，，，中的最大值．
若，，且，求，，及；
若，集合，，，中的元素个数均相同，若，求的最小值；
若，，集合，，，中的元素个数均为，且，求证：的最小值为．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.
17.
18.在中，因为，
由正弦定理可得
因为，则，
即，
可得，即，
且，则，可得，
又因为，所以．
选条件：因为在中，，
且，则，
可得，
设边上高线的长为，所以；
选条件：由正弦定理可得，
且，，可得或
检验可知均符合题意，即不唯一，不合题意；
选条件：由余弦定理得，
即，可知为等腰三角形，则，
设上高线的长为，所以．

19.证明：取中点，连接、、，
，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
又平面，平面平面
20.解：四边形为菱形，，
平面，平面，平面，
平面，平面和平面的交线为，；
取的中点，连接，
是边长为的等边三角形，，
四边形为菱形，，为等边三角形，，
又为平面内两条相交直线，所以平面，
平面平面，平面平面，
平面，，平面，
又在平面内，所以，所以两两垂直，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，
建立如图所示空间直角坐标系，

则、、、、、，
故，，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，即，
设直线与平面的夹角正弦值为，
则；
由，则，
设平面的法向量为，
由
令，则，，
假设在线段不含端点上存在一点，
使得直线与平面所成角的正弦值为．
设，
则，
平面的法向量为，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
整理得，解得或，
所以在线段不含端点上存在点，
当或时，直线与平面所成角的正弦值为．

21.根据和可得，故，
设使得，
则，所以．
所以至少有个元素个数相同的非空子集．
当时，，其非空子集只有自身，不符题意．
当时，，其非空子集只有，不符题意．
当时，，元素个数为的非空子集有，
元素个数为的非空子集有．
当时，，不符题意．
当时，，不符题意．
当时，，令，
则，．
所以的最小值为
由题可知，，记为集合中的元素个数，
则为数表第列之和．
因为是数表第行之和，
所以．
因为，所以．
所以．
当，
时，
，
．
所以的最小值为．

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