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广东省2026届高三普通高等学校联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学适应性考试（二）数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，，能构成三角形，设满足条件的值构成集合，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.在复数集范围内，若是的一个根，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
3.对任意的锐角，，下列不等关系中，正确的是( )
A. B.
C. D.
4.设函数在处有极大值，则值为( )
A. B. C. D.
5.设大于的实数满足，令，则( )
A. B. C. D.
6.若方程所表示的曲线关于对称，则必有( )
A. B. C. D.
7.在正方体中，，，分别为，，的中点，若从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，记事件为“所取两个顶点的连线与平面平行”，则事件发生的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为椭圆：的左右顶点，为椭圆上一动点，，与直线交于，两点，与的外接圆的周长分别为，，则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
9.已知平面内存在，，，，五个点，且满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知数列对任意正整数，数列均为单调递增数列，记数列前项和为，则下列说法错误的是( )
A. 若，则为单调递增数列
B. 对任意恒成立
C. 若，，则
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知多项式，，，且多项式被整除，则的值为 ．
12.设函数，若曲线在，处的切线斜率依次成等比数列，则值为 ．
13.某校计划将个完全相同的社会实践名额分配给高三年级的个班级，要求一班至少分配个名额，二班至少分配个名额，三班至少分配个名额，则不同的分配方案数为 ．
14.在中，，将绕所在的直线旋转一周，则所得几何体体积的最大值为 ．
15.函数的极小值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，若，，成公差为的等差数列，且．
求的取值范围；
求的取值范围．
17.本小题分
如图，在五面体中，平面平面，四边形是边长为的正方形，，，．

证明：；
若该五面体恰有个顶点在球的球面上，求球半径．
18.本小题分
已知函数，．
时，恒成立，求的取值范围；
若曲线与椭圆交于不同两点，，记直线的斜率为，证明：．
19.本小题分
现甲、乙两人各有一个盒子，每个盒子都有完全相同的两个红球和一个黑球，现进行如下操作：甲、乙两人从各自盒子中随机取一球，然后交换放入对方盒子中，记次操作后甲的盒子中黑球个数为．
求的分布列与数学期望；
证明：为定值，并求出该定值．
参考答案
1.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：因为成公差为的等差数列，，
所以，即
由三角形三边的大小关系可得，即，又，
所以，即的取值范围为．
由余弦定理得，
，
，
所以，
由知，则，得，
所以，故，
即的取值范围为．

17.解：因为是边长为的正方形，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又平面，又平面平面，
所以；
因为四边形的对角不互补，所以四边形无外接圆，
所以不可能是或在同一个球面上；
又正方形有外接圆，
所以可以在同一个球面上或可以在同一个球面上．
因为，平面平面，平面平面，
所以平面，又因为平面，所以．
以作正方体，该正方体的外接球可经过点，
设此外接球的半径为，所以，所以
过正方形的中心作平面的垂线，球心在垂线上，
过作于，过在平面内作交于，
由题意可求得，所以，
设，此外接球的半径为，
则由可得，
解得．
综上所述：若该五面体恰有个顶点在球的球面上，求球半径为或．


18.解：
令，对称轴为．
当，即时，在单调递增，故．
，故，，在单调递增，，满足条件．
当时，，存在，使得时，即，在单调递减，故，不满足条件．
综上，的取值范围是．
设，，，中点
则
两式相减：
整理得
直线的斜率，代入上式得
又，故即
由的结论，取，则时，则
结合，，故
两边除以得，即
又，所以，即
易知在椭圆内，则
所以
所以
解得
所以

19.解：由题可知，的可能取值为，，由相互独立事件概率乘法公式可知：
，
故的分布列如下表：
．
设次操作后甲盒中恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为．
由全概率公式可知：
，
即，得，
所以，又，
所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，
得，即．
由全概率公式可得：
，
即，又，
所以，即，
又，所以，
所以，所以，
所以．
即恒为定值．

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