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福建福州市2025-2026学年高三5月质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.某数据中心共有个开源大模型供公众使用该中心分别对这个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为( )
A. B.
C. D.
4.已知圆台的上下底面面积分别为，且，圆台的高为，轴截面面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7.如图是体现中国古代数学智慧的“赵爽弦图”，它由个全等直角三角形和中心小正方形构成若，则( )
A. B.
C. D.
8.已知，则的大小关系不可能为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
10.已知函数 ，则下列说法正确的是
A. 若 是奇函数，则
B. 若 是增函数，则
C. 所有零点的平方和等于
D. 当 时，存在两条互相垂直的直线都与曲线 相切
11.在平面直角坐标系中，到两条坐标轴的距离之和与到点的距离相等的点的轨迹是，则( )
A. 点在上
B. 存在斜率为的直线与恰有个公共点
C. 当且仅当，圆与恰有个公共点
D. 存在定点，过且互相垂直的任意两条直线都与相交，所有交点中必有两个与等距
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，则数列的前项和为 ．
13.等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点都在该抛物线上，这个三角形的边长为 ．
14.共有枚质地均匀的硬币，每枚硬币抛出后正面朝上与反面朝上的概率均为第一次将三枚硬币同时抛出，之后每次从当前反面朝上的硬币中任意选取枚同时抛出，直到反面朝上的硬币数少于枚时停止操作当停止操作时，所有硬币均为正面朝上的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角的对边分别为，已知的面积为．
求；
若，求边上的中线长．
16.本小题分
近年，国家不断加大反诈宣传力度“摸球中奖”就是街头常见的诈骗小游戏，其规则为在不透明袋中装有若干个不同颜色的小球，以摸到特定组合即可获得大额奖金为诱饵，吸引路人参与已知袋中装有个红球，个黄球，个蓝球，这个球除了颜色不同以外其他特征均相同，摸球者从袋中随机摸出个球，若其中三种颜色球的个数比为所述比例不固定对应具体颜色，下同，则获得元奖金；若其中三种颜色球的个数比为，则获得元奖金：若其中三种颜色球的个数比为，则没有奖金也不需付钱：仅当其中三种颜色球的个数比为时，需要支付元．
求摸球者摸球一次获得元奖金的概率；
试用所学的概率与统计知识揭穿此骗局．
17.本小题分
在四棱锥中，平面，．
证明：平面平面；
若为棱上一点不含端点，直线与平面所成角的正弦值为，求．
18.本小题分
已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ， ， 的面积为 以 为中心、焦点在 轴上的椭圆 在 的内部，且与 的离心率相等． 分别过 作 的切线 ，设 的斜率分别为 ．
求 的方程；
求 的值；
若 的长轴长为 ，是否存在定点 ，当过 的动直线 与 交于两点 ， ， 与 交于点 时，都有 若存在，写出 的坐标并证明 若不存在， 说明理由．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
关于的方程有两个实根，对每一个满足条件的．
求的取值范围；
当时，记，证明：．
参考答案
1.
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4.
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13.
14.
15.解：因为以及余弦定理可得，，即，
因为的面积为，所以，即，
得，因为，所以；
由可得，，
由正弦定理可得，，
因为，所以，，
则由可得，
设线段的中点为，
则
，
得，得，
故边上的中线长为

16.解：因为摸球者摸球一次获得元奖金，所以摸到三种颜色球的个数比为，共有两种情况，个红球，个黄球，个蓝球；个黄球，个红球，个蓝球．
设“摸球者摸球一次获得元奖金”为事件，则．
设摸球者收益为，则的可能取值是，，，，
由知，
因为获得元奖金的情况有：个红球，个黄球，个蓝球；个红球，个蓝球，个黄球；个黄球，个红球，个蓝球；个蓝球，个红球，个黄球，
所以
因为没有奖金也不需付钱的情况有：个红球，个黄球，个蓝球；个红球，个蓝球，个黄球，
所以，
因为需要支付元的情况有：个红球，个黄球，个蓝球；个黄球，个红球，个蓝球；个蓝球，个红球，个黄球，
所以，
所以，
即摸球者参与一次游戏，平均要损失元，长期参与必然亏损，这就是典型的骗局．

17.解：在底面梯形 中，，，，．
过点 作 于点，过点 作 于点，
则，，如图所示：
在 中，，，由勾股定理得：
在 中，，，
由勾股定理得：
在 中，，，，
因为，所以，即．
因为平面，平面，所以，
又，，所以 平面．
因为 平面，所以平面 平面，证毕．
以 为原点，所在直线为 轴，过 且垂直于 的直线为 轴，所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则，，，
点 在棱上，设 ，
则：，
因为，
向量：
设平面 的法向量，
则，令，则
所以：又因为
所以直线 与平面 所成角的正弦值为，
解得 ，所以

18.依题意得：
解得 ，则 的方程为： ．
因为两椭圆的离心率相同，故 的方程可设为 ．
设切线 的方程为 ，切线 的方程为
由 得 ，
由 ，得 ．
同理得 ，
所以 ，所以 ．
易得 的方程为 ．
设 的方程为 ，由 得 ，
由 ，得 ，
当 的方程为 时，
由 解得 与 的两个交点分别为 ．
假设定点 存在，当 与 相切于点 或 时， 重合，此时等式成立．
由此猜想分别以 为切点的两切线的交点就是定点 ．
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，联立解得交点为 ．
下证当 为 时满足条件：
设 ，
等价于 ，
化简得 ，
由 解得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以
．
即 成立，
即存在 ，满足 ．
当 的方程为 时，由图形的对称性可知，点 为所求定点．
综上，当 为 时，存在定点 满足条件 当 为 时， 存在定点 满足条件．

19.解：由题设可得定义域为，．
当时，则，从而在上单调递减；
当，令，可得，
，，
则在上单调递减，在上单调递增；
由分析可得，，
则为使有两个实根，则．
由题设可得：，设，则，
两式相减可得，设，则，
从而，，
由题，
设，则，
令，则，
则在上单调递减，则，
则要使成立，则；
由上可得：对于，两式相加可得：
，
因，则，
从而

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