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湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2026年5月高三模拟测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，且，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知实数，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知复数，则( )
A. B. C. D.
4.若为奇函数，则的值为( )
A. B. C. D. 或
5.某项比赛共有个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是( )
A. 极差 B. 百分位数 C. 平均数 D. 众数
6.若个正数之和为，且依次成等差数列，则公差的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若使得的图象在点处的切线与轴平行，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知正方体中，为的中点，为正方形内的一个动点含边界，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若随机变量，则
B. 若，且，则
C. 已知事件互斥，，则
D. 已知事件相互独立，，则
10.已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，，，则( )
A. B. C. D.
11.已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上位于第一象限内任意一点，记其中均不为，的面积为，则( )
A. 的值随着的增大而减小 B.
C. 为定值 D. 为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.编号为，，，的四位同学，分别就座于编号为，，，的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为 ．
13.已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点若的重心坐标为，则直线的斜率为 ．
14.已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为若，，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，为边上一点，且，，．
若，求的长；
若，求的长．
16.本小题分
如图，在中，平面外的动点在以为直径的半圆上，且满足平面平面．
证明：平面；
若线段上的点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，其中．
当时，求的单调递增区间；
若恒成立，求的取值范围；
试比较与的大小并说明理由．为自然对数的底数，
18.本小题分
已知抛物线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为．
求的值；
若抛物线上存在，两点，使得，求点的横坐标的取值范围；
将抛物线向下平移一个单位长度得到抛物线是抛物线与轴的交点，过点作直线与抛物线交于两点，与轴交于点，其中点均在轴左侧，直线与交于点问在平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
某互联网大数据实验室为研究短视频平台智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：
科研人员选定名平台用户作为研究样本每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下：
第一天冷启动推荐阶段系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播称为激活用户的概率均为，且各用户是否被激活相互独立．
第二天及以后社交扩散推荐阶段每一天，所有已激活用户都会通过协同推荐，对所有未激活用户即名用户中还未被激活的进行二次流量触达任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播．
已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：
求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望
求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率
若取，，，求两天后用户甲是激活用户的概率用含的代数式表示并结合该概率模型，简要说明为什么推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，设，则，
由余弦定理得，即，
整理得，解得或，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
所以的长为或．
由，得，所以，
因为，，所以，设，则，
由余弦定理得，，
即，，
因为，所以，
所以由可得，解得，所以．

16.解：过点作于，由平面平面，
平面平面，平面，则平面，
又平面，故，又为直径，故，
且，、平面，所以平面，
又平面，故，又，，
、平面，故平面；
由知，，
当且仅当时，取得最大值，
过点作于，建立以为原点，为轴，为轴，
过点垂直于平面的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以，
因为平面的法向量为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．

17.解：当时，，
则，
令，解得或，
又定义域为，故函数的单调递增区间是；
，，
当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
，
由恒成立，得恒成立，
则，即，解得，
所以的取值范围是；
，理由如下：
由知，当时，，即，
令，有，
又，
即，故．

18.解：，，，在点处，
切线斜率，切线方程为，即，
设，则有，此切线与轴的交点为，
设，则有，此切线与轴的交点为，
此切线与坐标轴围成的三角形的面积为，．
，，，
设，是不同的三点，，
，
，，
将整理为关于的方程为，
抛物线上存在，两点，使得，
关于的方程有解，
，即，
解得或，故点的横坐标的取值范围为．
抛物线向下平移一个单位长度得到抛物线，
则的方程为，即，
当时，，又在轴左侧，则，
过点的直线，就是过点作直线，
因为直线与抛物线交于两点，则直线存在斜率，
设直线的方程为，
因为直线与轴交于点，且点在轴左侧，所以，
当时，，解得，则，
联立直线与抛物线，即，消去，
得到关于的一元二次方程，即，
设，因为在轴左侧，所以，
则有
，，，
直线的方程为，
，，，
直线的方程为，
联立直线和直线，即
消去，得到，解得，
，，，
将代入，解得，
则，
假设存在定点，又，
，，
，，，
，
，
要使为定值，则中的的系数，即，
此时，
要使为定值，则有
，
由解得，解得，即，
此时，
故在平面内存在一定点，使得为定值，此时点的坐标为．

19.解：设表示第一天结束时被成功激活的用户人数，易知，
则
考虑二项展开：，
，
可得，
为偶数时，，为奇数时，，
设第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率为，
则，所以
甲在第一天被选中记为事件，两天后甲是激活用户记为事件，
则，，
一、甲在第一天被选中，
甲第一天被激活的概率为
第一天未被激活，
则第二天能否被激活取决于另一被选中者的状态，另一人被激活的概率为，此时，
甲被激活的概率为，
因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功激活的概率为：
二、甲在第一天未被选中，
第一天选中的人中有人被成功激活，再由此人成功激活甲，
概率为，
第一天有人被成功激活，甲在第二天被成功激活的概率为：
．，
因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功激活的概率为：
．．，
综上，甲在两天后是激活用户的概率：
．．．
爆发式流量暴涨解释：
激活概率随激活人数指数增长，初期激活人数少，传播慢
当增大到一定规模，迅速趋近于，用户被激活概率急剧接近，
大量用户在短时间内集中被激活，形成爆发式流量暴涨．
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