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北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高二下学期4月月考
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.两个数和的等比中项为( )
A. B. C. D.
2.下列求导结果正确的是( )
A. B. C. D.
3.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足 则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是( )
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 为极值点 D. 为极值点
6.设则等于( )
A. B. C. D.
7.设是公比不为的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知数列的前项和，若，，为正整数，则( )
A. B. C. D.
9.我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将，，，，填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于一般地，将连续的正整数，，，，填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形称为阶幻方记阶幻方的每列的数字之和为，如图三阶幻方的那么( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列结论错误的是( )
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数既有极大值又有极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则的最小值为
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.曲线在处的切线斜率为 ．
12.数列是公比为的等比数列，其前项和为，若则
13.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则 ．
14.已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为 ．
15.已知无穷数列的前项和，若存在不相等的正整数，，使得 则称为“绝对可等和数列”给出下列结论：
已知数列则数列为“绝对可等和数列”；
存在一个公差不为的等差数列，使得对任意的正整数，总存在，满足
若公比为的等比数列为“绝对可等和数列”，则的取值集合为
若两个公差均不为的等差数列和均为“绝对可等和数列”，则也一定是“绝对可等和数列”
其中所有错误结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知是各项均为正数的等比数列，，且成等差数列．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.已知数列满足，且．
求证：数列是等差数列：
若，求数列的前项和．
18.已知函数
函数在处取极值，求的值：
求函数在区间上的最小值．
19.已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
当时，求函数的单调区间；
若对于任意的，有，求的取值范围．
20.已知椭圆的长轴长为，以椭圆的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆的左、右顶点．
求圆和椭圆的方程；
已知分别是椭圆和圆上的动点位于轴两侧，且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，求证：为定值．
21.已知项数为的数列满足，若对任意的，至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质．
Ⅰ判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
Ⅱ设项数为的数列具有性质，，求；
Ⅲ若数列具有性质，且不是等差数列，求．
参考答案
1.
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4.
5.
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10.
11.
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13.
14.
15.
16.解：设等比数列的公比为，则，由已知
即，解得或，
因为是各项均为正数的等比数列，则，所以

17.解：已知，则，
，
，，
是首项为，公差为的等差数列．
由知，，
，
，
，
．

18.解：的定义域为，求导得，
已知在处取极值，则，解得．
当时，，
当时，，当时，，故在处极值，符合题意．
函数的导数为，
已知，，则，
当时，在上恒成立，单调递减，
最小值为；
当时，在上恒成立，单调递增，
最小值为；
当时，令，解得，则，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
最小值在极值点处取得：
；
综上可得：
．

19.解：由，
知．
所以当时，有，．
故曲线在处的切线经过，且斜率为，
所以其方程为，即．
当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减；
当时，对有，故在上递增；
当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减．
综上，当时，在和上递增，在上递减；
当时，在上递增；
当时，在和上递增，在上递减．
我们有．
当时，由于，，故根据的结果知在上递增．
故对任意的，都有，满足条件；
当时，由于，故．
所以原结论对不成立，不满足条件．
综上，的取值范围是．

20.解：依题意，得，，
所以圆方程，椭圆方程．

设，，
则，，，
所以方程，令时，，即，
方程为，令时，，即，
则，
所以，
即，所以，
故为定值．

21.解：Ⅰ数列不具有性质．
因为，，它们均不是数列中的项，
所以数列不具有性质
Ⅱ考虑项数为的具有性质数列．
因为，
所以，即，所以
设，因为，所以．
又，
所以
将上面的式子相加得．
所以
故当时，．
Ⅲ一、当时，
由Ⅱ，，，
与数列不是等差数列矛盾，不合题意．
二、当时，
存在数列符合题意，例如数列，故可为
三、当时，
由Ⅱ，
当时，，所以，．
又，
，
所以．
所以．
因为，所以，．
所以，，
所以
由两式相减得，．
与数列不是等差数列矛盾，不合题意．
综上所述，．

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