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山东济南市2026届高三5月针对性训练数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知实数，函数的值域为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，为与的交点，且若，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则( )
A.
B. 为奇函数
C. 在上单调递减
D. 的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
10.若，是两条互相垂直的异面直线，，，，是四个不同的点，满足，，，，且，，，则( )
A. 直线与是异面直线 B.
C. 若，则 D. 若为的中点，则
11.若数列，，，，由个和个构成，且对任意，都有，则称该数列为“数列”记“数列”的个数为已知数列，，，，为“数列”，则( )
A.
B. 若，则的最大值为
C. 若，则的最小值为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则的值为 ．
13.已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则的值为 ．
14.已知，分别为椭圆的左、右焦点，上两点，满足，且，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
国内某摩托车企年月月新车月销售量单位：百台的数据如下表：
月份 月 月 月 月 月 月 月
月份代号
月销售量
计算得．
求关于的线性回归方程；
现从这个月的月销售量数据中随机抽取个，记抽取的数据中不低于单位：百台的数据个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
16.本小题分
如图，在三棱台中，平面，，且，．
证明：平面平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，，是公差为的等差数列．
求的通项公式；
令，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
设函数，求的最小值
对任意，都有，求的取值范围
对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求的取值范围．
19.本小题分
已知，，，是平面直角坐标系内的点，且和在抛物线上．记的坐标为，对于任意，都有，且直线与相切．
当时，证明：；
已知函数．
(ⅰ)若，，证明：；
(ⅱ)证明：．
参考公式：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，，根据参考数据可得，
，
所以，故关于的线性回归方程为；
数据中不低于百台的月份：月、月、月、月，共个；
低于百台的有个，随机变量的可能取值为，，，，
；；
；；
故的分布列为：
数学期望为．

16.解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
因为，所以，故平面平面．
当时，则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，
又因为，所以，
因此直线与平面所成角的正弦值为．

17.解：由是公差为的等差数列，且，
所以，所以，
当时，，解得，
当时，由得，所以，
即，所以，
所以数列为常数列，所以，即，
当时，，
所以；
由得
所以
，
令，
所以，
由有：，
所以，
所以．

18.解：由题意得定义域为，，
故，
求导得，
因为在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，
又，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，因此在处取得最小值．
因为，，所以，则．
设，则．
设，则，
由知当时，，单调递增，所以当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以．
设，即在上有且仅有一个零点．
当时，当时，所以至少有一个零点．
由得，，
设．
因为对任意，有且仅有唯一解，所以有唯一解，所以必为单调函数，即恒成立或恒成立．
，
因为当时，，所以恒成立，
所以对任意恒成立．
设，，
由知，当时，，单调递增当时，，单调递减．
所以，所以．
的取值范围是．
19.解：如图：
因为，所以．
当时，因为，在抛物线上，
过点的抛物线的切线方程为；
过点的抛物线的切线方程为．
所以，
所以，
因为，所以，即．
当时，由可知，，所以，，．
所以，．
所以．
令，
则，
则，
因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增．
因为，所以，故，即．
(ⅱ)记与切于点，设，．
由题意知，，．
先证明当时命题成立：
此时即为，即为，
所以抛物线：在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为．
由可知，点的横坐标为，
故其中，
同理有，
所以，
记其中
设，
则．
注意到，
从而，在上单调递增，故，
从而，命题成立．
对于任意的，
注意到，
所以．
由时情况可知，，
所以，
注意到即为，即为，
从而，命题得证．

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