资源简介 “少年何坊芳捕星，款挽票专射玉衡”5.己知a,B,”是三个不同的平面，a,b是两条不同的直线，下列命题中正确的是()2025一2026学年下学期高三年级A.若⊥y,B⊥y,则x∥BB.若a⊥a,b⊥a,则a∥b2010期中考试数学学科C.若a∥a,bc,则a∥bD.若a∥a,a∥B,则a∥E长春吉大附中宾验学板时间：120分钟满分：150分6.己知函数f(x)=tan(ox+p)(o>0,|pk)的部分图象如图所示，则op=()本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。πO5π33.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。A.B.交C.-πD.-交636第I卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.7.己知复数z满足2-+3+=4，则|z的最小值为()1.已知集合M={x1<2<8},N={-2,1,2,3},则M∩N=()A.1B.√5C.√5D.2A.{-2,1,2,3}B.{1,2,3}C.-2,1D.1,2}2.样本数据8,6,8,7,9,9,10,11的中位数是()8.已知定义域为R的函数f)满足f()+sinr为偶函数，f,-1og,年+)为奇函数，则f(宁=A.8B.8.5C.9D.9.5()A2-g,2B.1c.-g,2D.log,23.已知a,b为实数，则“aA.充分不必要条件B.必要不充分条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要C.充要条件D.既不充分也不必要条件求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，d为公差，且S<0,S,>0,则下列说法正确的是()4.已知二项式(2x-1)“的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n的值为()A.d>0B.当n=8时，Sn取最小值A.4B.5C.6D.7C.a<0D.d>0高三年级期中考试数学学科试卷第1页共3页“少年何妨梦摘星，敢挽桑弓射玉衡”2025—2026学年下学期高三年级期中考试数学学科时间：120分钟 满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用 铅笔填涂；非选择题必须使用 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷（选择题，共 58分）一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．【答案】D2．样本数据 8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（ ）A．8 B．8.5 C．9 D．9.5【答案】B3．已知 a，b为实数，则“ ”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A4．已知二项式 的展开式中仅有第 4项的二项式系数最大，则 的值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C5．已知 ， ， 是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）A．若 ， ，则 B．若 ， ，则C．若 ， ，则 D．若 ， ，则【答案】B高三下学期数学学科期中考试 第 9页，共 10页6．已知函数 的部分图象如图所示，则 （ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图知 的最小正周期 ，所以 .又 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .7．已知复数 满足 ，则 的最小值为（ ）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】设 ，则复数 在复平面内对应点的坐标为 ，由 ，得 ，其表示点 到 两点的距离之和为，所以点 的轨迹是以 两点为焦点的椭圆，其中 ，所以 ，所以点 的轨迹方程为 ，表示点 与 之间的距离，而 ，8．已知定义域为 的函数 满足 为偶函数， 为奇函数，则 （ ）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因为 是偶函数， ，所以 ，即 ①，因为 是奇函数，所以 ，所以 ，即 ②，①+②，并整理得 ．二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。高三下学期数学学科期中考试 第 10页，共 10页9．已知 是等差数列 的前 项和， 为公差，且 ， ，则下列说法正确的是（ ）A． B．当 时， 取最小值C． D．【答案】AD【解析】因为数列 为等差数列，则 ，即 ，且 ，即 ，可得 ，所以公差 ，故 A正确；可知等差数列 为递增数列，当 时， ；当 时， ；所以当 时， 取最小值，故 B错误；所以 ， ，故 C错误，D正确．10．加斯帕尔·蒙日是 18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为 时，蒙日圆方程为 ．已知矩形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法正确的是（ ）A．椭圆 的离心率为 B．若 为正方形，则 的边长为C．椭圆 的蒙日圆方程为 D．矩形 的面积的最大值为 14【答案】ACD【解析】对于 A，由椭圆 的方程知 ，则 ，椭圆 的离心率 ，A正确；对于 C，由 A知，椭圆 对应的蒙日圆方程为 ，C正确；对于 B，由 C可知，正方形 是圆 的内接正方形， 正方形 对角线长为圆的直径， 正方形 的边长为 ，B错误；对于 D，设长方形 的长和宽分别为 长方形 的对角线长为椭圆 对应蒙日圆的直径， 长方形 的面积 （当且仅当 时取等号），高三下学期数学学科期中考试 第 9页，共 10页即长方形 的面积的最大值为 14，D正确．11．如图所示，在圆锥 中， 为高， 为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于 4的等腰直角三角形，C为母线 的中点，点 M为底面上异于 O，A的动点，且 ，点 O在直线 上的射影为 H，当点 M运动时，则有（ ）A．三棱锥 体积的最大值为 B．直线 与直线 不可能垂直C．点 H的轨迹长度为 D． 的最大值为【答案】AC【解析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l．由题可知 ，所以 ，因为，所以 ，因为 ，所以 ，对于 A，因为 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， ， 平面 ，故 平面 ，则三棱锥 的体积 ，当且仅当 时，等号成立．故三棱锥 体积的最大值为 ，故 A正确；对于 B，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因为点 O在直线 上的射影为 ，所以 ，由 ，且 平面 ，得 平面 ，因为 平面 ，则 ，又 ，连接 ，又 C为 的中点，故 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ，因 平面 ，故 ，即 B不正确；对于 C，由选项 B可知 平面 ．因为 平面 ， 平面 ，所以 ，因过点 C且与 垂直的平面仅有一个，则 H点的轨迹为以 为直径的圆(除去 两点)．高三下学期数学学科期中考试 第 10页，共 10页因为 ，所以 H点的轨迹周长为 ，故 C正确；对于 D，由选项 B可知 ，因 ，则点M必在圆内，设 ，则 ， ， ，，当且仅当 ，即 时，等号成立，但，故等号取不到，所以 ，故 D错误．故选：AC.第Ⅱ卷（非选择题，共 92分）三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。12．若 都是单位向量， ，则向量 与 的夹角大小为__________.【答案】13．在 中，角 所对的边分别为 ，若 边上的高 ，则的周长为______．【答案】15【解析】由题意可知 ，所以 ，又由余弦定理可知 ，即 ，则 的周长为 .14．设集合 ，若对于满足 的任意 k个元素的集合 ，都存在 ， 使得 ，则 k的最小值是______．【答案】【解析】根据题意， ，设集合 ，对于任意 ， ， ，现计算此时 的最大值.要使 最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小，所以 ，则 应该是满足的最小整数，故 ， ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ， ，即 ，又 且，的最大值为 ，例如 ，则 k的最小值是 ．高三下学期数学学科期中考试 第 9页，共 10页四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列 的首项 ，且满足 ．（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 ．【解析】（1）在数列 中， ，可得 ，即数列 是首项为 2，公差为 3的等差数列，所以 ，即 .（2）由（1）得 ，所以16．（15分）某市高三学生学习强度指数 Q的概率分布情况如下表所示．学习强度指数 Q概率 0.2 0.5 0.3应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对（1）从该市随机选取 3名高三的学生，记学习强度指数 的人数为 X，求 及 X的数学期望．（2）定义 为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件 “该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件 “该学生困难应对”，求在事件 A发生的条件下事件 B发生的优势．【解析】（1）由表知， 的概率为： ,从该市随机选取 名学生，记学习强度指数 的人数为 ，则 服从二项分布 ，所以 ； 的数学期望为： ；（2）解：由题意可知，事件 为“该学生学习有压力”，事件 为“该学生困难应对”.， ，因为事件 包含于事件 中，所以 ，高三下学期数学学科期中考试 第 10页，共 10页在事件 发生的条件下事件 发生的概率为： ，在事件 发生的条件下事件 发生的概率为： ，所以在事件 发生的条件下事件 发生的优势为： .17．（15分）已知函数 ．（1）求函数 的单调区间；（2）若函数 在 上有且仅有 2个零点，求 的取值范围．（3）对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．【解析】（1）因为 ， ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递增；当 时，由 ，得 ，若 ，则 ；若 ，则 ．所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．综上所述，当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．（2）当 时，由 可得 ，令 ，其中 ，则直线 与函数 在 上的图象有两个交点.，当 时， ，此时函数 单调递增.当 时， ，此时函数 单调递减．所以函数 的极大值为 ，且 ， ， 在 的图象如图所示．由图可知，当 时，直线 与函数 在 上的图象有两个交点，高三下学期数学学科期中考试 第 9页，共 10页因此，实数 的取值范围是 ．（3）由 ，得 恒成立，移项 ，得 恒成立. 构造函数 ，所以 恒成立.又∵ 在定义域内单调递增，∴有 在 内恒成立，∴ 恒成立，即 .由（2）可知 最大值为 ，所以 .18．（17分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD是正方形，平面 平面 ABCD， 是边长为 的等边三角形，E为侧棱 PB的中点，F为线段 BC上一点．（1）证明：平面 平面 PBC；（2）若 F为 BC中点．（ⅰ）求异面直线 AF与 PC的距离；（ⅱ）求四棱锥 的外接球被 所在的平面截得的圆的面积．【解析】（1） 平面 平面 ，平面 平面 ， ，且 平面 ，则 平面 ，因为 平面 ，则 ，又 ，，则 ，因 ， 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 ．（2）（ⅰ）由 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，则 ，故 为 的中点，取 的中点 O，连接 ， ，则 平面 ，因 平面 ，则 ， ， 平面 ，所以 平面 ，故可以 O为坐标原点，OB，OP所在直线为 x，z轴，过 O作 的平行线为 y轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ．高三下学期数学学科期中考试 第 10页，共 10页由题意， ， ， ， ， ， ，， ，设 与 ， 向量都垂直，则令 得 ， ，则异面直线 AF，PC的距离 ．（ⅱ）由底面 为正方形，设 外接球球心为 ，由 得 ，得 ，则球半径 ，由（ⅰ）知平面 的法向量为 ，则球 O到平面 距离为 ，则球 O截平面 所得圆的半径 ，则截面圆面积为 ．19．（17分）如图，过点 的直线 与抛物线 （ ）交于 ， 两点， ，直线 ， 分别与抛物线的准线交于点 ， .（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线的焦点 作直线 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，证明：直线 过定点；（3）是否存在经过点 ， 的圆，与 轴的两个交点的横坐标均为整数？若存在，求出这两个交点坐标，若不存在，说明理由.【解析】（1）设直线 的方程为： ，联立方程： ，得： ，设 ， ，则有： ， ，，解得： ，所以抛物线的标准方程为： ；（2）焦点 ，直线 的方程： ，高三下学期数学学科期中考试 第 9页，共 10页则直线 的方程为： ，联立方程： ，解得 ，同理得： ，当直线 斜率不存在时， 即点 与点 重合，不符合题意，设直线 的斜率为 ， ，则直线 的方程为，所以直线 过定点 ；（3）易知 ， ，假设满足条件的圆存在，设其方程为：（ ），将 ， 代入得： ， 并化简得： ，设圆与 轴的两个交点分别为 ， 则有 ， ，显然 s，t为一元二次方程 的两根，则有 ， ，即 ， ，由于 s，t均为整数，解得两交点坐标分别为 和 ，或 和 .高三下学期数学学科期中考试 第 10页，共 10页 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2026年吉林大学附中高三五月份联考数学试卷.pdf 数学0426（教师版）.pdf
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