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江西上饶市名校联盟2025-2026学年高一下学期5月期中训练数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与角的终边相同的最小正角是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知扇形的周长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.曲线与的交点的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且当时，的最小值为，则( )
A. B. C. D.
8.若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数是以为周期的偶函数的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，下列四个选项正确的是( )
A. 的最小正周期是
B. 的值域是
C. 在区间上单调递增
D. 的图象关于对称
11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是( )
A. 为定值 B. 的取值范围是
C. 当时，为定值 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.函数的图像如图所示已知直线与交于，，三点且，是的一个最大值点，则 ．
14.在中，角的对边分别是，若，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知化简求值：；
已知且求的值．
16.本小题分
设，图象的一条对称轴是直线．
写出函数的振幅、周期和初相，并说明函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到；
用“五点作图法”画出函数在区间上的图象．
17.本小题分
如图所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点．
若，求实数的值；
若，且满足，
求实数的值；
如图，过点的直线与边分别交于点，设，，，求的最小值．
18.本小题分
麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量，．
霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值；
霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线的长度平方成正比，比例系数为，而总收益与成正比，比例系数为其中，，若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的长度，并写出此时的最大净收益表达式．
19.本小题分
已知函数．
若对于任意都有，且，求的对称中心；
若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，函数在区间且上恰好有个零点，求的最小值；
在第问条件下，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位长度，向下平移个单位长度后得到函数的图象若关于的方程在上有且仅有四个解，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：由诱导公式得．
因为，所以，
因为，，
所以，，
则
．

16.函数的振幅为，周期为，初相为；把图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象；把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象
17.解：因为，所以，
所以，
又，且与不共线，由平面向量基本定理得，；
因为三点共线，所以存在实数使得，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，且与不共线，
所以，解得．
所以．
由可知，，且，，
所以，
因为三点共线，所以，且，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．

18.解：在中，由余弦定理得，
即，
同理，在中，可得，
所以，整理得，即无论多长，定值；
因为的面积，
的面积，
所以，
由得，将代入上式，
化简得，
根据二次函数的性质，可知当时，取到最大值，最大值为；
设，净收益为，则，
由得，，则且．
由知，
所以，
令，则，满足，
当，即当时，取得最大值，
所以
．
19.解：因为的最小正周期为，
又因为，且，
则，解得，
当时，，
令，解得，
所以的对称中心为；
当时，，
令，解得，
所以的对称中心为；
综上所述，的对称中心为或．
将函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
则，
因为是的一个零点，
则，即，
又因为，则，
可得，解得，
所以，最小正周期．
令，可得，
则或，，
解得或，，
若函数在且上恰好有个零点，
要使最小，则、恰好为的零点，
故．
由题意知，且，
令，且，则，
因为，则，
当时，满足方程组的值有且仅有四个，
且函数在上单调递增，在上单调递减，
令，可得必有两个相异零点，，
由直线与和，的图象分别有两个交点，
作出直线与和，的图象，如图所示，

由图象可得，即在区间上有两个相异零点，
则满足，解得，
所以的取值范围是

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