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安徽蒙城一中、涡阳一中、颍上一中、怀远一中、淮南一中五校2026届年高三下学期5月学情自测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列与正项等比数列满足，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.某新能源汽车企业为优化电池续航算法，抽取了辆同型号车辆在标准工况下的单次充电实际行驶里程单位：公里统计数据经整理得到频率分布直方图图中部分数据缺失已知行驶里程在的频率为，在的频率为，且该数据近似服从正态分布该企业计划对续航表现优异的车辆颁发“超长续航认证”，要求行驶里程不低于公里，且认证比例控制在左右根据正态分布模型参考数据：，，则的估计值最接近( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知二项式的展开式中，各项系数的最大值为，且最大值在第与项取得，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，且，若，椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10.如图，在长方体中，为线段上一动点含端点，则下列说法正确的是( )
A. 若长方体的长宽高确定，则四面体的体积为定值
B. 存在点，使得
C. 若底面为正方形，则过点有且只有一条直线与，所成的角均为
D. 若，，则平面截长方体的外接球所得截面的面积是
11.已知三点，，，圆，则下列说法正确的是( )
A. 若点在圆上运动，则的最小值为
B. 圆与圆的公共弦长为
C. 若点在直线上，过作圆的切线，，切点分别为，，则的最大值为
D. 若点在直线上，过作圆的切线，，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角为 ．
13.若直线是曲线在处的切线，则 ．
14.某太空项目采用星链卫星组网，第颗卫星入轨后，后续卫星按如下规则入轨：设第颗卫星与基准轨
道的偏差值为，满足递推关系：，，已知初始偏差若要求前颗入轨卫星的
总偏差不超过，则正整数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年是中国航天深空探测的关键一年，某航天勘测团队在月球背面某区域进行地形勘测，测得该区域三个勘测点，，构成三角形，其中，两点相距千米，勘测仪器测得，．
求边的长度
为进一步精准勘测，团队计划在边的延长线上取一点，使得，求的长度．
16.本小题分
某智能温室大棚采用自动控制系统调节遮阳帘每天系统会根据前一天的日照强度选择“高透光模式”记为状态或“低透光模式”记为状态统计表明：若某天为高透光模式，则次日仍保持高透光模式的概率为若某天为低透光模式，则次日转为高透光模式的概率为假设第天系统处于高透光模式设第天系统处于高透光模式的概率为．
求和的值
求数列的通项公式
为防止作物光照不足，技术人员设置了自动补光机制：若连续两天出现低透光模式，则立即强制启动补光灯记为前天内强制启动补光灯的次数即连续两天为低透光模式的事件发生次数，若第、天为低透光模式，第、天也为低透光模式，则计为次，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
已知双曲线的离心率为，且经过点．
求双曲线的标准方程；
设双曲线的左、右顶点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线于另一点不与重合，线段的中垂线交轴于点若，求的值；
过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点．试问：是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．

证明：平面平面；
设点是线段上的一点，且满足在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由；
求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
19.本小题分
已知函数，，其中，为自然对数的底数．
证明：；
若对任意恒成立，求实数的值；
设数列满足，数列满足，证明：对任意成立，并求使得成立的最小正整数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或．
13.
14.
15.解：已知，，
则，
，
已知，，
，
，
即边的长度为千米．
，
即．
已知在延长线上，，，
故，
在中，，，
故三角形为等腰直角三角形，，
已知，，，
由余弦定理：，
，
化简可得，
即的长度为千米．
16.解：由题意：
，，
，，
第天为高透光模式：．
第天为高透光模式有两种情况：
第天为且第天为
第天为且第天为．
所以．
由全概率公式：，
构造等比数列：设，
展开得．
对比系数：．
所以
数列是首项，公比的等比数列．
，
则
表示前天内“连续两天为低透光模式”的事件发生次数第天固定为．
枚举所有可能：分布列：
，
，
期望：
17.解：由题意可得，解得
所以双曲线的标准方程：
设直线方程
与双曲线方程联立可得
，，则，
则中点，直线，
所以直线的中垂线斜率为，中垂线方程为：
令，得
又有，则，解得
所以的值为．
由知右焦点，渐近线方程：
设直线
联立可得：
联立得；联立得
所以
所以为定值．

18.解：因为底面为正方形，所以，
又底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
在中，，为的中点，所以，
平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．

以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为，则，则得，
则，，，，
设，
若，，，四点共面，则存在实数使得
即，得方程组：
，解得
即存在唯一的点，使得，，，四点共面，此时，点在线段上靠近点的三等分点处．
由可知
设平面的一个法向量为，
则，故可取，
设平面的一个法向量为，
则故可取，
设平面与平面夹角为，则
，
当时，取得最大值，
所以平面与平面夹角的余弦值的最大值是．

19.解：证明：由，得，令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值，
因此对任意，有．
由，得，
当时，，在上单调递增，又，所以当时，，不符合题意；
当时，令，得，在上小于，在上大于，
所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值，
设，则，令，得，在上大于，在上小于，
则在上单调递增，在上单调递减，所以，
由恒成立得，故，即．
由知，令，得，
于是，
故对任意成立，取，得，所以最小正整数，
又对任意成立，所以对任意成立，
所以对任意成立．

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