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2026年中考考前预测卷
数学·参考答案
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C D B A C A D D B
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11． 12．
13． 14． 15．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题10分）
【详解】（1）解：原式
……………………4分
；……………………5分
（2）解：原式
……………………8分
当时，原式．……………………10分
17．（本题7分）
【详解】解：设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元，……………………1分
根据题意，得， ……………………4分
解得，……………………5分
经检验，是原方程的根．……………………6分
此时，
答：青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元．……………………7分
18．（本题8分）
【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人），
则偏胖人数为：（人），
补全条形统计图如下：
……………………2分
扇形统计图中肥胖程度所在圆心角的度数．……………………3分
（2）解：小张实际体重为：，……………………4分
小张正常体重的最大值为：，……………………5分
则他的体重至少需要减掉：．……………………6分
（3）解：令2名正常程度的学生为A、B，2名偏胖程度的学生为C、D，
列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
……………………7分
根据表格可知，共有12种情况，其中正好抽取两名正常程度学生有2种情况，
故正好抽取两名正常程度学生的概率．……………………8分
19．（本题7分）
【详解】（1）解：过点作轴于点，如图，
，
，
菱形中，，
，
，
，
，……………………2分
，
，
，……………………3分
∵点在反比例函数的图象上．
，
∴反比例函数的表达式为；……………………4分
（2）解：∵菱形，
，
又 ∵，
，即，……………………5分
设菱形向右平移个单位长度，此时，
∵E在反比例函数的图象上．
∴，
解得．……………………6分
∵，
∴平移后的坐标为．……………………7分
20．（本题8分）
【详解】解：如答图，连接交于点，过点作于点，过点作于点．
……………………1分
由题意可知四边形和四边形是矩形．
．……………………2分
由轴对称的性质可得．……………………4分
，
．
．
，
，
．
在Rt中，，
．……………………5分
在中，，
．……………………6分
，
．
解得．
．
当点运动到点处时，
即三点共线时，取得最小值，
即．
答：连杆的最小值是．……………………8分
21．（本题9分）
【详解】（1）解：∵
∴
∵点是的“和谐点”，
∴
∴……………………3分
（2）补全问题2的解答过程：
∵，，
……………………5分
……………………6分
∴……………………7分
（3）解：等腰直角中，底边的中点是的“和谐点”． ……………………9分
如图所示，等腰直角中，点是底边的中点
∴，
∴
∴等腰直角中，底边的中点是的“和谐点”．
22．（本题13分）
【详解】（1）解：观察表格数据，滑行时间 每增加1，滑行速度随之增加4，
∴是 的一次函数，……………………1分
设，
代入和得：，……………………2分
解得，验证其余点均满足，
∴函数表达式为 ．……………………3分
（2）解：由图1可知，二次函数过原点，且经过点、，
设，……………………4分
代入得：，……………………5分
解得，
即． ……………………6分
当时，．
答：滑行时间为时，滑行距离为．……………………7分
（3）解：该运动员能顺利完成，
理由如下： 根据题意知，
令，代入 得： ，
整理得，
解得：或（舍去）． ……………………9分
将代入得，点速度．……………………10分
将代入得： ， ……………………11分
这是开口向下的二次函数，最大高度为顶点纵坐标： ．……………………12分
∵，
∴该运动员能顺利完成此次技巧展示．……………………13分
23．（本题13分）
【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下，
，，点是的中点，
，，……………………1分
根据旋转可知，
，，……………………2分
四边形为平行四边形，……………………3分
，
四边形为正方形．……………………4分
（2）解：关系为，理由如下，
如图，连接，……………………5分
根据旋转可知，
，
，
，
又，
，……………………6分
，
，
，
，
，
，
又，
点F为的中点，
是的中位线，……………………7分
，
．……………………8分
（3）解：当点F在右侧时，如图，连接，作，
根据旋转可知，
，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点F在左侧时，如图，连接，作，
根据旋转可知，
，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的长度为或．……………………13分2026年中考考前预测卷
九年级 数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“***D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，有4位同学的验光记录如下，需要持续配戴眼镜的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将各选项的记录转换为实际度数后，筛选出度数超过200度的选项即可.
【详解】解：∵根据题意，验光记录中D前数字的绝对值乘100就是实际近视度数，且近视超过200度需要持续佩戴眼镜，
∴A、对应近视度数为度，，不需要佩戴，
B、对应近视度数为度，，不需要佩戴，
C、对应近视度数为度，，不需要佩戴，
D、对应近视度数为度，，需要佩戴．
2．（本题3分）氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A.该选项不是轴对称图形；
B. 该选项不是轴对称图形；
C. 该选项是轴对称图形；
D. 该选项不是轴对称图形．
3．（本题3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用幂的乘方、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的除法、单项式乘法法则逐项判断即可解答．
【详解】解：A．，即选项A错误，不符合题意；
B．，即选项B错误，不符合题意；
C． ，即选项C错误，不符合题意；
D． ，即选项D正确，符合题意．
4．（本题3分）为保障粮食安全，我国力争将粮食产量稳定在1.4万亿斤左右，彰显端牢中国饭碗、守护天下粮安的大国担当和坚定决心．数据1.4万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将1.4万亿换算为标准形式，再根据科学记数法的定义确定结果，科学记数法的表示形式为，要求，为整数．
【详解】解：∵1万亿 ，
∴1.4万亿 ，因此答案选B．
5．（本题3分）在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：），记录数据如下：小明：；小亮：，关于小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（ ）
A．小明的测量数据波动更大 B．小亮的测量数据波动更大
C．两人的测量数据波动一样 D．无法确定
【答案】A
【分析】数据的波动程度由方差判断，方差越大，数据波动越大，据此计算两组数据的方差，再比较大小即可得到结论．
【详解】解：∵ 小明测量数据为 ，
∴ 小明数据的平均数 ，
小明数据的方差 ，
∵ 小亮测量数据为 ，
∴ 小亮数据的平均数 ，
小亮数据的方差 ，
∵ ，
∴ 小明的测量数据波动更大．
6．（本题3分）如图1是某小区安装的上肢牵引器，图2是小林绘制的该牵引器在使用过程中某个瞬间的示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，已知，和始终垂直于地面，若与水平地面平行，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点B作，推导出，得到求出，，则，即可解答．
【详解】解：过点B作，如图
∴，
∵和始终垂直于地面，与水平地面平行，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
7．（本题3分）如图，是的中位线，是的中点连接并延长，与边交于点，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形中位线的性质得到，，再由点M是的中点，得到，由得到，根据相似三角形的对应线段成比例即可求解．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，
∴点M是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．（本题3分）如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据正六边形的性质可得，，再根据所对的直角边为斜边的一半，可得，再根据勾股定理可得，进而可得，利用待定系数法即可求解．
【详解】解：连接，
∵正六边形的边长为，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
将代入中，即，
解得：．
9．（本题3分）如图，在正方形网格里，点O，B，D在格点上，四边形是的内接四边形，观察图形，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先连接，根据勾股定理及其逆定理说明是直角三角形，可得，再根据圆周角定理得出，然后根据圆内接四边形的对角互补得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
根据勾股定理，得，
则，
∴是直角三角形，
则，
∴．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴．
10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，证明，得出相等的线段，然后利用线段中点的性质以及线段的数量关系进行求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
第二部分（非选择题 共90分）
填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（本题3分）因式分解______．
【答案】
【分析】先提取公因式.再利用平方差公式分解即可.
【详解】解： .
12．（本题3分）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程_______．
【答案】
【分析】此题考查了列一元二次方程解决实际问题．设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，据此列出方程即可．
【详解】∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，
∴第1小时有人购买，第2小时有人购买，
可得：．
故答案为：．
13．（本题3分）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，若，则琴弦的长为_______．
【答案】
【分析】直接利用题目给出的比例关系，将已知的琴弦总长度代入计算，即可求出的长度．
【详解】解：∵，，
∴．
14．（本题3分）《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为________°．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、对称的性质、等腰三角形的性质，根据点与点关于直线对称，是的垂直平分线，可知，根据和为两个全等的等腰直角三角形，可知四边形是正方形，根据正方形的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据对称的性质可求．
【详解】解：如下图所示，连接，
点与点关于直线对称，
是的垂直平分线，
，
又和为两个全等的等腰直角三角形，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
15．（本题3分）在中，，是边的中线，的平分线交于点E，交于点F，若，，则的长为________．
【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得出相等的线段，利用面积法求出，，借助相似三角形得出，最后利用勾股定理求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∵，，，
∴由勾股定理得，
∵是边的中线，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
由勾股定理得，，
，
∴．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题10分）计算
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中．
【答案】(1)7
(2)，
【分析】（1）根据零指数幂，负指数幂进行计算即可；
（2）根据分式的加减与乘法运算法则进行化简，再代数求值即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
当时，原式．
17．（本题7分）现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价．
【答案】青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元．
【分析】设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元，根据数量差列方程并 解方程即可．
【详解】解：设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根．
此时，
答：青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元．
18．（本题8分）近年来，根据最新公开资料，初中学生肥胖占比在全国范围内呈现上升趋势，具体数据因地区和统计口径略有差异，中小学生总体超重肥胖率为，其中初中阶段是高发学段之一；
国际上常用身体质量指数（．缩写）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（体重单位：，身高单位：m）例如：某人身高，体重，则他的．中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．
某校为了解初中生的健康情况，随机抽取了一部分学生的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
(1)补全条形统计图，在扇形统计图中肥胖程度所在圆心角的度数为______；
(2)基于上述统计结果，学校提议加强体育锻炼，制定健身计划，九年级学生小张身高，值为27，他想通过健身减重使自己的值达到正常，请你通过计算说明他的体重至少需要减掉多少？（结果精确到）
(3)学校从中抽取了2名正常程度和2名偏胖程度共4名学生，计划在4名学生中随机抽取两名学生进行综合体能检测，请你通过计算判断正好抽取两名正常程度学生的概率．
【答案】(1)补全条形统计图见详解，
(2)
(3)
【分析】（1）根据正常类别的人数和占比求出抽取的学生人数，即可求得偏胖人数，即可补全条形统计图；
（2）分别计算出小张的实际体重值与正常体重的最大值，两者的差即是至少需要减掉的体重；
（3）根据列表法解答即可．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人），
则偏胖人数为：（人），
补全条形统计图如下：

扇形统计图中肥胖程度所在圆心角的度数．
（2）解：小张实际体重为：，
小张正常体重的最大值为：，
则他的体重至少需要减掉：．
（3）解：令2名正常程度的学生为A、B，2名偏胖程度的学生为C、D，
列表如下：
A B C D
A A，B A，C A，D
B B，A B，C B，D
C C，A C，B C，D
D D，A D，B D，C
根据表格可知，共有12种情况，其中正好抽取两名正常程度学生有2种情况，
故正好抽取两名正常程度学生的概率．
19．（本题7分）如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)菱形的对角线与相交于点E，将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，求平移后点C的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作轴于点，如图，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点代入即可得到结论；
（2）设菱形向右平移个单位长度，此时，由在反比例函数的图象上．得到，求出m，再根据平移的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：过点作轴于点，如图，
，
，
菱形中，，
，
，
，
，
，
，
，
∵点在反比例函数的图象上．
，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵菱形，
，
又 ∵，
，即，
设菱形向右平移个单位长度，此时，
∵E在反比例函数的图象上．
∴，
解得．
∵，
∴平移后的坐标为．
20．（本题8分）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，求连杆的最小值．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，以及轴对称的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
连接交于点，过点作于点，过点作于点．由轴对称的性质可得，求出，在Rt中，求出，在中，求出，根据求出，然后根据三点共线时，取得最小值即可求解．
【详解】解：如答图，连接交于点，过点作于点，过点作于点．
由题意可知四边形和四边形是矩形．
．
由轴对称的性质可得．
，
．
．
，
，
．
在Rt中，，
．
在中，，
．
，
．
解得．
．
当点运动到点处时，
即三点共线时，取得最小值，
即．
答：连杆的最小值是．
21．（本题9分）阅读与思考
阅读下列材料，然后完成相应的任务．
三角形的“和谐点” 【概念理解】如图1，在中，点在边上，连接，若点满足等式，则称点为的“和谐点”． 【问题1】如图1，在中，为上的一点，连接，若点是的“和谐点”，则的长为___________． 【问题2】如图2，在中，是边上的一点，若点为的“和谐点”，求的长． 下面是部分解答过程： 解：， ． 设，则． 点为的“和谐点”， ， ．．．．．．
任务：
(1)问题1中的的长为_________．
(2)补全问题2的解答过程．
(3)在等腰直角中，底边的中点_________（填“是”或“不是”）的“和谐点”．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)是
【分析】（1）根据的“和谐点”的定义可得，代入数据，即可求解；
（2）根据题意得出，，列出方程，即可求解；
（3）根据等腰直角三角形的性质，证明，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
∵点是的“和谐点”，
∴
∴
（2）补全问题2的解答过程：
∵，，
∴
（3）解：等腰直角中，底边的中点是的“和谐点”．
如图所示，等腰直角中，点是底边的中点
∴，
∴
∴等腰直角中，底边的中点是的“和谐点”．
22．（本题13分）综合与实践
问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间具有一定关系．“综合实践”小组利用高速移动相机，对某滑雪运动员在某次训练中从山坡滑下时的滑行速度，滑行距离，滑行时间进行了拍摄记录，整理得到如下图表．
信息整理：
①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表．
滑行时间（单位：s） 0 1 2 3 4 …
滑行速度（单位：） 2 6 10 14 18 …
②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图1所示坐标系中的图象刻画．
解决问题：
(1)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为______．
(2)观察图1可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系，当该运动员在山坡的滑行时间为时，求出他的滑行距离．
(3)如图2，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于10米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度与在空中的飞行时间之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由．
【答案】(1)；
(2)滑行距离为
(3)能顺利完成
【分析】（1）观察表格数据，滑行时间 每增加1，滑行速度随之增加4，得出是 的一次函数，设，根据待定系数法求解即可．
（2）由图1可知，二次函数过原点，且经过点、，故设，运用待定系数法求出，再代入，求解即可．
（3）根据题意知，将，代入 求出，将代入求得点速度，再将代入得出， 根据二次函数的性质即可求出最大高度 ，与比较即可．
【详解】（1）解：观察表格数据，滑行时间 每增加1，滑行速度随之增加4，
∴是 的一次函数，
设，
代入和得：，
解得，验证其余点均满足，
∴函数表达式为 ．
（2）解：由图1可知，二次函数过原点，且经过点、，
设，
代入得：，
解得，
即．
当时，．
答：滑行时间为时，滑行距离为．
（3）解：该运动员能顺利完成，
理由如下： 根据题意知，
令，代入 得： ，
整理得，
解得：或（舍去）．
将代入得，点速度．
将代入得： ，
这是开口向下的二次函数，最大高度为顶点纵坐标： ．
∵，
∴该运动员能顺利完成此次技巧展示．
23．（本题13分）综合与探究
问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
观察发现：
(1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
独立思考：
(2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
(3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长．
【答案】(1)正方形，见解析
(2)，见解析
(3)或
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，得，，根据旋转得，证得四边形为平行四边形，再根据一组临边相等且一个内角为，即可求证．
（2）连接，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证，得到，再根据三角形的中位线，即可求解．
（3）根据题意，可分为点F在左侧和右侧两种情况，连接，作，可知和为等腰直角三角形，根据手拉手的全等三角形模型，可证，得到，根据和利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可证为等边三角形，根据角度变换得到，解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下，
，，点是的中点，
，，
根据旋转可知，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为正方形．
（2）解：关系为，理由如下，
如图，连接，
根据旋转可知，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
又，
点F为的中点，
是的中位线，
，
．
（3）解：当点F在右侧时，如图，连接，作，
根据旋转可知，
，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点F在左侧时，如图，连接，作，
根据旋转可知，
，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的长度为或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的中位线，直角三角形斜边上点的中线，掌握手拉手的全等三角形模型是解题的关键．2026年中考考前预测卷
九年级 数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常会以“***D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”，等等．通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，有4位同学的验光记录如下，需要持续配戴眼镜的是（ ）
A． B． C． D．
2．氢能具有清洁无污染、高效可再生的优势，既能助力减碳降排、推动绿色低碳，也有助于达成“碳中和”目标．下列与氢能有关的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．为保障粮食安全，我国力争将粮食产量稳定在1.4万亿斤左右，彰显端牢中国饭碗、守护天下粮安的大国担当和坚定决心．数据1.4万亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．在“探究重力与质量的关系”的实验中，小明和小亮使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：），记录数据如下：小明：；小亮：，关于小明和小亮测量数据的波动程度，下列说法正确的是（ ）
A．小明的测量数据波动更大 B．小亮的测量数据波动更大
C．两人的测量数据波动一样 D．无法确定
6．如图1是某小区安装的上肢牵引器，图2是小林绘制的该牵引器在使用过程中某个瞬间的示意图，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，已知，和始终垂直于地面，若与水平地面平行，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的中位线，是的中点连接并延长，与边交于点，则的值为（）
A． B． C． D．
8．如图，已知正六边形的边长为，一边在轴上，点在轴上，反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形网格里，点O，B，D在格点上，四边形是的内接四边形，观察图形，的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共90分）
填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．因式分解______．
12．某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到4360，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，则可列方程_______．
13．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，若，则琴弦的长为_______．
14．《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为________°．
15．在中，，是边的中线，的平分线交于点E，交于点F，若，，则的长为________．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题10分）计算
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中．
17．（本题7分）现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价．
18．（本题8分）近年来，根据最新公开资料，初中学生肥胖占比在全国范围内呈现上升趋势，具体数据因地区和统计口径略有差异，中小学生总体超重肥胖率为，其中初中阶段是高发学段之一；
国际上常用身体质量指数（．缩写）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（体重单位：，身高单位：m）例如：某人身高，体重，则他的．中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．
某校为了解初中生的健康情况，随机抽取了一部分学生的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
(1)补全条形统计图，在扇形统计图中肥胖程度所在圆心角的度数为______；
(2)基于上述统计结果，学校提议加强体育锻炼，制定健身计划，九年级学生小张身高，值为27，他想通过健身减重使自己的值达到正常，请你通过计算说明他的体重至少需要减掉多少？（结果精确到）
(3)学校从中抽取了2名正常程度和2名偏胖程度共4名学生，计划在4名学生中随机抽取两名学生进行综合体能检测，请你通过计算判断正好抽取两名正常程度学生的概率．
19．（本题7分）如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)菱形的对角线与相交于点E，将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，求平移后点C的坐标．
20．（本题8分）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，求连杆的最小值．（结果精确到．参考数据：，，，）
21．（本题9分）阅读与思考
阅读下列材料，然后完成相应的任务．
三角形的“和谐点” 【概念理解】如图1，在中，点在边上，连接，若点满足等式，则称点为的“和谐点”． 【问题1】如图1，在中，为上的一点，连接，若点是的“和谐点”，则的长为___________． 【问题2】如图2，在中，是边上的一点，若点为的“和谐点”，求的长． 下面是部分解答过程： 解：， ． 设，则． 点为的“和谐点”， ， ．．．．．．
任务：
(1)问题1中的的长为_________．
(2)补全问题2的解答过程．
(3)在等腰直角中，底边的中点_________（填“是”或“不是”）的“和谐点”．
22．（本题13分）综合与实践
问题情境：滑雪者从山坡滑下时，其滑行速度（单位：），滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间具有一定关系．“综合实践”小组利用高速移动相机，对某滑雪运动员在某次训练中从山坡滑下时的滑行速度，滑行距离，滑行时间进行了拍摄记录，整理得到如下图表．
信息整理：
①在山坡的滑行速度与滑行时间的部分数据如下表．
滑行时间（单位：s） 0 1 2 3 4 …
滑行速度（单位：） 2 6 10 14 18 …
②在山坡的滑行距离与滑行时间之间的关系用图1所示坐标系中的图象刻画．
解决问题：
(1)根据表中数据可知，在山坡的滑行速度是滑行时间的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），其函数表达式为______．
(2)观察图1可知，在山坡的滑行距离与滑行时间满足二次函数关系，当该运动员在山坡的滑行时间为时，求出他的滑行距离．
(3)如图2，在此次训练中，该运动员从山坡的点处滑下，滑行到坡脚点处时沿跳台做身体姿势调整，并在点处完成起跳，然后在空中作转体、旋转技巧展示．根据要求，若要顺利完成此次技巧展示，运动员距离地面的最大高度不得低于10米（不考虑其他因素）．已知，运动员从到的过程中速度保持不变，从点起跳后距离地面的垂直高度与在空中的飞行时间之间的函数关系表达式是（其中为运动员在点时的速度）．请你判断该运动员能否顺利完成此次技巧展示？并说明理由．
23．（本题13分）综合与探究
问题情境：在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
观察发现：
(1)如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
独立思考：
(2)如图2，当点在线段上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
(3)连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长．

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