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2026年中考考前预测卷
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
2．中国传统纹样指的是由历代沿传下来的具有独特民族艺术风格的图案，下列纹样的示意图，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
4．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
6．下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ）．
A. B.
C. D.
7．如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
9．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（　　）
B． C．D．
11．为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
12．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：
①与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．若式子有意义，则的取值范围是 ．
14．化简： ．
15．一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其他差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ．
14．某商品进价200元，标价300元，商场规定可以打折销售，但其利润不能低于5%，则该商品最低售价是标价的_______折．
16．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）（1）计算：
（2）解方程：解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（10分）如图，在中，的平分线交于点．
(1)利用尺规作的垂直平分线，分别交，于点，．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：四边形为菱形．
19.（10分）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．西西打算从该公司租一辆汽车去旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
B 216 215 220
C 225 227.5 227.5

(1)西西已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数．
(2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
20．（10分）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
21．（10分）“满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡．某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗．若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元．
(1)求A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
22．（12分）【综合与实践】
【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计
某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下：
时间
速度
路程
【问题探究】
(1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程；
(2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值；
(3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因．
23．（12分）【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下．
根据以上信息，完成下面的解答：
【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，；
(1)请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）；
【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H；
(2)小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长．2026年中考考前预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
【答案】A
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、0.13133是有理数，不符合题意；
故选A．
2．中国传统纹样指的是由历代沿传下来的具有独特民族艺术风格的图案，下列纹样的示意图，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可．
【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
．是中心对称图形，故该选项符合题意；
．不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
．不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：∵，
∴28nm=2.8×10-8m．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质得出，结合图形即可求解．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5．小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数
【答案】D
【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可．
本题考查数据统计量的变化情况，需逐一分析平均数、方差、众数和中位数在去掉极端值后的变化．
【详解】解：原数据去掉最高分10和最低分（其中一个）后，剩余数据为．
原平均数总和为 ，平均数为．
去掉后总和为 ，平均数为 ，则平均数变化，故A选项不符合题意．
方差与每个数据与平均数的差值有关．因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故B选项不符合题意．
原众数为（出现2次）．去掉一个后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，故众数变化，故C选项不符合题意．
原数据中位数为第4个数即．去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数（仍为），故中位数不变．
故选： D．
6．下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了三视图的定义， 理解“从左面看几何体，所看到的视图是左视图．”，理解画图时是画轮廓线，看见的轮廓线线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键．
【详解】解：从左面看到的平面图形是，
故选：C．
7．如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
9．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选D．
10．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（　　）
A．B． C．D．
【答案】D
【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，
所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．
故选D
11．为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是非负整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数．
【详解】解：设购买足球x个，篮球y个，
根据题意得：，即，
则，
∵都是非负整数，
解得：或或或或或，
∴共有6种购买方案，
故选：A．
12．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：
①与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】B
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴，
∴
∴，即与的面积一定相等；故①正确，
由①可得
当与的面积相等时，如图，连接，
∴
∴在直线上，则重合，
∴与的面积不可能相等，故②不正确，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确,
如图
当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误
综上，①④正确、②③错误.
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．若式子有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围．
【详解】解：要使式子有意义，
即，
∴．
故答案为：．
14．化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了同分母分式的减法计算，掌握运算法则是解题的关键．
先处理分母的符号，将其化为同分母的分式减法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15．一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其他差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，
∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为，
故答案为：．
16．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形．
【答案】31
【解析】
【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，
第2个图形有个正方形，
第3个图形有个正方形，
∴第5个图形中共有个正方形，
故答案为：31．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）（1）计算：
（2）解方程：解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
（1）计算：．
解：
（2分）
（3分）
．（4分）
（2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
解：
解不等式①得，（5分）
解不等式②，得：，（6分）
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（7分）
则不等式组的解集为：
．（8分）
18．（10分）如图，在中，的平分线交于点．
(1)利用尺规作的垂直平分线，分别交，于点，．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：四边形为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意画出的垂直平分线，分别交，于点，．
（2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明
【详解】（1）如图：即为所求；
（4分）
（2）证明：如图所示，连接
平分，
，（5分）
的垂直平分线，
，，（6分）
，，（7分）
，，
， ，（8分）
四边形为平行四边形，（9分）
，
为菱形．（10分）
19.（10分）某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．西西打算从该公司租一辆汽车去旅游一天，往返行程为210，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号 平均里程（） 中位数（） 众数（）
B 216 215 220
C 225 227.5 227.5

(1)西西已经对B，C型号汽车数据统计如表，请继续求出A型号汽车的平均里程、中位数和众数．
(2)为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
【答案】
【详解】（1）解：由统计图可知：
A型号汽车的平均里程：，（2分）
A型号汽车的里程由小到大排序：最中间的两个数（第10、11个数据）是200、200，故中位数，（4分）
出现充满电后的里程最多的是205公里，共六次，故众数为．（6分）
（2）选择B型号汽车．理由：型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；，型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过，其中型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车．（10分）
20．（10分）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【详解】（1）证明；如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，即，（1分）
在和中，
，
∴，（2分）
∴，
∴，（3分）
∵是的半径，
∴是的切线；（4分）
（2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M，
设，则，（5分）
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，（6分）
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得；（7分）
∵，
∴，（8分）
∵，
∴，
∴；（9分）
∵，
∴，
∴，即，
∴．（10分）
21．（10分）“满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡．某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗．若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元．
(1)求A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
【答案】
【详解】（1）解：设A种紫荆花树苗的单价为元，B种紫荆花树苗的单价为元．（1分）
根据题意，得，（3分）
解得，（5分）
答：A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元；（6分）
（2）解：设购B种紫荆花树苗株，则购买A种紫荆花树苗株，总费用为元．
根据题意，得，（7分）
随的增大而增大，（8分）
∴当时，，（9分）
答：购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元．（10分）
22．（12分）【综合与实践】
【项目主题】无人驾驶汽车最小安全距离优化设计
某智能汽车公司在封闭测试场开展无人驾驶安全性能验证实验．测试开始时，测试车辆以初速度．进入一段足够长的水平直道（忽略车身长度影响），并立即启动制动系统，做匀减速直线运动（即单位时间内速度等量减小）；与此同时，其正前方距离为处，目标障碍物车辆以恒定速度同向匀速行驶．为确保车在任何时刻均不与车发生接触（即全程保持非负车间距），需建立函数模型，求解满足安全约束的最小初始车距．实验测得车辆在水平直道上运动的数据如下：
时间
速度
路程
【问题探究】
(1)已知速度是时间的一次函数，路程是时间的二次函数，请分别求出一次函数与二次函数的关系式，并求车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程；
(2)测试车辆驶入水平直道的同时，目标障碍物测试车从其正前方处开始，以的速度匀速向前行驶．为保证测试车辆始终不会撞上目标障碍物测试车，求安全初始距离的最小值；
(3)在（）的条件下，于实际降雨环境中开展测试，当时两车却发生了追尾事故，请结合所学知识分析事故原因．
【答案】
【详解】（1）解：设，
将，；，代入，
得，
解得，
速度关于时间的一次函数为；（2分）
设，
将，；，；，代入，
得，
解得，
路程关于时间的二次函数为，（4分）
当时，，即，
此时，
车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为．（6分）
（2）解：目标障碍物测试车行驶的路程为，
要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，（7分）
，
，（8分）
，
当时，有最大值，（9分）
最小为时才安全，
安全初始距离的最小值是．（10分）
（3）解：当时发生了追尾，可能是由于雨天，使得地面摩擦力减小，测试车从开始到最终停下的刹车距离大幅增加，导致测试车与目标障碍物测试车在安全距离即使大于了的情况下依然发生了追尾．（12分）
23．（12分）【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下．
根据以上信息，完成下面的解答：
【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，；
(1)请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）；
【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H；
(2)小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长．
【答案】
（1）是（2分）
【详解】
解：沿折叠，点B与点D重合，
∴垂直平分，即，．
沿折叠，点A与点C重合，
∴垂直平分，即，．
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形．
【答案】
（2）已知四边形是正方形，
∴，．（3分）
∵沿折叠，点A落在上的F处，
∴，
∴，
∴．
又∵在中，，
∴．（4分）
在和中：
∴，（5分）
∴．（6分）
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，．
在中，，，
由勾股定理得：
（7分）
由，
得．，（8分）
∵点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H；
∴
∴（9分）
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，，（10分）
∵，
∴，
∴，（11分）
∵在中
，
∴．（12分）2026年中考考前预测卷
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C B D C B C D D A B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13． 14． 15． 16．31
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）
【解析】（（1）计算：．
解：
（2分）
（3分）
．（4分）
（2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
解：
解不等式①得，（5分）
解不等式②，得：，（6分）
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（7分）
则不等式组的解集为：
．（8分）
18．（10分）
【详解】（1）如图：即为所求；
（4分）
（2）证明：如图所示，连接
平分，
，（5分）
的垂直平分线，
，，（6分）
，，（7分）
，，
， ，（8分）
四边形为平行四边形，（9分）
，
为菱形．（10分）
19．（10分）
【解析】解：（1）由统计图可知：
A型号汽车的平均里程：，（2分）
A型号汽车的里程由小到大排序：最中间的两个数（第10、11个数据）是200、200，故中位数，（4分）
出现充满电后的里程最多的是205公里，共六次，故众数为．（6分）
（2）选择B型号汽车．理由：型号汽车的平均里程、中位数、众数均低于，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；，型号汽车的平均里程、中位数、众数都超过，其中型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车．（10分）
20．（10分）
【详解】（1）证明；如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，即，（1分）
在和中，
，
∴，（2分）
∴，
∴，（3分）
∵是的半径，
∴是的切线；（4分）
（2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M，
设，则，（5分）
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，（6分）
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得；（7分）
∵，
∴，（8分）
∵，
∴，
∴；（9分）
∵，
∴，
∴，即，
∴．（10分）
21．（10分）
【答案】
【详解】（1）解：设A种紫荆花树苗的单价为元，B种紫荆花树苗的单价为元．（1分）
根据题意，得，（3分）
解得，（5分）
答：A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元；（6分）
（2）解：设购B种紫荆花树苗株，则购买A种紫荆花树苗株，总费用为元．
根据题意，得，（7分）
随的增大而增大，（8分）
∴当时，，（9分）
答：购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元．（10分）
22．（12分）
【答案】
【详解】（1）解：设，
将，；，代入，
得，
解得，
速度关于时间的一次函数为；（2分）
设，
将，；，；，代入，
得，
解得，
路程关于时间的二次函数为，（4分）
当时，，即，
此时，
车辆从驶入水平测试直道到完全停下所行驶的总路程为．（6分）
（2）解：目标障碍物测试车行驶的路程为，
要使得两辆车不会发生碰撞，则需要满足，（7分）
，
，（8分）
，
当时，有最大值，（9分）
最小为时才安全，
安全初始距离的最小值是．（10分）
解：当时发生了追尾，可能是由于雨天，使得地面摩擦力减小，测试车从开始到最终停下的刹车距离大幅增加，导致测试车与目标障碍物测试车在安全距离即使大于了的情况下依然发生了追尾．（12分）
23.【答案】
（1）是（2分）
【详解】
解：沿折叠，点B与点D重合，
∴垂直平分，即，．
沿折叠，点A与点C重合，
∴垂直平分，即，．
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形．
【答案】
（2）已知四边形是正方形，
∴，．（3分）
∵沿折叠，点A落在上的F处，
∴，
∴，
∴．
又∵在中，，
∴．（4分）
在和中：
∴，（5分）
∴．（6分）
（3）解：∵四边形是正方形，
∴，．
在中，，，
由勾股定理得：
（7分）
由，
得．，（8分）
∵点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H；
∴
∴（9分）
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，，（10分）
∵，
∴，
∴，（11分）
∵在中
，
∴．（12分）

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