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2026年中考考前预测卷
数学·参考答案
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A C B D C B C D D
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．． 12．2（答案不唯一） 13．且
14．2.6． 15． 2 5 16．①③⑤．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）
【详解】解：解不等式得，， ……………………………………………………3分
解不等式得，， ……………………………………………………6分
∴不等式组的解集为． ……………………………………………………8分
18．（8分）
【详解】（1）解：选择③，理由：
在和中，，
，
故答案为：③； ……………………………………………………5分
选②，理由：
，
在和中，，
；
故答案为：②；
（2）解：，
，
，
． ……………………………………………………8分
19．（8分）
【答案】(1)50，见解析
(2)72，C
(3)598人
【详解】（1）解：抽取的学生的人数是（人），
∴B组人数为（人），
补全频数分布直方图如下：
……………………………………………………3分
（2）解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是；
∵共有50个数据，
∴中位数是第25个和第26个数据的平均数，
∵A，B组的和为，C组人数为21，
∴第25个数，第26个数都落在C组； ……………………………………………………5分
（3）解：（人），
答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人． ……………………………………………………8分
20．（8分）
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵与相切于点C，与的延长线相交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴． ……………………………………………………4分
（2）解：∵的半径为4．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵，且，
∴，
解得，
∴． ……………………………………………………8分
21．（8分）
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；
……………………………………………………4分
（2）解：如图所示：即为所求；
……………………………………………………8分
22．（10分）
【详解】（1）解：设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，
则，解得：，
答：购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； ……………………………………………………3分
（2）解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，
由题意得：，
，
为正整数，
的可能取值为、、、、，
共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； ……………………………………………………7分
（3）解：设小区年遮阴总面积为s平方米，
则，
，
随的增大而增大，
由（2）可知，的最大取值为，此时
购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平米． …………………………10分
23．（10分）
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴． ……………………………………………………3分
（2）如图，作于点H，

同理可证明，
∴，
∴，
设，，
∴，
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得
∴，
∴（舍），
∴，
∴点P到的距离为； ……………………………………………………6分
（3）如图，作交于点H，连接，

∵，
∴，，
同理可证明，
∴，
∴，
设，，
∴，
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得
∴，
∴（舍），．
∴，
∵平行，
∴，，
∴，即
∴． ……………………………………………………10分
24．（12分）
【答案】(1)；对称轴为直线
(2)点的横坐标为或；
(3)或或
【详解】（1）解：过点作直线交轴于点，
∴当时，，
解得，，
当时，，
∴，
抛物线的对称轴为直线；…………………………………………3分
（2）解：当时，抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴直线为，
∴，则，
∵，，
∴，，，
当时，，
解得，，
∴，
∴，且，
∴，则，
联立方程组得，
解得，，
抛物线与直线的交点为，
∵点是直线下方抛物线上一点，
∴设点的横坐标为，
如图所示，过点作交延长线点，过点作轴于点，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得，，
∵点的横坐标为，
∴点的横坐标为或； …………………………………………8分
（3）解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵直线过点，且交轴于点，抛物线过原点且与轴负半轴交于点，
∴，
∴直线与直线交于点，抛物线顶点坐标为，
点；
当时，，点在点的右侧，且在轴的上方，
当时，，
当时，
∵抛物线与线段有公共点，
∴①或②，
解①得：，解②得：或，
∴或；
当时，，点在点的左侧，且在轴的下方，
∵抛物线与线段有公共点，
∴③，或④，
解③得：，解④得：或，
∴；
综上所述，或或． …………………………………………12分2026年中考考前预测卷
九年级 数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．丙午马年春节，中国科技再次震惊全球，下列科技公司logo是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的定义判断各选项即可．
【详解】解：选项A：是轴对称图形；
选项B：不是轴对称图形；
选项C：不是轴对称图形；
选项D：不是轴对称图形．
2．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数，下列说法正确的是（ ）
A．出现点数为2的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为奇数是不可能事件
D．出现点数为偶数是必然事件
【答案】A
【分析】根据等可能事件的概率计算方法，结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐一判断选项即可．
【详解】解：∵掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数共有6种等可能的结果，
∴对于A选项，出现点数为2的结果只有1种，因此概率为，A正确；
对于B选项，骰子的点数为1到6，不可能出现点数0，因此出现点数为0是不可能事件，B错误；
对于C选项，点数1,3,5都是奇数，可能发生，因此出现点数为奇数是随机事件，C错误；
对于D选项，向上一面的点数也可能是奇数，因此出现点数为偶数是随机事件，D错误．
3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：该几何体的主视图为：
．
4．2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将23.6万亿转化为数字形式，再根据规则确定和的值即可．
【详解】解：23.6万亿．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂乘除、合并同类项、积的乘方的运算法则，逐一判断选项即可．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、与次数不同，不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项符合题意．
6．如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过作，根据得到，即可得到，，即可得到答案
【详解】解：过作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
7．为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了“非遗进校园”活动，展示了三种非物质文化遗产：京剧脸谱、剪纸、皮影戏．现将正面分别印有这三种非物质文化遗产图案的三张卡片（除正面图案不同外其他完全相同）背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可．
【详解】解：：京剧脸谱，：剪纸， ：皮影戏，
列表如下：
共有种等可能结果，两次抽取的卡片正面图案相同的结果有种，
两次抽取的卡片正面图案相同的概率为．
8．已知小明和小红进行千米跑步练习，两人沿着同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程（米）与跑步时间（分钟）的函数图象如图所示，则小明完成练习比小红早（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
【答案】C
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，解题的关键是正确理解图象信息．
根据函数图象，求出两人的速度，进一步计算，求解即可．
【详解】解：由函数图象得，
小红跑步的速度为（米/分钟），
小明跑步的速度为（米/分钟），
则小明比小红早（分钟）
故选：．
9．如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解.
【详解】解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD，
∵C为的三等分点，
∴的度数为60°，
∴∠AOC=60°,
∵OA=OC,
∴△AOC为等边三角形，
∵Q为OA的中点，
∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,
∴OQ= ,
由勾股定理可得，CQ= ,
∵D为AP的中点,
∴OD⊥AP，
∵Q为OA的中点，
∴DQ= ,
∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为 .
故选D

【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键.
10．有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，正确理解题意和熟练进行整式的运算是解题的关键．根据题意依次进行作差，重复操作可知6个一循环，然后再依次判断即可．
【详解】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
．
以此类推，6个一循环，
∴当时，，故①错误；
当时，则，
∴或，
∴或0，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，，，
∴，
，
∴和不一定相等，故③错误，
综上所述，正确的说法有1个，
故选：D．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．为响应“体重管理年”有关倡议，小明对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作________．
【答案】
【分析】正数与负数表示具有相反意义的量，体重增加记为正，则体重减少记为负．
【详解】将体重增加记作，
那么体重减少应记作．
12．已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数解析式确定函数图象位置与增减性，计算得到的值，再结合确定的取值范围，写出范围内任意一个值即可．
【详解】解：由反比例函数，可得，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
将代入，得，
当时，点在第三象限，此时，满足，
当时，点在第一象限，由结合反比例函数增减性可得，
∴满足或即可，
∴取符合条件的值．
13．若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】本题考查了根据分式方程的情况求参数．
解分式方程得到，根据解为非负数且分母不为零的条件，列出不等式求解的取值范围即可．
【详解】解：解方程，
两边同乘，得，
∴，
∴，
∴．
由于原方程中分母，
∴，
∴，
解得．
又∵解为非负数，
∴，
∴，
解得．
因此，的取值范围是且．
故答案为：且．
14．数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角∠AFG＝45°，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在一条直线上，则车辆限高杆AB的高度为　 米．（结果保留根号）
【答案】2.6．
【分析】延长EF，交AB于点H，设HF＝x米，在Rt△AHF中，可得AH＝HF＝x米，在Rt△AHE中，tan30°，求出x的值，进而可得出答案．
【详解】解：延长EF，交AB于点H，
由题意得，HB＝DF＝CE＝1.6米，CD＝FE＝2米，
设HF＝x米，
则EH＝HF+FE＝（x+2）米，
在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，
∴AH＝HF＝x米，
在Rt△AHE中，tan30°，
解得x1，
∴AB＝AH+BH1+1.6＝2.6（米）．
故答案为：2.6．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
15．如图，在中，，，点在外，连接，过点作，交于点，连接，若，则线段的长等于______，的面积为______．
【答案】 2 5
【分析】（1）直接根据勾股定理求解即可；
（2）根据证明得，可得A，C，B，E四点共圆，从而，然后求出，再根据勾股定理求出即可求解．
【详解】解：（1），
∴．
∵，
∴；
（2）
∵
∴
∴
∴A，C，B，E四点共圆，
∴．
是等腰直角三角形
∴
故答案为：2，5．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
16．已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根；
②当时，的值随值的增大而增大；③；
④；⑤对于任意实数，总有．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③⑤
【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为，
又抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即，
① 关于的方程可变形为，
抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标，
，直线与抛物线有两个不同的交点，
方程有两个不相等的实数根，故①正确；
②抛物线开口向下，对称轴为，
当时，的值随值的增大而减小，故②错误；
③ 设抛物线的交点式为，展开得，
当时，，即，
，
，
不等式三边同除以，不等号方向改变，得，故③正确；
④ 是时的函数值，
，抛物线开口向下，且和处函数值为，
当时，，
时，，故④错误；
⑤ 由对称轴公式，可得，
将代入式子左边：
，，
，即对任意实数，总有，故⑤正确；
综上，正确结论的序号是①③⑤，
故答案为：①③⑤．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解不等式组：
【答案】
【详解】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
18．（8分）如图，在和中，已知，以及可以选择的条件①；②；③．

(1)选择________条件（选一个，填序号）使得，并给出证明；
(2)若边与交于点，，．求的长．
【答案】(1)③，见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）选择③（答案不唯一），由证得即可；选②，由证得即可；
（2）由，得出，则，即可得出答案．
【详解】（1）解：选择③，理由：
在和中，，
，
故答案为：③；
选②，理由：
，
在和中，，
；
故答案为：②；
（2）解：，
，
，
．
19．（8分）为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）；
(3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数．
【答案】(1)50，见解析
(2)72，C
(3)598人
【分析】（1）用C组人数除以占比求出抽取的学生的人数，然后求出B组人数，然后补全频数分布直方图即可；
（2）用乘以A组占比即可求出圆心角；根据中位数的定义求解；
（3）利用样本估计总体求解．
【详解】（1）解：抽取的学生的人数是（人），
∴B组人数为（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）解：扇形统计图中A段学生所对的圆心角是；
∵共有50个数据，
∴中位数是第25个和第26个数据的平均数，
∵A，B组的和为，C组人数为21，
∴第25个数，第26个数都落在C组；
（3）解：（人），
答：估计该校测试成绩“优秀”的学生人数为598人．
20．（8分）如图，为半圆O的直径，点P在的延长线上，过点P作半圆O的切线，与半圆相切于点C，过点O作的垂线与的延长线相交于点D，与半圆O相交于点F，连接，与相交于点E．
(1)求证：；
(2)若半圆O的半径长为4，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接，则，由等边对等角可得，由切线的性质可得，，利用垂直得出，再由等量代换确定，结合等角对等边即可证明；
（2）根据正切函数得出，确定，，再由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵与相切于点C，与的延长线相交于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
（2）解：∵的半径为4．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵，且，
∴，
解得，
∴．
21．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：

(1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分；
(2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．
（1）根据题意，结合全等三角形的性质和平行四边形的性质，即可解答；
（2）根据全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：即为所求；
22．（10分）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元．
(1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？
(2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元；
(2)共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；
(3)购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米．
【分析】（1）设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到的可能取值，即可得解；
（3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可得解．
【详解】（1）解：设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，
则，解得：，
答：购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元；
（2）解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，
由题意得：，
，
为正整数，
的可能取值为、、、、，
共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；
（3）解：设小区年遮阴总面积为s平方米，
则，
，
随的增大而增大，
由（2）可知，的最大取值为，此时
购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米．
23．（10分）如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q．

【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：；
【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离；
【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明是解题的关键．
（1）先证明，再由，即可证明．
（2）如图，作于点H，同理可证明，则可推出，设，，则，由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案；
（3）如图，作交于点H，连接，先求出，，同理可证明，得到，设，，则，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，解方程求出，再证明，即，可得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）如图，作于点H，

同理可证明，
∴，
∴，
设，，
∴，
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得
∴，
∴（舍），
∴，
∴点P到的距离为；
（3）如图，作交于点H，连接，

∵，
∴，，
同理可证明，
∴，
∴，
设，，
∴，
由折叠的性质可得，
在中，由勾股定理得
∴，
∴（舍），．
∴，
∵平行，
∴，，
∴，即
∴．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点且与轴负半轴交于点，过点作直线交轴于点．
(1)求点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)如图，当时，点是直线下方抛物线上一点，抛物线的对称轴交轴于点，连接，，若，求点的横坐标；
(3)已知点，若抛物线与线段有公共点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)；对称轴为直线
(2)点的横坐标为或；
(3)或或
【分析】本题考查了二次函数的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键；
（1）根据直线与坐标轴的交点得到，由对称轴直线的计算公式即可得到对称轴直线；
（2）根据题意得到抛物线解析式为，则，，，，则，抛物线与直线的交点为，如图所示，过点作交延长线点，过点作轴于点，由正切值的计算得到，直线的解析式为，与抛物线联立方程组求即可；
（3）分和两种情况分析，根据时的函数值和的纵坐标，比较即可求解．
【详解】（1）解：过点作直线交轴于点，
∴当时，，
解得，，
当时，，
∴，
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴直线为，
∴，则，
∵，，
∴，，，
当时，，
解得，，
∴，
∴，且，
∴，则，
联立方程组得，
解得，，
抛物线与直线的交点为，
∵点是直线下方抛物线上一点，
∴设点的横坐标为，
如图所示，过点作交延长线点，过点作轴于点，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立方程组得，
解得，，
∵点的横坐标为，
∴点的横坐标为或；
（3）解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵直线过点，且交轴于点，抛物线过原点且与轴负半轴交于点，
∴，
∴直线与直线交于点，抛物线顶点坐标为，
点；
当时，，点在点的右侧，且在轴的上方，
当时，，
当时，
∵抛物线与线段有公共点，
∴①或②，
解①得：，解②得：或，
∴或；
当时，，点在点的左侧，且在轴的下方，
∵抛物线与线段有公共点，
∴③，或④，
解③得：，解④得：或，
∴；
综上所述，或或．2026年中考考前预测卷
九年级 数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．丙午马年春节，中国科技再次震惊全球，下列科技公司logo是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数，下列说法正确的是（ ）
A．出现点数为2的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为奇数是不可能事件
D．出现点数为偶数是必然事件
3．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．2025年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到23.6万亿美元．用科学记数法表示23.6万亿是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了“非遗进校园”活动，展示了三种非物质文化遗产：京剧脸谱、剪纸、皮影戏．现将正面分别印有这三种非物质文化遗产图案的三张卡片（除正面图案不同外其他完全相同）背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知小明和小红进行千米跑步练习，两人沿着同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程（米）与跑步时间（分钟）的函数图象如图所示，则小明完成练习比小红早（ ）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
9．如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）

A．2 B． C． D．
10．有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．为响应“体重管理年”有关倡议，小明对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作________．
12．已知点在反比例函数的图象上，若，写出一个满足条件的的值____．
13．若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________．
14．数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角∠AFG＝45°，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在一条直线上，则车辆限高杆AB的高度为　 米．（结果保留根号）
15．如图，在中，，，点在外，连接，过点作，交于点，连接，若，则线段的长等于______，的面积为______．
16．已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论：
①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根；
②当时，的值随值的增大而增大；③；
④；⑤对于任意实数，总有．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解不等式组：
18．（8分）如图，在和中，已知，以及可以选择的条件①；②；③．

(1)选择________条件（选一个，填序号）使得，并给出证明；
(2)若边与交于点，，．求的长．
19．（8分）为进一步宣传垃圾分类知识，某校组织全校学生进行“垃圾分类知识测试”（满分100分）．现随机抽取部分学生的测试成绩x（单位：分）整理成A：，B：，C：，D：四个分数段，绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)抽取的学生的人数是________人，请补全频数分布直方图；
(2)扇形统计图中A段学生所对的圆心角是________，抽取的学生的测试成绩的中位数在A，B，C，D中________段（填字母）；
(3)若测试成绩在80分以上（含80分）定为“优秀”，该校有1150名学生，请你估计该校测试成绩“优秀”的学生人数．
20．（8分）如图，为半圆O的直径，点P在的延长线上，过点P作半圆O的切线，与半圆相切于点C，过点O作的垂线与的延长线相交于点D，与半圆O相交于点F，连接，与相交于点E．
(1)求证：；
(2)若半圆O的半径长为4，，求的长．
21．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示，按步骤完成下列作图：

(1)在左图中：将线段绕点A逆时针旋转，作出对应线段；过点E作一条直线把分成面积相等的两部分；
(2)在右图中：作格点P，使得，垂足为M；过点M作线段，使得，且．
22．（10分）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元．
(1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？
(2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？
23．（10分）如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q．

【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：；
【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离；
【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点且与轴负半轴交于点，过点作直线交轴于点．
(1)求点的坐标及抛物线的对称轴；
(2)如图，当时，点是直线下方抛物线上一点，抛物线的对称轴交轴于点，连接，，若，求点的横坐标；
(3)已知点，若抛物线与线段有公共点，直接写出的取值范围．

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