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四川遂宁市卓同教育集团2026届高三下学期模拟测试（四）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆经过双曲线：的焦点，且双曲线的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，点，为坐标原点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若恒成立，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.
B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为
C. 终边落在直线上的角的集合是
D. 函数的定义域为
10.已知，则下列说法不正确的是( )
A. 在定义域内单调递增
B. 的对称中心为
C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为
D. 若，则的最小值为
11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点点为坐标原点，且，则( )
A. 过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有条
B. 满足为直角三角形的点有且仅有个
C. 若直线的倾斜角为，则
D. 若，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设、为共轭复数，若，，则 ．
13.一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
14.如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆视为半径均为的球三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切若汤圆与碗口等高，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是等差数列，是等比数列，且，，．
求和的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量单位：千辆与年使用人次单位：千次的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示．
观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型给出判断即可，不必说明理由？并求出关于的回归方程；
公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中台进行保养，测试结束后，有台报废，其中保养过的共享电动车占比请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？
保养 未保养 合计
报废
未报废
合计

参考数据：．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
其中．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数有最大值，且，求实数的取值范围．
18.本小题分
复数与复平面上的点一一对应：
复数，，若，复平面上动点的轨迹为；若，复平面上动点的轨迹为；判断并证明、的曲线类型．
复数、、、满足且，复平面上动点的轨迹为曲线．
(ⅰ)求的标准方程，并判断曲线类型；
(ⅱ)平面上过的动直线交曲线于、两点，是线段上一点且满足，证明：点恒在某条定直线上．
19.本小题分
如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为．
求长度的最小值；
若点在圆上，且是所对的圆心角，，证明：存在非零向量，使得恒成立；
在的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设公差为，公比为，，
故，，
，故，联立，解得或舍去，
故，；
令，设数列的前项和为，
则，
由，解得，
当时，，
则，
当时，，则
，
综上：．

16.解：由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型．
由，两边同时取常用对数得．
设，则．
因为，，，，
所以．
把代入，得，
所以，所以，
则，
故关于的回归方程为．
设零假设：是否报废与是否保养无关．
由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下：
保养 未保养 合计
报废
未报废
合计
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关．

17.解：的定义域为，
由可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
由知，当时，在上单调递增，无最大值，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取得最大值，
即，
因此有，得，
设，则，所以在内单调递增，
又，所以，得，
故实数的取值范围是．

18. 是圆心为 ，半径为 的圆；
证明：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
表示圆心为 ，半径为 的圆；
是经过 和 的一条直线；
证明：因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，即 ，表示经过 且斜率为 的一条直线，
当 时， ，表示 轴，
所以 是经过 和 的一条直线．
设 在复平面内对应的点为 ，
由可知， 表示直线 ， 表示 的垂直平分线，
所以 为 的垂直平分线与直线 的交点，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 在以 为圆心，半径为 的圆上，
如下图所示，

由上可知， ，
所以 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
所以 ，所以 ，
所以 的标准方程为 ，曲线为椭圆；
(ⅱ)设 ，不妨假设 ，
由题意可知，直线 的斜率存在，设 ，
联立 ，可得 ，
所以 ，且 ，
因为 ，
，
所以 ，
化简可得 ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以 ，化简可得 ，
所以 在定直线 上．

19.解：如图，
沿圆锥的母线，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形，
其中为的中点，与在圆锥中是同一点．
因为轨迹在圆锥的侧面上，
所以，在侧面展开图中，轨迹是扇形上连接与两点的曲线．
又是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短，
所以，轨迹是侧面展开图扇形上连接与两点的线段，即线段．
由于，所以的长度为，又，所以．
所以，在等腰三角形中，，即的长度为．
存在非零向量，使得恒成立．
证明：如图，在底面圆中，过点作交圆于点，
由于平面，平面，故，，
则，两两垂直，
如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
于是，设，
则，
于是，则，
于是，
于是令，则 ，
所以存在非零向量，使得恒成立；
解法：由可知，是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
由于，
则，即
令，
于是平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
于是，
即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为；
解法 ：由可知，平面的法向量，
由于在底面圆周上运动，
则平面即平面的法向量可以是底面上任意方向的向量，
如图，在平面内，设，过点作，则，
设平面与平面所成的角为，则，
易知，则，
综上，，
即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为．

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