资源简介

第三节　万有引力定律的应用
课时作业
考点一　万有引力和重力的关系
1.(多选)地球绕地轴自转时,对静止在地面上的某一个物体,下列说法正确的是(　　)
A.物体的重力并不等于它随地球自转所需要的向心力
B.在地面上的任何位置,物体向心加速度的大小都相等,方向都指向地心
C.在地面上的任何位置,物体向心加速度的方向都垂直指向地轴
D.物体随地球自转的向心加速度随着地球纬度的减小而增大
【答案】 ACD
【解析】 考虑地球自转时,地面上的物体随着地球的自转而做圆周运动,其运动平面与地轴垂直,选项C正确;由于在不同位置的轨道半径各不相同,故向心力大小不一样,在赤道时向心力最大,选项B错误,D正确;地面上的物体随地球自转做圆周运动时的向心力远小于万有引力(重力近似等于万有引力),选项A正确.
2.(2024·甘肃卷,3)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是(　　)
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
【答案】 D
【解析】 在天宫实验室内,物体处于完全失重状态,万有引力提供了物体绕地球做匀速圆周运动的向心力,故A、B、C中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度.由万有引力提供天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的向心力得mg′=G=mr,整理得天宫实验室轨道处的重力加速度为g′=r,故通过测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径可行,D正确.
3.某科幻影片中,太空电梯高耸入云,在地表与太空间高速穿梭.太空电梯上升到某高度时的重力加速度为g,g为地球表面重力加速度.已知地球半径为R,不考虑地球自转,则此时电梯距离地面的高度为(　　)
A.2R B.R
C.R D.(-1)R
【答案】 B
【解析】 在地面时G=mg,在某高度时 G=m·g,解得h=R,故选B.
考点二　中心天体的质量和密度
4.2025年4月1日,我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭,以一箭四星的方式,成功将互联网技术试验卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务取得圆满成功.设试验卫星的轨道半径为r,周期为T,地球的半径为R,引力常量为G,则(　　)
A.地球的质量为
B.地球的质量为
C.地球的密度为
D.地球的密度为
【答案】 A
【解析】 根据万有引力提供向心力,有G=m,可得地球的质量M=,故A正确,B错误;地球的体积 V=πR3,可得地球密度为ρ==,故C、D错误.
5.中子星是一种密度很大的特殊天体.若某中子星恰好能维持不解体,其自转周期为T,已知引力常量为G,则中子星的平均密度为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 当中子星恰好能维持自转不解体时,万有引力充当向心力,=m()2R,又M=ρ·πR3,解得ρ=,故选B.
考点三　天体的运动分析与计算
6.如图为行星绕太阳运行的图像,某同学对这些行星运行中的物理量进行对比分析,下列说法正确的是(　　)
A.土星比木星的线速度大
B.火星比地球的角速度大
C.金星比水星的向心加速度大
D.土星运行周期最大
【答案】 D
【解析】 根据万有引力提供向心力,有G=m,解得 v=,由题图知运行半径r土>r木,则 v土r地,则ω火<ω地,故B错误;由G=mr,解得T=2π,由题图知r土最大,则土星运行周期最大,故D正确;由 =ma,得行星做圆周运动的加速度a=,由题图知r金>r水,则a金7.(2025·广东卷,5)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍.关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【答案】 D
【解析】 根据题意,设地球与太阳间距离为R,则小行星公转轨道的半长轴为a==6R,由开普勒第三定律有=,解得T行==6 年,A错误;从远日点到近日点,小行星与太阳间距离减小,由万有引力定律F=可知,小行星受太阳引力增大,B错误;由开普勒第二定律可知,从远日点到近日点,小行星线速度逐渐增大,C错误;由牛顿第二定律有=ma,解得a=,可知==,D正确.
8.国际科研团队发现了两颗距离地球仅100光年的新行星,其中一颗可能适合生命生存.这两颗行星分别是LP890-9b(以下简称行星A)和LP890-9c(以下简称行星B).行星A的半径约为8 370千米,仅需2.7天就能绕恒星C一圈;行星B半径约为8 690千米,8.5天能绕恒星C一圈,行星B到恒星C的距离约为水星与太阳间距离的十分之一,水星的公转周期约为88天.假设行星A、B绕恒星C做匀速圆周运动,则(　　)
A.行星A表面的重力加速度大于行星B表面的重力加速度
B.行星A的公转轨道半径大于行星B的公转轨道半径
C.太阳的质量大于恒星C的质量
D.水星的公转速度大于行星B的公转速度
【答案】 C
【解析】 根据万有引力提供行星表面重力加速度得 G=m0g,故重力加速度为g=,行星A与行星B的质量关系未知,故无法判断两行星表面的重力加速度的大小,A错误;根据开普勒第三定律=k,由题意可知,TAMC,C正确;根据公转速度与公转周期的关系v=,故行星B的公转速度与水星的公转速度之比为=·>1,故v水9.(2024·山东卷,5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a.已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 “鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时,根据开普勒第三定律有=k,同理,对地球同步卫星有 =k′,对于地球同步卫星,有=,解得=,故可得开普勒常量与中心天体的质量成正比,所以=,联立可得=.
10.某星系中有一颗质量分布均匀的行星,其半径为R,将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上,在该行星极地表面静止时,弹簧测力计的示数为F;在赤道表面静止时,弹簧测力计的示数为F.已知引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A.该行星的自转周期为
B.该行星的质量为
C.该行星赤道处的重力加速度为
D.该行星的密度为
【答案】 D
【解析】 物块在该行星极地表面静止时,万有引力等于重力,G=mg极=F,在赤道表面静止时,万有引力和重力的合力提供向心力,G-mg赤=F向,其中mg赤=F,联立解得F向=F,根据向心力公式F向=mR可得,该行星的自转周期为T=,故A错误;物块在该行星极地表面静止时,万有引力等于重力,G=mg极=F,解得M=,故B错误;物块在赤道表面静止时,根据平衡条件,重力等于弹簧测力计的拉力,即mg赤=F,解得g赤=,故C错误;根据ρ=可知,该行星的密度为ρ====,故D正确.
11.我国计划在2030年前实现载人登月计划,该计划各项工作进展顺利.假设我国航天员登陆月球后,从月球表面以初速度v0竖直向上抛出一颗小球(可视为质点),经过时间t小球落回到抛出点.已知月球半径为R,引力常量为G,月球无空气且不考虑月球自转.求:
(1)月球表面的重力加速度g月;
(2)月球的质量M;
(3)月球的密度ρ.
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)月球表面处的重力加速度为g月,
根据题意可知2v0=g月t,解得g月=.
(2)在月球表面有mg月=G,
解得M=.
(3)根据M=ρV,V=πR3,
解得ρ=.
12.万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性.
(1)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力,随称量位置的变化可能会有不同结果.已知地球质量为M,自转周期为T,引力常量为G.将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体,不考虑空气的影响.设在地球北极地面称量时,弹簧测力计的读数是F0.
若在北极上空高出地面h处称量,弹簧测力计读数为F1,求比值的表达式,并就h=1.0%R的情形算出具体数值(结果保留2位有效数字).
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%,而太阳和地球的密度均匀且不变.仅考虑太阳与地球之间的相互作用,以现实地球的1年为标准,计算“设想地球”的1年将变为多长.
【答案】 (1)=　0.98
(2)“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同
【解析】 (1)物体在北极所受重力等于地球对物体的万有引力,有
F0=G,
F1=G,
解得=,
当h=1.0%R时,≈0.98.
(2)根据万有引力提供向心力,有
G=mr,
解得T=2π,
又因为M=ρV=ρ×π,
联立解得T=,
从上式可知,当三者均减小为现在的1.0%时,地球公转周期不变.第四节　宇宙速度与航天
课时作业
考点一　对宇宙速度的理解与计算
1.(多选)关于地球第一宇宙速度,下列说法正确的是(　　)
A.它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B.它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度
C.它是能使卫星进入轨道的最小发射速度
D.它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
2.(2025·甘肃卷,2)如图,一小星球与某恒星中心距离为R时,小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直.恒星的质量为M,引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A.若v=,小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=,小星球做椭圆运动
D.若v>,小星球可能与恒星相撞
3.火星为太阳系里四颗类地行星之一,火星的半径约为地球半径的,火星的质量约为地球质量的,把地球和火星均看作质量分布均匀的球体,忽略地球和火星的自转,则火星与地球的第一宇宙速度的比值为(　　)
A. B. C. D.
4.如图所示,有关人造地球卫星轨道,下列说法正确的是(　　)
A.a、b、c均可能是卫星轨道
B.卫星轨道只可能是a
C.a、b均可能是卫星轨道
D.b可能是静止轨道卫星的轨道
5.2024年9月19日9时14分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭与远征一号上面级,成功发射第五十九颗、六十颗北斗导航卫星.该组卫星属中圆地球轨道(MEO)卫星,轨道高度约为 2.0×104 km,是我国北斗三号全球卫星导航系统建成开通后发射的第二组中圆地球轨道卫星.我国北斗卫星导航定位系统中还有静止轨道卫星(属于同步卫星),静止轨道卫星的高度约为3.6×104 km.下列说法正确的是(　　)
A.中圆地球轨道卫星的线速度大于7.9 km/s
B.静止轨道卫星的线速度小于中圆地球轨道卫星的线速度
C.静止轨道卫星的运行周期小于中圆地球轨道卫星的运行周期
D.静止轨道卫星可能会经过兰州的上空
6.(多选)(2024·湖南卷,7)2024年5月3日,“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道,正式开启月球之旅.相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”,本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集,并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱,返回舱再通过返回轨道返回地球.设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径.已知月球表面重力加速度约为地球表面的,月球半径约为地球半径的.关于返回舱在该绕月轨道上的运动,下列说法正确的是(　　)
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
7.2023年8月3日 11时 47分,我国成功发射“风云三号”06星.“风云三号”气象卫星是我国第二代低轨气象卫星,能够获取全球、全天候、三维定量、多光谱的大气、地表和海表特性参数.若“风云三号”06星绕地球做匀速圆周运动,离地高度为h,绕地n圈的时间为t,地球半径为R,则(　　)
A.卫星的周期为
B.卫星的角速度为
C.卫星的线速度大小为
D.卫星的加速度大小为
8.如图所示,为一颗地球静止轨道卫星的示意图,已知地球可看作质量分布均匀、半径为R、质量为M、自转周期为T的球体,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.该静止轨道卫星可以出现在广州的正上方
B.该静止轨道卫星距地面的高度h=
C.该静止轨道卫星的加速度a=R
D.地球两极点的重力加速度g=
9.为了探测暗物质,我国早在2015年就已成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星.已知卫星在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动,经过时间t(t小于其运动周期),运动的弧长为s,与地球中心连线扫过的角度为β(弧度),引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.卫星的线速度为
B.卫星的环绕周期为t
C.卫星的向心加速度为
D.卫星的质量为
10.量子卫星成功运行后,我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信,构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系.假设量子卫星绕地球做匀速圆周运动,周期为T,离地高度为h,已知地球半径为R,引力常量为G,则(　　)
A.卫星的运行速度为
B.地球的第一宇宙速度为
C.地球的质量为
D.地球表面的重力加速度为
11.第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍,理论分析表明:当某种天体的第二宇宙速度达到光速c,这种天体就成为黑洞.若某黑洞的质量为m0,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.该黑洞的第一宇宙速度至少为c
B.该黑洞的最大半径为
C.可求出该黑洞的最大密度
D.某物体可绕该黑洞表面以速度做匀速圆周运动
12.第一宇宙速度又叫作环绕速度,第二宇宙速度又叫地球的逃逸速度,理论分析表明,逃逸速度是环绕速度的倍,这个关系对于其他天体也是正确的.宇宙中存在一种逃逸速度很大,光都不能逃逸的天体,即使它在发光,光也不能进入太空,我们根本看不到它,这种天体称为黑洞.已知太阳质量为M,半径为R,光速为c,引力常量为G.
(1)试求太阳的第一宇宙速度;
(2)若太阳能收缩成黑洞,求其收缩后的半径应满足的条件.第一节　认识天体运动
课时作业
考点一　对开普勒定律的理解
1.开普勒研究火星轨道时,多次按行星绕太阳做匀速圆周运动的观点来计算的结果都与第谷的观测数据有所误差,据此推理出行星的运动并非匀速圆周运动,最终推理出了行星运动的三个定律.下列关于开普勒行星运动定律的说法正确的是(　　)
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,且太阳处于椭圆的中心处
B.同一行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
C.开普勒行星运动定律只适用于做椭圆运动的行星
D.开普勒行星运动定律的基础是地心说
2.(多选)百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星,它的近日点离太阳约0.1 AU,运行周期很长(200年以上).已知地球的轨道半径为1 AU,只考虑行星与太阳间的作用力,下列说法正确的是(　　)
A.百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大
B.百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径
C.太阳处在百武彗星椭圆轨道的中心点上
D.在远离太阳的过程中,百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
3.在国际气象界,二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.二十四节气代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置.地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处如图所示的四个位置分别对应我国的四个节气,以下关于地球的运行说法正确的是(　　)
A.冬至时地球公转速度最小
B.从夏至到秋分的时间大于地球公转周期的四分之一
C.地球做匀速率椭圆轨道运动
D.地球绕太阳运行方向是顺时针方向
4.(多选)关于开普勒行星运动定律,下列说法正确的是(　　)
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上
B.地球绕太阳在椭圆轨道上运行,近日点速率小于远日点速率
C.开普勒第三定律=k,T代表行星运动的公转周期
D.开普勒第三定律=k,k与中心天体有关
5.如图所示,土星沿椭圆轨道运行,在远日点离太阳的距离为a,在近日点离太阳的距离为b,过近日点时土星的速率为vb,则过远日点时土星的速率为(　　)
A.vb B.vb
C.vb D.vb
6.飞船和空间站分离之后,会通过调姿、制动、减速等操作从原飞行轨道进入返回轨道.假设飞船在离地面高度为h的圆轨道上运行的周期为T,并由此圆轨道经过调整进入近地点离地面高度为 0.6h 的椭圆轨道.若已知地球半径为9h,9.83=941.192;取=0.97,则飞船在此椭圆轨道运行的周期为(　　)
A.0.97T B.0.94T
C.0.95T D.0.96T
7.木星有4颗卫星是伽利略发现的,称为伽利略卫星,其中两颗卫星绕木星做圆周运动的周期之比为1∶4,则这两颗卫星的轨道半径之比为(　　)
A. B.
C. D.
8.某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆,每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上,如图所示,该行星与地球的公转半径之比为(　　)
A.() B.()
C.() D.()
9.南山—哈恩彗星是被新疆南山观测站和德国天文学家哈恩共同发现的一颗新彗星.如图所示,已知该彗星的近日点接近火星轨道,远日点接近木星轨道,火星、木星的公转轨道半径分别为地球公转轨道半径的p倍和q倍,则南山—哈恩彗星的运动周期为(　　)
A.(p+q年 B.(p+q年
C.()年 D.()年
10.(多选)如图所示,土卫一(M)和土卫二(E)是土星(S)的两个卫星,土卫二绕土星的公转半径约为土卫一公转半径的2倍,某一时刻两卫星呈如图所示位置,且公转方向均为逆时针方向.则在土卫一公转一周的时间内,关于两卫星的位置关系,下列图像大致正确的是(　　)
A　 　B
C　　 D
11.早在2 000多年前,《吕氏春秋》中就有关于火星的记载,表明我国对火星的探索历史悠久,至今都未停止.当地球与火星的距离最近时,如图所示,这种现象在天文学中被称为“火星冲日”,已知火星公转半径约为地球公转半径的1.5倍,地球的公转周期T=1年,取 =1.7,=1.4,结果均保留2位有效数字.求:
(1)火星公转周期T火;
(2)相邻两次“火星冲日”的时间间隔Δt.
12.如图所示,一颗近地卫星轨道半径近似等于地球半径R,另一颗卫星轨道是椭圆,与近地圆轨道相切于A点,远地点B与地心的距离是3R,已知引力常量为G.求:
(1)近地卫星与椭圆轨道卫星周期的比值;
(2)椭圆轨道上卫星在近地点A和远地点B的线速度大小的比值.第二节　认识万有引力定律
课时作业
考点一　对万有引力定律的理解
1.(多选)关于万有引力定律,下列说法正确的是(　　)
A.行星与太阳各自受到对方引力的大小并不相等
B.牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律
C.由F=G可知两物体间距离r增大时,它们之间的引力减小
D.引力常量G值大小与中心天体选择有关
2.英国物理学家卡文迪许根据放大原理利用扭秤测出了引力常量.下列观点正确的是(　　)
A.引力常量G没有单位
B.卡文迪许用实验的方法证明了万有引力的存在
C.两个质量是1 kg的质点相距1 m时,万有引力的大小为6 367 N
D.在土星和地球上引力常量G的数值是不同的
3.甲、乙两个质点间的万有引力大小为F,若甲、乙两物体的质量均增加到原来的2倍,同时它们之间的距离也增加到原来的2倍,则甲、乙两物体间的万有引力大小将为(　　)
A.8F B.4F C.F D.
4.天问一号巡视器成功登陆火星是中国太空探索能力的一个划时代的突破.用h表示着陆器与火星表面的距离,用F表示它所受的火星引力大小,则在着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中,能够描述F随h变化关系的大致图像是(　　)
A 　 B　 C 　 D
5.已知火星质量为地球质量的k倍,其半径为地球半径的p倍,由此可知同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为(　　)
A. B. C. D.
6.(多选)要使两物体(可看成质点)间的万有引力减小为原来的,以下可行的是(　　)
A.使两物体的质量各减小一半,距离不变
B.使其中一个物体的质量减小为原来的,距离不变
C.使两物体间的距离和质量都减小为原来的
D.使两物体间的距离增大为原来的2倍,质量不变
7.假设天问一号着陆巡视器质量为m,其在火星表面着陆前的动力减速阶段可视为在竖直方向做匀变速直线运动,着陆巡视器制动打开后,会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程.已知火星半径约为地球半径的二分之一,火星质量约为地球质量的十分之一,地球表面的重力加速度为g,忽略火星大气阻力.求:
(1)火星表面的重力加速度大小;
(2)着陆巡视器在火星表面着陆前的动力减速阶段受到的制动力大小.
8.2024年5月8日,嫦娥六号探测器进入环月轨道,为登陆月球做准备.已知月球质量为地球质量的,月球半径为地球半径的,不考虑地球和月球的自转,嫦娥六号在月球表面受到的月球引力为在地球表面受到地球引力的(　　)
A. B. C. D.
9.如图所示,三个质量均为M的球分别位于四分之三圆环、半圆环和完整圆环的圆心处,四分之三圆环、半圆环分别是由与图丙中相同的完整圆环截去四分之一和一半所得,环的粗细忽略不计,若图甲中环对球的万有引力大小为F,则图乙、图丙中环对球的万有引力大小分别为(　　)
A.F,2F B.F,0
C.F,0 D.F,F
10.质量相同的a、b两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动.a卫星是地球同步卫星,b卫星绕地球运动的周期约为3小时.则b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的(　　)
A.1倍 B.8倍 C.16倍 D.27倍
11.月球对地球的引力是造成潮汐的主要原因.如图所示,当月球在某个位置时,它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用,导致海水向月球方向隆起,形成高潮.已知地球质量为M,地球半径为R,地球自转周期为T,月球质量为m,月球到地球的距离为r,引力常量为G,取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为m0的小水球作为研究对象,求:
(1)小水球绕地心做圆周运动的向心力大小;
(2)月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比.第四节　宇宙速度与航天
课时作业
考点一　对宇宙速度的理解与计算
1.(多选)关于地球第一宇宙速度,下列说法正确的是(　　)
A.它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B.它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度
C.它是能使卫星进入轨道的最小发射速度
D.它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
【答案】 BC
【解析】 根据G=m,可得v=,卫星轨道半径越小,则速度越大,第一宇宙速度是指绕地球表面运动的近地圆形轨道上卫星的速度,运动半径最小,则它是人造地球卫星绕地球飞行的最大速度,选项A错误,B正确;第一宇宙速度是能使卫星进入轨道的最小发射速度,并不是在椭圆轨道上运行时近地点的速度,选项C正确,D错误.
2.(2025·甘肃卷,2)如图,一小星球与某恒星中心距离为R时,小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直.恒星的质量为M,引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A.若v=,小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=,小星球做椭圆运动
D.若v>,小星球可能与恒星相撞
【答案】 A
【解析】 根据万有引力提供向心力有=m,解得v=.若v=,小星球做匀速圆周运动,A正确;若,小星球将脱离恒星引力束缚,做曲线运动,不可能与恒星相撞,D错误.
3.火星为太阳系里四颗类地行星之一,火星的半径约为地球半径的,火星的质量约为地球质量的,把地球和火星均看作质量分布均匀的球体,忽略地球和火星的自转,则火星与地球的第一宇宙速度的比值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 物体在星球表面做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,设中心天体质量为M,中心天体半径为R,环绕天体质量为m,第一宇宙速度为v,则G=,解得v=;由题意知M地=10M火,R地=2R火,联立可得火星与地球的第一宇宙速度的比值为=,故选C.
考点二　人造卫星的运行规律
4.如图所示,有关人造地球卫星轨道,下列说法正确的是(　　)
A.a、b、c均可能是卫星轨道
B.卫星轨道只可能是a
C.a、b均可能是卫星轨道
D.b可能是静止轨道卫星的轨道
【答案】 C
【解析】 人造地球卫星围绕地球做匀速圆周运动,圆心是地球的地心,所以凡是人造地球卫星,轨道平面必定经过地球中心,所以 a、b均可能是卫星轨道,c不可能是卫星轨道,故A、B错误,C正确;静止轨道卫星的轨道必定在赤道平面内,所以b不可能是静止轨道卫星的轨道,故D错误.
5.2024年9月19日9时14分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭与远征一号上面级,成功发射第五十九颗、六十颗北斗导航卫星.该组卫星属中圆地球轨道(MEO)卫星,轨道高度约为 2.0×104 km,是我国北斗三号全球卫星导航系统建成开通后发射的第二组中圆地球轨道卫星.我国北斗卫星导航定位系统中还有静止轨道卫星(属于同步卫星),静止轨道卫星的高度约为3.6×104 km.下列说法正确的是(　　)
A.中圆地球轨道卫星的线速度大于7.9 km/s
B.静止轨道卫星的线速度小于中圆地球轨道卫星的线速度
C.静止轨道卫星的运行周期小于中圆地球轨道卫星的运行周期
D.静止轨道卫星可能会经过兰州的上空
【答案】 B
【解析】 由万有引力提供向心力G==mr=ma,可得v=,T=,a=,设地球半径为R,中圆地球轨道卫星的轨道半径为r中,静止轨道卫星的轨道半径为r静,由题意可知 R6.(多选)(2024·湖南卷,7)2024年5月3日,“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道,正式开启月球之旅.相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”,本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集,并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱,返回舱再通过返回轨道返回地球.设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道,半径近似为月球半径.已知月球表面重力加速度约为地球表面的,月球半径约为地球半径的.关于返回舱在该绕月轨道上的运动,下列说法正确的是(　　)
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
【答案】 BD
【解析】 根据万有引力提供向心力,有G=m,在星球表面有G=mg,解得v=,又g月=g地,R月=R地,则返回舱在月球表面的飞行速度v月=v地,返回舱相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度,故A错误,B正确;设返回舱绕星球飞行周期为T,由万有引力提供向心力得G=m()2R,在星球表面附近有 =mg,联立可得周期T=2π,则有==,故C错误,D正确.
7.2023年8月3日 11时 47分,我国成功发射“风云三号”06星.“风云三号”气象卫星是我国第二代低轨气象卫星,能够获取全球、全天候、三维定量、多光谱的大气、地表和海表特性参数.若“风云三号”06星绕地球做匀速圆周运动,离地高度为h,绕地n圈的时间为t,地球半径为R,则(　　)
A.卫星的周期为
B.卫星的角速度为
C.卫星的线速度大小为
D.卫星的加速度大小为
【答案】 B
【解析】 卫星绕地n圈的时间为t,则卫星的周期为T=,故A错误;卫星绕地球做匀速圆周运动,则卫星的角速度大小为ω==,故B正确;卫星的线速度大小为v==,故C错误;卫星的加速度大小为a==,故D错误.
8.如图所示,为一颗地球静止轨道卫星的示意图,已知地球可看作质量分布均匀、半径为R、质量为M、自转周期为T的球体,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.该静止轨道卫星可以出现在广州的正上方
B.该静止轨道卫星距地面的高度h=
C.该静止轨道卫星的加速度a=R
D.地球两极点的重力加速度g=
【答案】 D
【解析】 静止轨道卫星轨道平面与赤道平面重合,故不可能出现在广州正上方,A错误;根据万有引力提供向心力,有 G=mr,可得静止轨道卫星的轨道半径r=,该静止轨道卫星距地面的高度h=r-R=-R,故B错误;赤道上随着地球自转的物体的向心加速度为a=ω2R=R,由于r同>R,可知该静止轨道卫星的加速度大于R,故C错误;在地球两极物体重力等于万有引力,有mg=G,可得地球两极点的重力加速度g=,故D正确.
9.为了探测暗物质,我国早在2015年就已成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星.已知卫星在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动,经过时间t(t小于其运动周期),运动的弧长为s,与地球中心连线扫过的角度为β(弧度),引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.卫星的线速度为
B.卫星的环绕周期为t
C.卫星的向心加速度为
D.卫星的质量为
【答案】 C
【解析】 由题意可知,卫星的线速度为v=,角速度ω=,故向心加速度a=ωv=,周期为T==t,故A、B错误,C正确;根据万有引力提供向心力,有G=mω2r,又s=rβ,联立解得地球的质量M=,故不能求出卫星的质量,故D错误.
10.量子卫星成功运行后,我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信,构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系.假设量子卫星绕地球做匀速圆周运动,周期为T,离地高度为h,已知地球半径为R,引力常量为G,则(　　)
A.卫星的运行速度为
B.地球的第一宇宙速度为
C.地球的质量为
D.地球表面的重力加速度为
【答案】 B
【解析】 卫星绕地球做匀速圆周运动,线速度为v=,A错误;地球的第一宇宙速度为近地卫星(r=R)的运行速度,根据万有引力提供向心力G=m,对量子卫星有G=m()2(R+h),联立可得v1=,B正确;根据B项解析可得地球质量M=,C错误;对地球表面物体重力近似等于万有引力G=mg,联立可得g=,D错误.
11.第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍,理论分析表明:当某种天体的第二宇宙速度达到光速c,这种天体就成为黑洞.若某黑洞的质量为m0,引力常量为G,下列说法正确的是(　　)
A.该黑洞的第一宇宙速度至少为c
B.该黑洞的最大半径为
C.可求出该黑洞的最大密度
D.某物体可绕该黑洞表面以速度做匀速圆周运动
【答案】 A
【解析】 已知黑洞的第二宇宙速度不小于光速c,由题可知黑洞的第一宇宙速度至少为c,故A正确,D错误;根据万有引力提供向心力有G=m,可得v=≥c,即黑洞半径R≤,B错误;根据ρ=,已知黑洞最大半径、质量,可得黑洞最小密度,C错误.
12.第一宇宙速度又叫作环绕速度,第二宇宙速度又叫地球的逃逸速度,理论分析表明,逃逸速度是环绕速度的倍,这个关系对于其他天体也是正确的.宇宙中存在一种逃逸速度很大,光都不能逃逸的天体,即使它在发光,光也不能进入太空,我们根本看不到它,这种天体称为黑洞.已知太阳质量为M,半径为R,光速为c,引力常量为G.
(1)试求太阳的第一宇宙速度;
(2)若太阳能收缩成黑洞,求其收缩后的半径应满足的条件.
【答案】 (1)　(2)R黑洞<
【解析】 (1)假设卫星绕太阳表面做圆周运动,由万有引力提供向心力,则有=m,
解得v=.
(2)假设卫星绕黑洞表面做圆周运动,由万有引力提供向心力,则有
=m,
根据题意,太阳收缩成球形黑洞后逃逸速度
v2=v1,
解得v2=,
其中v2>c,
解得R黑洞<.万有引力定律　检测试题
(时间:75分钟;满分:100分)
一、单项选择题:本题共7小题,每小题4分,共 28分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.探索宇宙的奥秘,奔向广阔而遥远的太空,是人类自古以来的梦想.关于宇宙速度,下列说法正确的是(　　)
A.在地面发射飞行器,发射速度必须小于第一宇宙速度
B.第一宇宙速度是卫星在地面附近环绕地球做圆周运动的速度
C.第二宇宙速度的数值是7.9 km/s,是在地面上发射物体使之挣脱地球引力的最小速度
D.第三宇宙速度的数值是16.7 km/s,是在地面上发射物体使之挣脱地球引力的最小速度
2.下列有关天体运动的说法正确的是(　　)
A.绕太阳运行的行星,公转轨道半长轴越长,其公转周期就越大
B.在月球绕地球运动中,=k中的T表示地球自转的周期
C.对于任意一个行星,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不一定相等
D.若地球绕太阳运动的轨道半长轴为R1,周期为T1,月球绕地球运动轨道的半长轴为R2,周期为T2,根据开普勒第三定律有=
3.如图所示,“天宫课堂”第三课在中国空间站问天实验舱正式开讲,航天员面向广大青少年进行太空授课.已知问天实验舱每90分钟左右绕地球一圈,其运行轨道视为圆轨道,下列说法正确的是(　　)
A.问天实验舱的线速度略大于第一宇宙速度
B.问天实验舱的角速度比地球同步卫星的大
C.问天实验舱的加速度比地球同步卫星的小
D.图中的三名航天员在实验舱中“静止”不动时处于平衡状态
4.设宇宙中有一自转角速度为ω、半径为R、质量分布均匀的小行星.在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块,在极点处弹簧测力计的示数为F,此处重力加速度为g1;在赤道处弹簧测力计的示数为F,此处重力加速度为g2.下列关系式正确的是(　　)
A.g2=g1 B.F=mω2R
C.F=mω2R D.F=mω2R
5.2024年9月24日,我国全球首个医学遥感卫星(珞珈四号01星)成功发射,卫星在离地面约500 km的高度绕地球做匀速圆周运动;2022年4月15日,我国新一代地球静止轨道通信卫星(中星6D卫星)成功发射,卫星在离地面约3.6×104 km的高度绕地球做匀速圆周运动;地球赤道上有一物体.关于赤道上物体、珞珈四号01星、中星6D卫星,下列说法正确的是(　　)
A.赤道上物体的线速度最大
B.赤道上物体的周期小于中星6D卫星的周期
C.珞珈四号01星的角速度小于中星6D卫星的角速度
D.珞珈四号01星的向心加速度大于中星6D卫星的向心加速度
6.“双星”一词是由弗里德里希·威廉·赫歇尔在1802年所创.根据他的定义,“双星”是指由两颗星体根据万有引力定律组成的一个系统,故宇宙中的两颗相距较近、质量较大的天体称为“双星”.它们以两者连线的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因万有引力的作用吸引在一起.如图,已知一双星系统中a、b两星的距离为L,a、b均绕O点做匀速圆周运动,a、b质量之和为M,O、a间距离为La,且大于O、b间的距离,下列说法正确的是(　　)
A.a的质量为M
B.a的质量为M
C.a与b的线速度相同
D.a的线速度小于b的线速度
7.现有一艘远离行星在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船在短时间Δt内速度的改变量为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略).飞船在某次航行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度v在离星球较高的轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动.已知星球的半径为R,引力常量用G表示.则宇宙飞船和星球的质量分别是(　　)
A.,　　　　　 B.,
C., D.,
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共 18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得 3分,有选错的得0分.
8.2024年4月25日,神舟十八号载人飞船将三名航天员送入太空,飞船入轨后与空间站完成对接,图中轨道Ⅰ为载人飞船运行的椭圆轨道,轨道Ⅱ为空间站运行的圆轨道.两轨道相切于B点,A、B为椭圆轨道Ⅰ的近地点和远地点,C为轨道Ⅱ上一点,C、A、B在同一条直线上,下列说法正确的是(　　)
A.载人飞船的发射速度大于第一宇宙速度
B.载人飞船完成对接,进入轨道Ⅱ后周期变长
C.载人飞船在轨道Ⅰ上B点的加速度大于空间站在轨道Ⅱ上B点的加速度
D.载人飞船在轨道Ⅰ上B点的速度大于空间站在轨道Ⅱ上C点的速度
9.地球可视为质量分布均匀的球体,其半径为R,由于自转的影响,地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同.已知地球表面赤道处的重力加速度大小为g1,两极处的重力加速度大小为g2,引力常量为G,则(　　)
A.g1B.地球的质量为
C.地球的自转周期为2π
D.地球表面各处的重力加速度方向均指向地心
10.“古有司南,今有北斗”,如图甲所示是中国自行研制的全球卫星导航系统.卫星运行状态可视为匀速圆周运动,其运行速度的平方v2与轨道半径r的关系图像如图乙所示,图中R为地球半径,r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径,图中物理量单位均为国际单位,引力常量为G,忽略地球自转,下列说法正确的是(　　)
A.地球的质量为
B.地球的密度为
C.北斗星座GEO卫星的加速度为
D.地球表面的重力加速度为
三、非选择题:本题共5小题,共54分.
11.(7分)卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量.
(1)横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A,旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B,A、B两球表面的最近距离为L,已知引力常量为G,则A、B两球间的万有引力大小为 F=　　　　.
(2)为了测量金属丝极微小的扭转角,该实验装置中采取使“微小量放大”的措施是　 　　.
(多选)
A.增大金属丝直径
B.增大刻度尺与平面镜的距离
C.利用平面镜对光线的反射
D.减小T形架横梁的长度
(3)引力常量的得出具有重大意义,比如:　　　　　　　　　　　　　　.(写出一条即可)
12.(9分)“天宫课堂”第二课中,航天员做了太空抛物实验,物体在空间站上被航天员水平抛出后,并没有像在地面上那样做曲线运动,而是水平飞出去了.
请根据此实验回答以下问题.
(1)关于物体被水平抛出后,做水平运动的原因,以下解释正确的是　　　　.(多选)
A.物体在空间站内不受力的作用
B.物体水平方向不受外力作用
C.物体处于完全失重状态
D.物体随空间站绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力
(2)历史上,牛顿曾提出:若在地球表面的高山上来做平抛实验,把物体抛出,它将落向地面;如果将物体抛出的速度变大,它将会落向更远的地方.如果抛出的速度足够大,它有可能不落回地面,而是绕地球运转.已知地球半径为6.37×103 km,某同学用如下方法推导这一速度:v== m/s=0.463×103 m/s.
其结果与正确值相差很远,这是由于他在近似处理中,错误的假设是　　　　.
A.卫星的轨道是圆的
B.卫星的轨道半径等于地球半径
C.卫星的周期等于地球自转的周期
D.卫星的向心力等于它在地球上受到的地球引力
(3)已知地球表面的重力加速度g=9.8 m/s2,请利用已学习的物理知识求出正确的“足够大的速度”为　　　　 km/s.(结果保留3位有效数字)
13.(10分)随着我国载人航天事业的飞速发展,越来越多的航天员实现了太空旅行,某次飞船返回地面过程的示意图如图所示,飞船到地心的距离为R,其绕地球做匀速圆周运动的周期为T,可以在轨道上的某一点A处,将速率降低到适当数值,从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动,椭圆和地球表面在B点相切.已知地球半径为R0,引力常量为G,地球的质量为M,飞船的质量为m,飞船由A点运动到B点所需的时间为.求:
(1)飞船在A处对地球的万有引力的大小;
(2)地球半径R0与飞船到地心的距离R的比值.
14.(13分)载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标.假设航天员登上月球后,以初速度v0水平抛出一个小球,测得小球经时间t垂直落到倾角为θ的斜坡上.已知引力常量为G,月球的半径为R,不考虑月球自转的影响,求:
(1)月球表面的重力加速度大小;
(2)月球的密度;
(3)人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期T.
15.(15分)如图所示,中子星与恒星伴星构成一个双星系统,在中子星的强大引力下,恒星的物质被中子星吸走,被吸走的物质构成中子星的吸积盘,并在吸积盘中边旋转边向位于吸积盘中心的中子星坠落.吸积过程常伴随着X射线喷发,形成喷流.某时刻,设中子星质量为m1,伴星质量为m2,二者相距L并绕二者的质量中心做角速度相同的匀速圆周运动.引力常量为G.
(1)只考虑中子星与伴星间的万有引力,求此时该双星系统的角速度ω.
(2)研究吸积盘中质量为m的物质并视为小球,在一段不太长的时间内该小球的运动可视为轨道半径为r的匀速圆周运动,只考虑中子星对它的万有引力,求该小球的公转周期T.
(3)将中子星视为以自转周期T0(通常为数毫秒到数十秒)高速自转的半径为R0(通常为几千米)的球体,为保证中子星赤道处的物体被中子星的万有引力拉住而不被“甩出”,求中子星的最小平均密度ρ.第三节　万有引力定律的应用
课时作业
考点一　万有引力和重力的关系
1.(多选)地球绕地轴自转时,对静止在地面上的某一个物体,下列说法正确的是(　　)
A.物体的重力并不等于它随地球自转所需要的向心力
B.在地面上的任何位置,物体向心加速度的大小都相等,方向都指向地心
C.在地面上的任何位置,物体向心加速度的方向都垂直指向地轴
D.物体随地球自转的向心加速度随着地球纬度的减小而增大
2.(2024·甘肃卷,3)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是(　　)
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
3.某科幻影片中,太空电梯高耸入云,在地表与太空间高速穿梭.太空电梯上升到某高度时的重力加速度为g,g为地球表面重力加速度.已知地球半径为R,不考虑地球自转,则此时电梯距离地面的高度为(　　)
A.2R B.R
C.R D.(-1)R
4.2025年4月1日,我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭,以一箭四星的方式,成功将互联网技术试验卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务取得圆满成功.设试验卫星的轨道半径为r,周期为T,地球的半径为R,引力常量为G,则(　　)
A.地球的质量为
B.地球的质量为
C.地球的密度为
D.地球的密度为
5.中子星是一种密度很大的特殊天体.若某中子星恰好能维持不解体,其自转周期为T,已知引力常量为G,则中子星的平均密度为(　　)
A. B. C. D.
6.如图为行星绕太阳运行的图像,某同学对这些行星运行中的物理量进行对比分析,下列说法正确的是(　　)
A.土星比木星的线速度大
B.火星比地球的角速度大
C.金星比水星的向心加速度大
D.土星运行周期最大
7.(2025·广东卷,5)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍.关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
8.国际科研团队发现了两颗距离地球仅100光年的新行星,其中一颗可能适合生命生存.这两颗行星分别是LP890-9b(以下简称行星A)和LP890-9c(以下简称行星B).行星A的半径约为8 370千米,仅需2.7天就能绕恒星C一圈;行星B半径约为8 690千米,8.5天能绕恒星C一圈,行星B到恒星C的距离约为水星与太阳间距离的十分之一,水星的公转周期约为88天.假设行星A、B绕恒星C做匀速圆周运动,则(　　)
A.行星A表面的重力加速度大于行星B表面的重力加速度
B.行星A的公转轨道半径大于行星B的公转轨道半径
C.太阳的质量大于恒星C的质量
D.水星的公转速度大于行星B的公转速度
9.(2024·山东卷,5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行,其24小时椭圆轨道的半长轴为a.已知地球同步卫星的轨道半径为r,则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A. B.
C. D.
10.某星系中有一颗质量分布均匀的行星,其半径为R,将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上,在该行星极地表面静止时,弹簧测力计的示数为F;在赤道表面静止时,弹簧测力计的示数为F.已知引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A.该行星的自转周期为
B.该行星的质量为
C.该行星赤道处的重力加速度为
D.该行星的密度为
11.我国计划在2030年前实现载人登月计划,该计划各项工作进展顺利.假设我国航天员登陆月球后,从月球表面以初速度v0竖直向上抛出一颗小球(可视为质点),经过时间t小球落回到抛出点.已知月球半径为R,引力常量为G,月球无空气且不考虑月球自转.求:
(1)月球表面的重力加速度g月;
(2)月球的质量M;
(3)月球的密度ρ.
12.万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性.
(1)用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力,随称量位置的变化可能会有不同结果.已知地球质量为M,自转周期为T,引力常量为G.将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体,不考虑空气的影响.设在地球北极地面称量时,弹簧测力计的读数是F0.
若在北极上空高出地面h处称量,弹簧测力计读数为F1,求比值的表达式,并就h=1.0%R的情形算出具体数值(结果保留2位有效数字).
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%,而太阳和地球的密度均匀且不变.仅考虑太阳与地球之间的相互作用,以现实地球的1年为标准,计算“设想地球”的1年将变为多长.第二节　认识万有引力定律
课时作业
考点一　对万有引力定律的理解
1.(多选)关于万有引力定律,下列说法正确的是(　　)
A.行星与太阳各自受到对方引力的大小并不相等
B.牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律
C.由F=G可知两物体间距离r增大时,它们之间的引力减小
D.引力常量G值大小与中心天体选择有关
【答案】 BC
【解析】 行星与太阳各自受到对方的万有引力是一对作用力与反作用力,大小相等,A错误;牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律,B正确;由万有引力定律表达式F=G,可知C正确;引力常量G值大小与中心天体选择无关,故D错误.
2.英国物理学家卡文迪许根据放大原理利用扭秤测出了引力常量.下列观点正确的是(　　)
A.引力常量G没有单位
B.卡文迪许用实验的方法证明了万有引力的存在
C.两个质量是1 kg的质点相距1 m时,万有引力的大小为6 367 N
D.在土星和地球上引力常量G的数值是不同的
【答案】 B
【解析】 根据万有引力定律公式F=G可知,引力常量G有单位,为N·m2/kg2,故A错误;卡文迪许用实验的方法证明了万有引力的存在,并测出了引力常量的数值,故B正确;两个质量是1 kg的质点相距1 m时,根据万有引力定律公式F=G,求得它们之间的万有引力的大小为 6.67×10-11 N,故C错误;引力常量G的数值对所有物体都是一样的,故D错误.
考点二　万有引力定律的应用
3.甲、乙两个质点间的万有引力大小为F,若甲、乙两物体的质量均增加到原来的2倍,同时它们之间的距离也增加到原来的2倍,则甲、乙两物体间的万有引力大小将为(　　)
A.8F B.4F C.F D.
【答案】 C
【解析】 根据万有引力定律公式F=G得,甲、乙两物体的质量均增加到原来的2倍,同时它们之间的距离也增加到原来的2倍,则万有引力为 F′=G=F,故选C.
4.天问一号巡视器成功登陆火星是中国太空探索能力的一个划时代的突破.用h表示着陆器与火星表面的距离,用F表示它所受的火星引力大小,则在着陆器从火星上空向火星表面软着陆的过程中,能够描述F随h变化关系的大致图像是(　　)
A 　 B　 C 　 D
【答案】 C
【解析】 由万有引力定律可得F=G,对比图线可知,C正确.
5.已知火星质量为地球质量的k倍,其半径为地球半径的p倍,由此可知同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 设物体的质量为m,根据万有引力得在地球表面受到的引力为F=G,在火星表面,同理有F′=G=G=G,故同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为 =,故选B.
6.(多选)要使两物体(可看成质点)间的万有引力减小为原来的,以下可行的是(　　)
A.使两物体的质量各减小一半,距离不变
B.使其中一个物体的质量减小为原来的,距离不变
C.使两物体间的距离和质量都减小为原来的
D.使两物体间的距离增大为原来的2倍,质量不变
【答案】 ABD
【解析】 根据万有引力公式F=G可知,两物体的质量各减小一半,距离不变,两质点间的万有引力减小为原来的,故A正确;使其中一个物体的质量减小为原来的,距离不变,两质点之间的万有引力将减小为原来的,故 B正确;使两物体间的距离和质量都减小为原来的,两物体间的万有引力不变,故C错误;使两物体间的距离增大为原来的2倍,质量不变,两物体之间的万有引力将减小为原来的,故D正确.
7.假设天问一号着陆巡视器质量为m,其在火星表面着陆前的动力减速阶段可视为在竖直方向做匀变速直线运动,着陆巡视器制动打开后,会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程.已知火星半径约为地球半径的二分之一,火星质量约为地球质量的十分之一,地球表面的重力加速度为g,忽略火星大气阻力.求:
(1)火星表面的重力加速度大小;
(2)着陆巡视器在火星表面着陆前的动力减速阶段受到的制动力大小.
【答案】 (1)g　(2)+
【解析】 (1)由万有引力定律可知=m2g,
解得g=,
则火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值==,
即火星表面的重力加速度g火=g.
(2)着陆巡视器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动,
由v0-at0=0,可得a=,
由牛顿第二定律有F-mg火=ma,
解得此过程中着陆巡视器受到的制动力大小
F=+.
8.2024年5月8日,嫦娥六号探测器进入环月轨道,为登陆月球做准备.已知月球质量为地球质量的,月球半径为地球半径的,不考虑地球和月球的自转,嫦娥六号在月球表面受到的月球引力为在地球表面受到地球引力的(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 嫦娥六号在月球表面受到月球引力与在地球表面受到地球引力之比为==,故选C.
9.如图所示,三个质量均为M的球分别位于四分之三圆环、半圆环和完整圆环的圆心处,四分之三圆环、半圆环分别是由与图丙中相同的完整圆环截去四分之一和一半所得,环的粗细忽略不计,若图甲中环对球的万有引力大小为F,则图乙、图丙中环对球的万有引力大小分别为(　　)
A.F,2F B.F,0
C.F,0 D.F,F
【答案】 B
【解析】 将题图甲中的四分之三圆环分成3个四分之一圆环,则由对称性可知,四分之三圆环对球的万有引力等于其中的一个四分之一圆环对球的引力,则每个四分之一圆环对球的引力大小均为F;题图
乙中半圆环对球的引力大小为F乙==F,题图丙中由对称性可知,整个圆环对球的万有引力为0.故选B.
10.质量相同的a、b两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动.a卫星是地球同步卫星,b卫星绕地球运动的周期约为3小时.则b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的(　　)
A.1倍 B.8倍 C.16倍 D.27倍
【答案】 C
【解析】 由于两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动,根据开普勒第三定律有=,可知a、b卫星的轨道半径之比为=()=4,根据万有引力定律可知F=G,则a、b卫星受地球的引力大小之比为==,b卫星受地球的引力大小约是a卫星受地球引力大小的16倍.故选C.
11.月球对地球的引力是造成潮汐的主要原因.如图所示,当月球在某个位置时,它对地球上最近的那部分海洋有较强的引力作用,导致海水向月球方向隆起,形成高潮.已知地球质量为M,地球半径为R,地球自转周期为T,月球质量为m,月球到地球的距离为r,引力常量为G,取地月连线上靠近月球一侧的地球表面上质量为m0的小水球作为研究对象,求:
(1)小水球绕地心做圆周运动的向心力大小;
(2)月球对小水球的引力大小与地球对小水球的引力大小之比.
【答案】 (1)m0R　(2)
【解析】 (1)地球表面上质量为m0的小水球,随地球自转,半径为R,周期为T,则向心力为
F=m0()2R=m0R.
(2)月球对小水球的引力为
F1=,
地球对小水球的引力为F2=,
联立可得=.第一节　认识天体运动
课时作业
考点一　对开普勒定律的理解
1.开普勒研究火星轨道时,多次按行星绕太阳做匀速圆周运动的观点来计算的结果都与第谷的观测数据有所误差,据此推理出行星的运动并非匀速圆周运动,最终推理出了行星运动的三个定律.下列关于开普勒行星运动定律的说法正确的是(　　)
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,且太阳处于椭圆的中心处
B.同一行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
C.开普勒行星运动定律只适用于做椭圆运动的行星
D.开普勒行星运动定律的基础是地心说
【答案】 B
【解析】 根据开普勒第一定律知,所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上,故A错误;根据开普勒第二定律可知,同一行星与太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积,故 B正确;开普勒行星运动定律既适用于做椭圆运动的行星,也适用于绕天体做圆周运动的其他物体或行星,例如卫星绕行星的圆周运动,故C错误;开普勒行星运动定律建立在哥白尼的日心说上,故D错误.
2.(多选)百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星,它的近日点离太阳约0.1 AU,运行周期很长(200年以上).已知地球的轨道半径为1 AU,只考虑行星与太阳间的作用力,下列说法正确的是(　　)
A.百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大
B.百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径
C.太阳处在百武彗星椭圆轨道的中心点上
D.在远离太阳的过程中,百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
【答案】 AB
【解析】 由开普勒第二定律可知百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大,故A正确;根据开普勒第三定律=k,由于百武彗星运行的周期大于地球公转周期,所以百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径,故B正确;太阳处在百武彗星椭圆轨道的一个焦点上,故C错误;由开普勒第二定律可知在远离太阳的过程中,百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变,故D错误.
3.在国际气象界,二十四节气被誉为“中国的第五大发明”.二十四节气代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置.地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处如图所示的四个位置分别对应我国的四个节气,以下关于地球的运行说法正确的是(　　)
A.冬至时地球公转速度最小
B.从夏至到秋分的时间大于地球公转周期的四分之一
C.地球做匀速率椭圆轨道运动
D.地球绕太阳运行方向是顺时针方向
【答案】 B
【解析】 根据开普勒第二定律可知冬至时地球公转速度最大,故A错误;地球绕太阳做椭圆轨道运动,地球运行速度在近日点最快,远日点最慢,地球从夏至到秋分的时间大于地球公转周期的四分之一,故B正确,C错误;地球绕太阳运行方向是逆时针方向,故D错误.
4.(多选)关于开普勒行星运动定律,下列说法正确的是(　　)
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上
B.地球绕太阳在椭圆轨道上运行,近日点速率小于远日点速率
C.开普勒第三定律=k,T代表行星运动的公转周期
D.开普勒第三定律=k,k与中心天体有关
【答案】 ACD
【解析】 由开普勒第一定律可知,所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上,故A正确;由开普勒第二定律可知,地球绕太阳在椭圆轨道上运行,在近日点速率大于在远日点速率,故B错误;在开普勒第三定律中T代表行星的公转周期,故C正确;在开普勒第三定律中k与中心天体有关,故D正确.
考点二　开普勒定律的应用
5.如图所示,土星沿椭圆轨道运行,在远日点离太阳的距离为a,在近日点离太阳的距离为b,过近日点时土星的速率为vb,则过远日点时土星的速率为(　　)
A.vb B.vb
C.vb D.vb
【答案】 A
【解析】 由开普勒第二定律可知,太阳和土星的连线在相等时间内扫过的面积相等,取足够短的时间Δt,则土星Δt时间内在远日点和近日点转过的弧长分别为la=vaΔt,lb=vbΔt,由扇形面积公式S=lr,可得ala=blb,联立解得va=vb,故A正确,B、C、D错误.
6.飞船和空间站分离之后,会通过调姿、制动、减速等操作从原飞行轨道进入返回轨道.假设飞船在离地面高度为h的圆轨道上运行的周期为T,并由此圆轨道经过调整进入近地点离地面高度为 0.6h 的椭圆轨道.若已知地球半径为9h,9.83=941.192;取=0.97,则飞船在此椭圆轨道运行的周期为(　　)
A.0.97T B.0.94T
C.0.95T D.0.96T
【答案】 A
【解析】 由题意可知,飞船在椭圆轨道的半长轴a==9.8h,设飞船在此椭圆轨道的周期为T1,由开普勒第三定律得=,解得T1=0.97T,故A正确.
7.木星有4颗卫星是伽利略发现的,称为伽利略卫星,其中两颗卫星绕木星做圆周运动的周期之比为1∶4,则这两颗卫星的轨道半径之比为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 卫星绕木星做圆周运动,根据开普勒第三定律有=,解得=,故选D.
8.某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆,每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上,如图所示,该行星与地球的公转半径之比为(　　)
A.() B.()
C.() D.()
【答案】 A
【解析】 由题图可知,行星的轨道半径大,由开普勒第三定律知其周期长,每过N年,该行星会运行到日地连线的延长线上,则满足N-N=2π,得行星的周期T行=年,根据开普勒第三定律有=,解得=(),故选A.
9.南山—哈恩彗星是被新疆南山观测站和德国天文学家哈恩共同发现的一颗新彗星.如图所示,已知该彗星的近日点接近火星轨道,远日点接近木星轨道,火星、木星的公转轨道半径分别为地球公转轨道半径的p倍和q倍,则南山—哈恩彗星的运动周期为(　　)
A.(p+q年 B.(p+q年
C.()年 D.()年
【答案】 C
【解析】 假设地球公转轨道半径为R,则彗星的公转轨道半长轴为a=R,运用开普勒第三定律分析地球和彗星,有=,联立解得T彗=()T地=()年.故选C.
10.(多选)如图所示,土卫一(M)和土卫二(E)是土星(S)的两个卫星,土卫二绕土星的公转半径约为土卫一公转半径的2倍,某一时刻两卫星呈如图所示位置,且公转方向均为逆时针方向.则在土卫一公转一周的时间内,关于两卫星的位置关系,下列图像大致正确的是(　　)
A　 　B
C　　 D
【答案】 AD
【解析】 由开普勒第三定律可知=,其中 rE=2rM,解得TE=2TM,在土卫一公转一周的时间内,土卫二公转了==0.35圈,在土卫一公转半周的时间内,土卫二公转了·=0.18圈,故选AD.
11.早在2 000多年前,《吕氏春秋》中就有关于火星的记载,表明我国对火星的探索历史悠久,至今都未停止.当地球与火星的距离最近时,如图所示,这种现象在天文学中被称为“火星冲日”,已知火星公转半径约为地球公转半径的1.5倍,地球的公转周期T=1年,取 =1.7,=1.4,结果均保留2位有效数字.求:
(1)火星公转周期T火;
(2)相邻两次“火星冲日”的时间间隔Δt.
【答案】 (1)1.8年　(2)2.3年
【解析】 (1)由开普勒第三定律有=,
解得T火=T≈1.8年.
(2)由题意可知该段时间内地球比火星多运动一圈,N地-N火=1,其中N地=,N火=,
联立解得Δt≈2.3年.
12.如图所示,一颗近地卫星轨道半径近似等于地球半径R,另一颗卫星轨道是椭圆,与近地圆轨道相切于A点,远地点B与地心的距离是3R,已知引力常量为G.求:
(1)近地卫星与椭圆轨道卫星周期的比值;
(2)椭圆轨道上卫星在近地点A和远地点B的线速度大小的比值.
【答案】 (1)　(2)3
【解析】 (1)根据开普勒第三定律,有=,
根据题意,有r1=R,r2==2R,
解得=.
(2)根据开普勒第二定律,有SA=SB,
即vA·Δt·R=vB·Δt·3R,
所以==3.万有引力定律　检测试题
(时间:75分钟;满分:100分)
一、单项选择题:本题共7小题,每小题4分,共 28分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.探索宇宙的奥秘,奔向广阔而遥远的太空,是人类自古以来的梦想.关于宇宙速度,下列说法正确的是(　　)
A.在地面发射飞行器,发射速度必须小于第一宇宙速度
B.第一宇宙速度是卫星在地面附近环绕地球做圆周运动的速度
C.第二宇宙速度的数值是7.9 km/s,是在地面上发射物体使之挣脱地球引力的最小速度
D.第三宇宙速度的数值是16.7 km/s,是在地面上发射物体使之挣脱地球引力的最小速度
【答案】 B
【解析】 第一宇宙速度是地面发射飞行器的最小速度,是卫星在地面附近环绕地球做圆周运动的速度,A错误,B正确;第二宇宙速度的数值是11.2 km/s,是在地面上发射物体使之挣脱地球引力的最小速度,C错误;第三宇宙速度的数值是 16.7 km/s,是在地面上发射物体使之挣脱太阳引力的最小速度,D错误.
2.下列有关天体运动的说法正确的是(　　)
A.绕太阳运行的行星,公转轨道半长轴越长,其公转周期就越大
B.在月球绕地球运动中,=k中的T表示地球自转的周期
C.对于任意一个行星,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不一定相等
D.若地球绕太阳运动的轨道半长轴为R1,周期为T1,月球绕地球运动轨道的半长轴为R2,周期为T2,根据开普勒第三定律有=
【答案】 A
【解析】 由开普勒第三定律=k可知,行星公转轨道半长轴越长,其公转周期越大,故A正确,B错误;根据开普勒第二定律,对于任意一个行星,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积,故C错误;开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动,也适用于卫星绕行星的运动,但不同的中心天体,对应k值不同,故D错误.
3.如图所示,“天宫课堂”第三课在中国空间站问天实验舱正式开讲,航天员面向广大青少年进行太空授课.已知问天实验舱每90分钟左右绕地球一圈,其运行轨道视为圆轨道,下列说法正确的是(　　)
A.问天实验舱的线速度略大于第一宇宙速度
B.问天实验舱的角速度比地球同步卫星的大
C.问天实验舱的加速度比地球同步卫星的小
D.图中的三名航天员在实验舱中“静止”不动时处于平衡状态
【答案】 B
【解析】 第一宇宙速度是航天器围绕地球表面运动的最大环绕速度,所以线速度小于第一宇宙速度,A错误;问天实验舱周期小于地球同步卫星周期,所以问天实验舱的角速度比地球同步卫星的大,B正确;根据万有引力提供向心力,有G=m()2r=ma,得r=,
a=,可知问天实验舱轨道半径小于同步卫星轨道半径,所以问天实验舱的加速度大于地球同步卫星的加速度,C错误;航天员在实验舱中“静止”不动,只是相对实验舱静止,航天员所受地球的万有引力提供做匀速圆周运动的向心力,所以不是平衡状态,D错误.
4.设宇宙中有一自转角速度为ω、半径为R、质量分布均匀的小行星.在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块,在极点处弹簧测力计的示数为F,此处重力加速度为g1;在赤道处弹簧测力计的示数为F,此处重力加速度为g2.下列关系式正确的是(　　)
A.g2=g1 B.F=mω2R
C.F=mω2R D.F=mω2R
【答案】 B
【解析】 在极点处有F=mg1,在赤道处有F=mg2可知 g2≠g1,故A错误;根据万有引力和重力的关系有F-F=mω2R,联立解得F=mω2R,故B正确,C、D错误.
5.2024年9月24日,我国全球首个医学遥感卫星(珞珈四号01星)成功发射,卫星在离地面约500 km的高度绕地球做匀速圆周运动;2022年4月15日,我国新一代地球静止轨道通信卫星(中星6D卫星)成功发射,卫星在离地面约3.6×104 km的高度绕地球做匀速圆周运动;地球赤道上有一物体.关于赤道上物体、珞珈四号01星、中星6D卫星,下列说法正确的是(　　)
A.赤道上物体的线速度最大
B.赤道上物体的周期小于中星6D卫星的周期
C.珞珈四号01星的角速度小于中星6D卫星的角速度
D.珞珈四号01星的向心加速度大于中星6D卫星的向心加速度
【答案】 D
【解析】 赤道上物体与中星6D卫星的角速度相等,由v=ωr,可知中星6D卫星的线速度大于赤道上物体的线速度,由G=m,可得v=,珞珈四号01星的轨道半径比中星6D卫星的轨道半径小,可知珞珈四号01星的线速度比中星6D卫星的线速度大,所以珞珈四号01星的线速度最大,故A错误;赤道上物体的周期等于中星6D卫星的周期,故B错误;由G=mω2r,可得ω=,由于珞珈四号01星的轨道半径比中星6D卫星的轨道半径小,所以珞珈四号01星的角速度大于中星6D卫星的角速度,故C错误;由G=ma,解得a=,由于珞珈四号01星的轨道半径比中星6D卫星的轨道半径小,所以珞珈四号01星的向心加速度大于中星6D卫星的向心加速度,故D正确.
6.“双星”一词是由弗里德里希·威廉·赫歇尔在1802年所创.根据他的定义,“双星”是指由两颗星体根据万有引力定律组成的一个系统,故宇宙中的两颗相距较近、质量较大的天体称为“双星”.它们以两者连线的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因万有引力的作用吸引在一起.如图,已知一双星系统中a、b两星的距离为L,a、b均绕O点做匀速圆周运动,a、b质量之和为M,O、a间距离为La,且大于O、b间的距离,下列说法正确的是(　　)
A.a的质量为M
B.a的质量为M
C.a与b的线速度相同
D.a的线速度小于b的线速度
【答案】 B
【解析】 双星绕连线上的一点做匀速圆周运动,其角速度相同,由两者之间的万有引力提供向心力,有F=maω2La=mbω2(L-La),ma+mb=M,解得ma=M,故A错误,B正确;两者角速度相同,a的半径大,v=ωr,则a的线速度大于b的线速度,故C、D错误.
7.现有一艘远离行星在太空中直线飞行的宇宙飞船,为了测量自身质量,启动推进器,测出飞船在短时间Δt内速度的改变量为Δv和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略).飞船在某次航行中,当它飞近一个孤立的星球时,飞船能以速度v在离星球较高的轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动.已知星球的半径为R,引力常量用G表示.则宇宙飞船和星球的质量分别是(　　)
A.,　　　　　 B.,
C., D.,
【答案】 D
【解析】 根据牛顿第二定律可知F=ma=m,所以m=,飞船做圆周运动的周期T=,得半径为r=,根据万有引力提供向心力可得 G=m,得M=,故选D.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共 18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得 3分,有选错的得0分.
8.2024年4月25日,神舟十八号载人飞船将三名航天员送入太空,飞船入轨后与空间站完成对接,图中轨道Ⅰ为载人飞船运行的椭圆轨道,轨道Ⅱ为空间站运行的圆轨道.两轨道相切于B点,A、B为椭圆轨道Ⅰ的近地点和远地点,C为轨道Ⅱ上一点,C、A、B在同一条直线上,下列说法正确的是(　　)
A.载人飞船的发射速度大于第一宇宙速度
B.载人飞船完成对接,进入轨道Ⅱ后周期变长
C.载人飞船在轨道Ⅰ上B点的加速度大于空间站在轨道Ⅱ上B点的加速度
D.载人飞船在轨道Ⅰ上B点的速度大于空间站在轨道Ⅱ上C点的速度
【答案】 AB
【解析】 人造卫星的最小发射速度为第一宇宙速度,发射的轨道越高需要的发射速度越大,所以载人飞船的发射速度大于第一宇宙速度,A正确;载人飞船完成对接进入轨道Ⅱ,根据开普勒第三定律=,由于a9.地球可视为质量分布均匀的球体,其半径为R,由于自转的影响,地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同.已知地球表面赤道处的重力加速度大小为g1,两极处的重力加速度大小为g2,引力常量为G,则(　　)
A.g1B.地球的质量为
C.地球的自转周期为2π
D.地球表面各处的重力加速度方向均指向地心
【答案】 AC
【解析】 设地球质量为M,地球的自转周期为T,质量为m的物体在地球表面赤道处有G-mg1=mR,质量为m的物体在两极处有G=mg2,可得g110.“古有司南,今有北斗”,如图甲所示是中国自行研制的全球卫星导航系统.卫星运行状态可视为匀速圆周运动,其运行速度的平方v2与轨道半径r的关系图像如图乙所示,图中R为地球半径,r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径,图中物理量单位均为国际单位,引力常量为G,忽略地球自转,下列说法正确的是(　　)
A.地球的质量为
B.地球的密度为
C.北斗星座GEO卫星的加速度为
D.地球表面的重力加速度为
【答案】 AC
【解析】 根据万有引力提供向心力,有G=m,解得M==,故A正确;根据ρ=,V=
πR3,联立得地球的密度ρ=,故B错误;根据牛顿第二定律G=ma,解得a==,故C正确;在地球表面,物体所受万有引力等于重力有G=mg,所以地球表面的重力加速度为g=,故D错误.
三、非选择题:本题共5小题,共54分.
11.(7分)卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量.
(1)横梁一端固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A,旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B,A、B两球表面的最近距离为L,已知引力常量为G,则A、B两球间的万有引力大小为 F=　　　　.
(2)为了测量金属丝极微小的扭转角,该实验装置中采取使“微小量放大”的措施是　 　　.
(多选)
A.增大金属丝直径
B.增大刻度尺与平面镜的距离
C.利用平面镜对光线的反射
D.减小T形架横梁的长度
(3)引力常量的得出具有重大意义,比如:　　　　　　　　　　　　　　.(写出一条即可)
【答案】 (1)　(2)BC　(3)见解析
【解析】 (1)根据万有引力定律可得F=.
(2)该实验装置中采取使“微小量放大”的方法,其中利用平面镜对光线的反射,来显示微小形变,当增大刻度尺与平面镜的距离时,扭转角度更明显,故B、C正确.
(3)引力常量的普适性证明了万有引力定律的正确性(或引力常量的得出使得可以定量计算万有引力的大小或引力常量的得出使得人们可以方便地计算出地球的质量).
12.(9分)“天宫课堂”第二课中,航天员做了太空抛物实验,物体在空间站上被航天员水平抛出后,并没有像在地面上那样做曲线运动,而是水平飞出去了.
请根据此实验回答以下问题.
(1)关于物体被水平抛出后,做水平运动的原因,以下解释正确的是　　　　.(多选)
A.物体在空间站内不受力的作用
B.物体水平方向不受外力作用
C.物体处于完全失重状态
D.物体随空间站绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力
(2)历史上,牛顿曾提出:若在地球表面的高山上来做平抛实验,把物体抛出,它将落向地面;如果将物体抛出的速度变大,它将会落向更远的地方.如果抛出的速度足够大,它有可能不落回地面,而是绕地球运转.已知地球半径为6.37×103 km,某同学用如下方法推导这一速度:v== m/s=0.463×103 m/s.
其结果与正确值相差很远,这是由于他在近似处理中,错误的假设是　　　　.
A.卫星的轨道是圆的
B.卫星的轨道半径等于地球半径
C.卫星的周期等于地球自转的周期
D.卫星的向心力等于它在地球上受到的地球引力
(3)已知地球表面的重力加速度g=9.8 m/s2,请利用已学习的物理知识求出正确的“足够大的速度”为　　　　 km/s.(结果保留3位有效数字)
【答案】 (1)CD　(2)C　(3)7.90
【解析】 (1)物体在空间站内受地球的万有引力作用,A错误;物体做水平运动的原因,与水平方向是否受外力无关,B错误;物体随空间站绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,处于完全失重状态,并由于万有引力指向地心,则物体水平方向不受外力作用,C、D正确.
(2)如果抛出的速度足够大,它有可能不落回地面,而是绕地球运转,由万有引力提供向心力,做匀速圆周运动,A、D假设正确,不符合题意;由于山的高度远小于地球的半径,则该卫星的轨道半径可视为等于地球半径,B假设正确,不符合题意;由于山的高度远小于地球的半径,则该卫星的轨道半径可视为等于地球半径,则该卫星为近地卫星,而只有地球同步卫星的周期才等于地球自转的周期,C假设错误,符合题意.
(3)由于山的高度远小于地球的半径,则该卫星的轨道半径可视为等于地球半径,则该卫星为近地卫星,有 G=m,在地球表面有G=mg,整理得v== m/s
≈7.90 km/s.
13.(10分)随着我国载人航天事业的飞速发展,越来越多的航天员实现了太空旅行,某次飞船返回地面过程的示意图如图所示,飞船到地心的距离为R,其绕地球做匀速圆周运动的周期为T,可以在轨道上的某一点A处,将速率降低到适当数值,从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动,椭圆和地球表面在B点相切.已知地球半径为R0,引力常量为G,地球的质量为M,飞船的质量为m,飞船由A点运动到B点所需的时间为.求:
(1)飞船在A处对地球的万有引力的大小;
(2)地球半径R0与飞船到地心的距离R的比值.
【答案】 (1)G　(2)-1
【解析】 (1)飞船在A处对地球的万有引力的大小
F=G.
(2)飞船由A点运动到B点所需的时间为,则飞船沿椭圆轨道运动周期为T′=,
根据题意得椭圆轨道的半长轴a=,
根据开普勒第三定律得=,
联立得=-1.
14.(13分)载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标.假设航天员登上月球后,以初速度v0水平抛出一个小球,测得小球经时间t垂直落到倾角为θ的斜坡上.已知引力常量为G,月球的半径为R,不考虑月球自转的影响,求:
(1)月球表面的重力加速度大小;
(2)月球的密度;
(3)人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期T.
【答案】 (1)　(2)
(3)2π
【解析】 (1)以初速度v0水平抛出一个小球,测得小球经时间t垂直落到倾角为θ的斜坡上,则有
tan θ=,vy=gt,
解得月球表面的重力加速度g=.
(2)假设月球表面一物体质量为m,
有G=mg,
又M=ρ·πR3,
联立解得月球的密度为ρ=.
(3)人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期等于卫星靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期,由万有引力提供向心力有
G=mR,
联立解得T=2π.
15.(15分)如图所示,中子星与恒星伴星构成一个双星系统,在中子星的强大引力下,恒星的物质被中子星吸走,被吸走的物质构成中子星的吸积盘,并在吸积盘中边旋转边向位于吸积盘中心的中子星坠落.吸积过程常伴随着X射线喷发,形成喷流.某时刻,设中子星质量为m1,伴星质量为m2,二者相距L并绕二者的质量中心做角速度相同的匀速圆周运动.引力常量为G.
(1)只考虑中子星与伴星间的万有引力,求此时该双星系统的角速度ω.
(2)研究吸积盘中质量为m的物质并视为小球,在一段不太长的时间内该小球的运动可视为轨道半径为r的匀速圆周运动,只考虑中子星对它的万有引力,求该小球的公转周期T.
(3)将中子星视为以自转周期T0(通常为数毫秒到数十秒)高速自转的半径为R0(通常为几千米)的球体,为保证中子星赤道处的物体被中子星的万有引力拉住而不被“甩出”,求中子星的最小平均密度ρ.
【答案】 (1)　(2)2πr　(3)
【解析】 (1)设中子星和伴星做匀速圆周运动的半径分别为r1和r2,则r1+r2=L,
二者之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力,即G=m1ω2r1=m2ω2r2,
联立以上两式解得
ω=.
(2)对小球根据牛顿第二定律有
G=mr,
解得T=2πr.
(3)当赤道处质量为m′的物体恰好不被甩出时,中子星质量有最小值mmin,根据牛顿第二定律有
G=m′R0,
解得mmin=,
中子星的体积为V=π,
所以中子星的最小平均密度为
ρ==.

展开更多......

收起↑