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广东揭阳市惠来县第一中学等校2025-2026学年高三下学期5月学情调研数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设为实数，甲：，乙：，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，其中的长半轴长为，为上一点，点为中点，若的周长为，则的焦距为( )
A. B. C. D.
6.设偶函数满足当时，，则( )
A. B. C. D.
7.模型构建常需要进行正态检验记随机变量服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度，则下列命题为假命题的为( ) 附：若随机变量服从正态分布，则，，．
A. B.
C. 区间具有较好构建度 D. 区间具有较好构建度
8.已知正数，满足，则一定有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最小正周期为，，则( )
A. 的值域为 B. 是偶函数
C. 曲线与相切 D. 曲线关于对称
10.已知定义在上的函数满足，且对于任意实数，均有，，则( )
A. B. 为奇函数
C. 恒成立 D. 在上单调递减
11.已知抛物线的焦点为，准线为若动点在上且横坐标大于，以为圆心，为半径作圆，与交于，两点则( )
A. 的外接圆与有两个交点
B. 的垂心到的距离恒为
C. 的垂心的运动轨迹经平移后可与部分重合
D. 的重心的运动轨迹经平移后可与部分重合
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量在上的投影向量为，，则 ．
13.已知复数，在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为 ．
14.已知袋中有除颜色外完全相同的个红球和个白球．甲、乙、丙三人依次各摸出个球不放回三人只能看见别人手中的球，无法看到自己的球．此时，甲说：“我不知道我手里是什么颜色的球．”乙听到后说：“我也不知道我手里是什么颜色的球．”若甲、乙均绝对理性且不说谎，则在此条件下，甲手中是红球的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角的对边分别为已知，，且为锐角三角形．
求；
求的取值范围．
16.本小题分
记为数列的前项和，已知．
求的通项公式；
记为数列的前项和，证明：．
17.本小题分
进行抽卡游戏，现从标有，，，，的十张数字卡牌中抽取三张不同的数字卡牌，记录它们标记的数字．
求标记数字的和为的倍数的概率
求标记数字的中位数等于平均数的概率．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，其上有一点．
求的方程；
直线与的左，右两支分别交于，两点，点不在上．
(ⅰ)求斜率的取值范围；
(ⅱ)若直线与的斜率之和为，证明：过定点．
19.本小题分
已知矩形中，，点在边上运动不与，重合，将沿翻折到，使得二面角为直二面角在平面内作，垂足为记四棱锥的体积为．
证明：平面
求的最大值及此时点的位置
若存在两个不同的位置，，使得对应的相等，证明：．
参考答案
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14.
15.解：由，代入，
得 ，
即
得，即，
因为是三角形内角，所以，
所以
由，三角形内角和得：，即，
因为为锐角三角形，
三个内角均小于：
由正弦定理，，
得：，
展开，
代入化简得：
因此，则
则，
所以的取值范围为 ．

16.解：，当时，，即，所以，
当时，，
式得，即，
故当时，，
当时，依然成立，
故通项公式为；
，故，
当时，，
当时，，故，
又，故，
所以，
故

17.解：第一种情况：三者除以得到的余数相同，此时共种可能，
第二种情况：三者除以得到的余数两两不同，此时共种可能．
故这组数字的和为的倍数的概率．
不妨设这组数从小到大依次为，，，则，即要求．
当为奇数时，显然应为奇数，此时符合要求，故只需考虑与的情况．
而显然，且当，，，时，可得的取法分别为，，，种，共种可能．
当为偶数时，显然应为偶数，此时符合要求，
而，可得当，，，时，的取法分别为，，，种，共种可能．
故标记数字的中位数等于平均数的概率．
18.解：由题意可知：则，
又有在曲线上，代入方程：，解得
所以的方程：．
(ⅰ)由题意可知直线斜率存在，假设直线：
与曲线方程联立，得
直线与曲线有两个交点
，化简得
，两点分别在双曲线的左、右支，
，，解得
所以直线斜率的取值范围为．
(ⅱ)设



整理得：
将式代入得：
整理得：，即
解得：或
当时，直线：，恒过定点；
当时，直线：，过定点，与题意矛盾
综上：过定点．

19.解：在翻折前的直角中，已知，垂足为．
将沿翻折至的过程中，线段的垂直关系保持不变．
所以在中有．
根据题意，二面角为直二面角，即平面平面．
因为平面平面，
平面，且．
由面面垂直的性质定理可得，平面．
设，其中．
在直角中，，
由勾股定理得．
由等面积法可得．
经翻折后，四棱锥的高即为，
底面的面积为矩形面积减去直角三角形面积．
即．
由此可得四棱锥的体积关于的函数为，
即，其中，
且．
整理得．
因为恒成立，故当时，，单调递增
当时，，单调递减．
所以当时，取得最大值，最大值为．
此时，即点为线段上靠近点的三等分点．
由，不妨令，其中．
由题意得题目等价于
由中单调性可知，不妨设．
注意到，而，
由于的取值范围在时为，
所以．
因为在区间上单调递增，所以必有，故．
因为，所以，
要比较与的大小，
由于时，分子且．
由于，
且恒成立，
只需考察．
展开并化简得，
也即．
因为，所以，从而．
又因为，
且，
所以，则．
所以，进而得到，即
由于，得到
因为且，
而在上单调递减，
所以必有，即．
综上所述，成立．
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