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北京市第十四中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.在数列中，，且，则等于( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两人各抛掷质地均匀的骰子一次已知甲掷出的点数是，则甲掷出的点数大于乙掷出的点数的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
5.一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为，模块二正确识别命令的概率为若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为( )
A. B. C. D.
6.若等差数列满足，，则当的前项和最大时，( )
A. B. C. D.
7.如图所示是的导函数的图象，下列个结论：
在区间上是增函数；
是极小值点；
在区间上是减函数；在区间上是增函数；
当时，在区间上取得最大值．
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
8.如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，可用于测量物体质量．把铜环权的质量从小到大排列后，前三项成等差数列，后七项成公比为的等比数列，其中质量最小的为铢，最大的为两古制两铢，若某物体的质量恰为第，，枚铜环权的质量和，则该物体的质量为( )
A. 两铢 B. 两铢 C. 两铢 D. 两铢
9.设函数，则“”是“与轴有个公共点”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点，
的取值范围是．
．
当时，先减后增且恒为负．
以上结论中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.设是等比数列，，，则 ．
12.离散型随机变量的分布列为：
且，则 ； ．
13.函数在时有极小值，则 ．
14.若曲线在处的切线方程为，则 ．
15.已知数列的前项和为，现将该数列按如下规律排成个数阵：按行排列，第行有项，每一行从左到右项数依次增大，记为该数阵中第行从左到右第个数的坐标，则坐标为对应的数为 ；对应的坐标为
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.设为等差数列的前项和，，．
求数列的通项公式；
求；
若，，成等比数列，求的值．
17.在篮球比赛中，如果某位球员的得分，篮板，助攻，抢断，盖帽中有两个值达到或以上，就称该球员拿到了两双．下表是某球员在最近五场比赛中的数据统计：
场次 得分 篮板 助攻 抢断 盖帽
从上述比赛中任选场，求该球员拿到“两双”的概率．
从上述比赛中任选场，设该球员拿到“两双”的次数为，求的分布列及数学期望．
假设各场比赛互相独立，将该球员在上述比赛中获得“两双”的频率作为概率，设其在接下来的三场比赛中获得“两双”的次数为，试比较与的大小关系只需写出结论．
18.已知函数．
求函数的单调增区间和减区间：
求函数的极值：
若恒成立，求实数的取值范围．
19.某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应，，三组观察一段时间后，分别从，，三组随机抽取株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表．
株高增量
单位：厘米
第组
鸡冠花株数
第组
鸡冠花株数
第组
鸡冠花株数
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．
从第组所有鸡冠花中随机选取株，估计株高增量为厘米的概率
分别从第组，第组，第组的所有鸡冠花中各随机选取株，记这株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望
用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，，，直接写出方差，，的大小关系结论不要求证明
20.已知函数．
求的极值点；
若方程恰好有个解，求实数的值；
若在上单调，求实数的取值范围．
21.已知是公差不为的无穷等差数列．若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质．
Ⅰ已知，，判断数列，是否具有性质；
Ⅱ若数列具有性质，证明：的各项均为整数；
Ⅲ若，求具有性质的数列的个数．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：为等差数列的前项和，，，
解得
数列的通项公式为．
由知，．
，，成等比数列，
，即，即，
又因为，解得．

17.解：由题意，第，场次符合“两双”要求，
共有场比赛，场符合要求，所求概率．
的取值有，，，
，
，
，
的分布列为：
期望．
由题意知，，，，
，
，
，
，
所以，
．

18.解：，
令，解得或，
当或时，，单调递增，
当时，，单调递减
综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为．
由可知，令，解得或，
单调递增 单调递减 单调递增
当时，取得极大值，，
当时，取得极小值，，
因此的极大值为的极小值为．
当时，恒成立，
只需使在上最大值小于等于即可，
由知最大值为、中的较大者．
在上的最大值为，
，
所以实数的取值范围是．

19.设事件为“从第组所有鸡冠花中随机选取株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，第组所有鸡冠花中，有株鸡冠花增量为厘米，
所以估计为；
设事件为“从第组所有鸡冠花中随机选取株，株高增量为厘米”，
设事件为“从第组所有鸡冠花中随机选取株，株高增量为厘米”，
根据题中数据，估计为，估计为，
根据题意，随机变量的所有可能取值为，，，且
；
；
；
，
则的分布列为：
所以．
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以．

20.解：已知，定义域为．
求导得．
令，解得或．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
因此，的极小值点为，极大值点为．
由得：极小值，极大值．
且，．
结合单调性：在处取最小值，仅在处取得；
在处取极大值．
故当时，方程恰好有个解．
已知．
求导得．
即．
在上单调等价于恒成立或恒成立．
由知，．
所以恒成立，则；
若恒成立：对，
但可以趋向，不可能恒小于等于某个常数，故此情况无解．
综上，实数的取值范围是．

21.Ⅰ解：因为，所以，
所以对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，
所以数列具有性质，
因为，所以取，，则，
因为，
所以不存在一项，
所以数列不具有性质；
Ⅱ证明：设数列的公差为，
因为数列具有性质，所以存在使得，同理，存在使得，
两式相减，得，即，
因为，所以，
所以的各项均为整数．
Ⅲ解：由题意结合Ⅱ知的各项均为整数，所以为整数，
首先证明为正整数，否则假设为负整数，则为递减数列，所以中各项的最大值为，
由题设，中存在某项，且，所以，
从而对任意正整数，，这与具有性质矛盾；
其次证明为的约数，
由得，，
所以，
所以为整数，即为的约数，
由为正整数，所以为的正约数，
因为，所以的正约数共有个，
对于首项为，的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质，
所以具有性质的数列共有个．
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