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北京市第十五中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且，那么的值等于( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是( )
A. B. C. D.
3.设向量，，则( )
A. B. C. D.
4.某城市一年中个月的月平均气温单位与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月平均气温最高值为，最低值为，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则图象的一个对称中心为( )
A. B. C. D.
6.在中，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，下列结论中错误的是( )
A. B. 函数的图象关于直线对称
C. 的最小正周期为 D. 的值域为
8.函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.在中，，是边的中点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设向量，，若，则 ．
12.已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则 ．
13.已知非零向量夹角为，且则等于 ．
14.已知函数，若函数在上具有单调性，且，则 ．
15.已知为常数，，关于的方程有以下四个结论：
当时，方程有且只有个实数根；
存在实数，使得方程有个实数根；
使得方程有实数根的的取值范围是；
如果方程共有个实数根，记的取值集合为，那么．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，且
求的值：
求的值．
17.本小题分
已知函数，，．
求的解析式和最小正周期；
求在区间上的最大值和最小值．
18.本小题分
在中，．
求的值；
求的面积．
19.本小题分
在中．．
求；
若，为边的中点，求的长．
20.本小题分
已知函数．
若，求及的单调递增区间；
已知在区间上单调递增，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，若不等式在区间有解，求实数的取值范围．
条件：；
条件：；
条件：是的一个零点．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.本小题分
设函数的定义域为若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质．
Ⅰ判断函数和具有性质？结论不要求证明
Ⅱ若函数具有性质，且其对应的，已知当时，，求函数在区间上的最大值；
Ⅲ若函数具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：因为，，所以，
所以．
因为，，．

17.解：解：因为，，
所以，所以，
又因为，所以，
故的解析式为，
所以的最小正周期为．
因为，所以，
所以，则，
故在区间上的最大值，最小值．

18.解：由题可知，又，所以
因为，
所以．
在中，由正弦定理，得．
所以．

19.解：由正弦定理及，
得．
因为，所以所以所以．
因为，所以，即．
由余弦定理得．
因为，所以．
因为，所以．
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
在中，由余弦定理得
所以．

20.解：
若，则，所以，．
因为的单调增区间为，
所以，所以．
所以的单调递增区间为．
选条件．
因为，在区间上单调递增，，则，所以解得．
因为，
所以，即，
所以，或
即，或
又，所以，
因为，所以．
因为不等式在区间内有解，即在区间内有解，
因为，，所以，即．
所以的取值范围是．
选条件．
因为，，则，由于在区间上单调递增，所以解得．
因为，所以，
所以，即，
又，所以，以下同选条件．
选条件．
因为，，则，由于在区间上单调递增，所以解得．
是的一个零点，所以，
解得：，因为又，所以或，
函数不唯一确定，故不符合条件．

21.解：Ⅰ函数不具有性质；函数具有性质．
Ⅱ设，则．
由题意，得，
所以当，
由，，得．
所以当时，．
故当时，在区间上有最大值．
Ⅲ证明：当，时，结论显然成立；
下面考虑不恒等于的情况，即存在，使得，
由于直线为函数图象的一条对称轴，所以，
由题意，存在，，，使得成立，
所以，即，
由直线是函数图像的一条对称轴，
得，
又因为，，
所以，即，
故对于任意，成立，其中．
综上，为周期函数．
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