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浙江名校新高考研究联盟（Z20+名校联盟）2026届高三第三次学情诊断数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知一组实数：，，，，，，若该组数据的第百分位数为，则不可能是( )
A. B. C. D.
5.若随机变量X~N(,4),随机变量Y~B(n,),P(X1)=且E(X)=E(Y),则D(Y)=（）
A. B. C. 2 D. 4
6.在平行六面体中，记三棱锥，，的体积分别为，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.数列满足，且若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两个平面，和两条直线，，满足，，下列命题正确的是( )
A. 若，不垂直，则，不可能垂直 B. 若，垂直，则，可能不垂直
C. 若，不平行，则，不可能平行 D. 若，平行，则，可能不平行
10.将一颗质地均匀的骰子点数为连续抛掷次，记录向上的点数，则( )
A. 三个点数之积大于的概率为
B. 三个点数之和大于的概率为
C. 若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为
D. 若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为
11.在一块木板上绘制平面直角坐标系，在，，，四点处钉上四枚钉子，将长度为的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则( )
A. 轨迹上任意一点到原点距离的最大值为
B. 轨迹上任意一点到原点距离的最小值为
C. 轨迹的面积大于
D. 直线与轨迹最多有个公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二项式，若，则正整数的最小值为 ．
13.设圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当取到最小值时， ．
14.抛物线上的，两点均位于第一象限，点在轴正半轴上，满足且若的面积为，则点坐标为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，满足，．
若，求的面积
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于，两点，且直线，与直线分别交于，两点．
求双曲线的标准方程
设直线，的斜率分别为，，则是否为定值若是，求出该定值若不是，请说明理由．
17.本小题分
正项数列的前项和，且．
证明：数列是等差数列
求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在平行四边形中，，现将沿着翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥线段上有两点，，满足平面平面且平面平面．
当平面平面时，求三棱锥外接球的表面积
在翻折过程中，当点为线段上靠近点的三等分点时，求点到平面的距离
在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面与平面所成角的余弦值若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最值
讨论方程解的个数
若方程存在两个解，，且满足，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.B
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，，故，
得，
即，因此或。
当时，，故，结合得，
则，
由正弦定理，代入、得，
故的面积。
若，若，则，与矛盾，舍去，得，
故，结合、、得，
解得。
令，故，
由，
故，对称轴为，；
当时取得最小值，
当时，，
当时，，
故的取值范围是。
16.解：因为双曲线的一条渐近线为，所以，即双曲线的方程为．
因为双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，所以，即由，解得，
因此双曲线的标准方程为．
由知：双曲线的标准方程为，因此双曲线的右焦点为，左顶点．
因为过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于、两点，所以直线的斜率不存在或斜率为，
因此设直线的方程为，．
由得：，因此，．
因为直线的方程为，所以令得，因此点的坐标为．
同理可得：，
因此．
因为直线的斜率，直线的斜率，所以，因此为定值．
17.证明：因为数列是正项数列，所以．
因为，所以当时，，即，解得；
当时，，
因此，即，所以．
因为数列是正项数列，且，所以当且仅当时，等号成立，
因此由得：，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
解：由知：数列是首项为，公差为的等差数列，因此，即，
所以当时，；
当时，，当时，满足，因此，
所以，
因此数列的前项和．
18.解：当平面平面时，交线为，平面且，由面面垂直性质得平面，平面，故，此时、、两两垂直，且，将三棱锥补形为棱长为的正方体，其外接球直径等于正方体体对角线长，即，得，
外接球表面积；
以点为原点，，的方向为，轴正方向，建立空间直角坐标系，，
设二面角的平面角为，则，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，由，解得
由平面平面，可得，解得
点为线段上靠近点的三等分点，可得，
由，解得，
即二面角的平面角为，此时，，
点到平面的距离
已知，点横坐标为，易得点横坐标为可得．
设，
由得平面的法向量由，解得，
即，，
根据条件，得，解得，
在翻折过程中，存在，此时平面与平面所成角的余弦值为
19.解：当时，，定义域为，因此，
所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
因此函数在处取得最大值，最大值为．
因为，当时，；当时，，所以函数无最小值．
解：因为关于的方程的解等价于：关于的方程的解，显然是关于的方程的一个解，
所以是关于的方程的一个解．
因为当时，关于的方程的解等价于：关于的方程的解，
所以当时，关于的方程的解等价于：关于的方程的解．
令，因此当时，关于的方程的解等价于：直线与函数图象交点的横坐标．
因为，所以函数是偶函数．
．
令，则．
令，则，因此函数在上单调递增，
所以，因此，所以函数在上单调递增，
因此，即，所以函数在上单调递增，
因此由函数是偶函数得：函数在上单调递减．
因为当时，；当时，，
所以当时，直线与函数图象无交点；当时，直线与函数图象有个交点，
因此当，时，方程解的个数为；当，时，方程解的个数为．
解：由题意：方程存在两个解，因此由知：，且．
因为，所以，．
因为由知：，所以．
因为由知：，所以，因此，
所以．
因为，，所以，因此，
所以．
因为由知：，所以，
因此，即．
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