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北京市第九中学2025-2026学年第二学期高二数学期中统练试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.若数列的通项公式，则此数列( )
A. 是公差为的等差数列 B. 是公差为的等差数列
C. 是首项为的等差数列 D. 是公差为的等差数列
2.已知件产品中有件正品，其余为次品．现从件产品中任取件，观察正品件数与次品件数，下列选项中的两个事件是对立事件的是( )
A. 恰好有件次品和恰好有件次品 B. 至少有件次品和全是次品
C. 至少有件正品和至少有件次品 D. 至少有件次品和全是正品
3.等比数列中，，是方程的两根，则等于( )
A. B. C. D. 以上都不对
4.我国古代有辉煌的数学研究成果，其中周髀算经，九章算术，海岛算经，孙子算经均有着十分丰富的内容某中学计划将这本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将门选完，则小南同学的不同选修方式有种．
A. B. C. D.
5.设是等差数列下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.已知随机变量的分布列为
则( )
A. B. C. D.
7.已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
8.若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是( )
A. B.
C. 为常数 D.
9.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
10.定义：已知数列，，，若，，使，则称，互为阶友好数列已知为无穷项等差数列，是数列的前项和，是公比为的无穷项等比数列，，下列说法正确的是( )
A. 若，则，，互为阶友好数列
B. 若，则，，互为阶友好数列
C. 若，则，使，互为阶友好数列
D. 若，则，使，互为阶友好数列
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.设等差数列的前项和为，若，，则 ．
12.的二项展开式中的常数项为 ．
13.已知数列，，则 ，数列的通项公式 ．
14.在件产品中有件次品，不放回地抽取次，每次抽件．已知第次抽出的是次品，则第次抽出正品的概率是 ．
15.下面是关于公差的等差数列的四个命题：
：数列是递增数列；
：数列是递增数列；
：数列是递增数列；
：数列是递增数列．
其中的真命题为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知等差数列满足，．
求数列的通项公式
求
17.在某区“创文明城区”简称“创城”活动中，教委对本区，，，四所高中学校随机抽查了人，将调查情况进行整理后制成下表：
学校
抽查人数
“创城”活动中参与的人数
在名高中学生中，随机抽取名学生，求该生没有参与“创城”活动的概率；
在上表中从，两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取人，求恰好，两校各有人的概率是多少
在抽查的名高中学生中随机抽取人，已知其中的一名同学来自校，则这人不同校的概率是多少
18.已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：
若该校高二年级有人，试估计阅读速度达到字分钟及以上的人数；
用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取人，设这人中阅读速度达到字分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望；
若某班有名学生参加测试，他们的阅读速度如下：，，，，，，，，，，从这名学生中随机抽取人，设这人中阅读速度达到字分钟及以上的人数为，试判断数学期望与中的的大小．
20.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
设等差数列的前项和为数列的前项和为，________，若对于任意都有且为常数，求正整数的值．
21.设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质．
判断下列两个数列是否具有性质；结论不需要证明
等差数列：；
等比数列：
已知数列具有性质，，，且满足即：数列的所有项构成整数集，求的通项公式；
若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值．
参考答案
1.
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12.
13.
14.
15.，
16.解：设为的公差，由题意得，解得
故．
由题意得
．

17.解：参与抽查的名高中学生中，没有参与“创城”活动的有人，
设在这名高中学生中，随机抽取名学生，该生没有参与“创城”活动为事件，则 ．
上表中从校没有参与“创城”活动的同学有人，校没有参与“创城”活动的同学有人，
设从中随机抽取人，恰好，两校各有人为事件，
则 ．
在抽查的名高中学生中随机抽取人，其中的一名同学来自校，设这人不同校为事件，则 ．

18.解：设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，
由，，可得，
；
即有，，
则，
则；
，
则数列的前项和为：
．
19.，
故可估计阅读速度达到字分钟及以上的人数为人；
从中任取一人，其阅读速度达到字分钟及以上的概率为：
，
的可能取值为、、、，
，
，
，
，
则其分布列为：
其期望为：；
，理由如下：
这名学生中，阅读速度达到字分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、，
，，，
则，故．

20.解：由，
得当时，；
当时，，
从而，即．
由此可知，数列是首项为，公比为的等比数列，故；
若选，
当时，，．
设数列的公差为，
则，解得，
所以．
因为当时，，当时，，
所以当时取得最大值．
因此，正整数的值为．
若选，
当时，，，
设数列的公差为，
则，解得，
所以．
因为当时，，当时，，
所以当时，取得最大值．
因此，正整数的值为．
若选，
当时，，，
设数列的公差为，
则，解得，
所以．
因为当时，，当时，，
所以当时，取得最大值．
因此，正整数的值为．
21.解：由题意知，数列通项公式为，
，所以数列具有性质；
数列中，代入，，所以数列不具有性质．
由数列具有性质，得，
所以，即，
所以数列：，，，，，是等差数列．
又因为，，所以数列的公差，
同理，得数列：，，，，，是等差数列，公差
若且，则数列的最小项是，数列的最小项是，
所以数列的最小项为，这与矛盾；
若且，同理，得的最大项为，这与矛盾；
若且，则为递减数列，为递增数列，
由，得为数列中的项，所以只能是，且，
同理，可得为数列中的项，所以只能，，
此时，的通项公式为；
若，，类似的讨论可得，．
此时，的通项公式为．
综上，的通项公式为或．
由数列，，，，，，，，，，，，，不是等差数列，且其同时具有性质，，，得且，
类似的，由数列，，，，，，，，，，，，，不是等差数列，且其既具有性质又具有性质，得，
所以的最小值大于或等于，
以下证明的最小值等于，即证“既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列”．
因为具有性质，即，
所以对于，是等差数列；
同理，由具有性质，得对于，是等差数列．
由，，，，，，为等差数列记公差为，且，，，，，，为等差数列记公差为，
得，，所以．
令，则，，．
同理，由，，，，为等差数列，且，，，，，，，，为等差数列记公差为，得，，
所以，且．
所以
同理，由，，，，，为等差数列，且，，，，，为等差数列，
得；
由，，，，，，为等差数列，且，，，，，，为等差数列，
得；
由，，，，，，，为等差数列，且，，，，，，，为等差数列，得．
综上，，
故数列是公差为的等差数列，
即既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，
所以的最小值等于．

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