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章末小结（第二十一章）
考点1?　多边形的内角和与外角和
1．（贵州期末）已知一个多边形的边数为a.
(1)若该多边形的内角和的比外角和多90°，求a的值；
(2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为108°，求a的值．
考点2?　平行四边形的判定与性质
2．（山东泰安泰山区期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC；⑤∠AEO＝60°.其中成立的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点3?　三角形的中位线
3．（河北邯郸魏县期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线DP与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为 ．
4．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ．
考点4?　矩形的判定与性质
5．
（河北邯郸临漳县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 cm.
6．（四川乐山中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB边上任意一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC，BC于点E，F，连接EF.
(1)求证：四边形ECFD是矩形；
(2)若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．
考点5?　菱形的判定与性质
7．（黑龙江绥化中考）如图，四边形ABCD是菱形， CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )
A． B．6 C． D．12
8．（河北保定清苑区期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD的交点为O，且DB平分∠ADC，E为边BC的中点，连接OE，AE，AE与BD的交点为F.
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若∠COE＝60°，求∠AFB的度数．
考点6?　正方形的判定与性质
9．（重庆中考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE＝DF＝1，则DM的长度为( )
A．2 B． C． D．
10．（陕西渭南韩城市期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH.
(1)求证：AK＝AH；
(2)求证：四边形AKFH是正方形；
(3)若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
考点7?　梯形
11．如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的空地，其中AD∥BC，∠B＝∠BCD，其各边中点分别是E，F，G，H，测得对角线AC＝10 m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是( )
A．40 m B．30 m
C．20 m D．10 m
12．（河北邯郸广平县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝30 cm，BC＝36 cm，AB＝8 cm，动点P从A点开始沿AD边以2 cm/s的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3 cm/s的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
(2)当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
(3)问：四边形PQCD是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．章末小结（第二十一章）
考点1?　多边形的内角和与外角和
1．（贵州期末）已知一个多边形的边数为a.
(1)若该多边形的内角和的比外角和多90°，求a的值；
(2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为108°，求a的值．
(1)由题意，得(a－2)·180°－360°＝90°，
解得a＝12.
(2)由题意，可得108°a＝(a－2)·180°，
解得a＝5.
考点2?　平行四边形的判定与性质
2．（山东泰安泰山区期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC；⑤∠AEO＝60°.其中成立的个数是(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
考点3?　三角形的中位线
3．（河北邯郸魏县期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线DP与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝4，CD＝7，则EO的长为1.5．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AD＝4，CD＝7，∴AB∥CD，OB＝OD，AB＝CD＝7，
∴∠APD＝∠CDP.
∵∠ADC的平分线与边AB相交于点P，∴∠ADP＝∠CDP，∴∠APD＝∠ADP，∴AP＝AD＝4，∴PB＝AB－AP＝7－4＝3.
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO＝PB＝1.5.
4．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是菱形；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是矩形；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是正方形．
(1)如图，连接AC.
∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理可得GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)如图，连接 BD.
∵E，H分别为AB，AD的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD.
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形；当四边形ABCD变成矩形时，AC＝BD，∴EF＝EH，它的中点四边形是菱形；
当四边形ABCD变成菱形时，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，∴它的中点四边形是矩形；
当四边形 ABCD变成正方形时，AC＝BD，AC⊥BD，∴EF＝EH, EF⊥EH，
∴它的中点四边形是正方形．
考点4?　矩形的判定与性质
5．
（河北邯郸临漳县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为cm.
如图，连接CD.
∵∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AB＝＝＝10(cm).
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠DFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，∴EF＝CD.
由垂线段最短，可知当CD⊥AB时，线段CD的值最小，即EF最小，此时，S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，
即×10·CD＝×6×8，解得CD＝，
∴线段EF的最小值为 cm.
6．（四川乐山中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB边上任意一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC，BC于点E，F，连接EF.
(1)求证：四边形ECFD是矩形；
(2)若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离．
(1)∵FD∥CA，BC∥DE，
∴四边形ECFD为平行四边形．又∵∠C＝90°，
∴四边形ECFD为矩形．
(2)如图，过点C作CH⊥EF于点H.
在Rt△ECF中，CF＝2，CE＝4，
∴EF＝＝＝2.
∵S△ECF＝CF·CE＝EF·CH，
∴CH＝＝，
∴点C到EF的距离为.
考点5?　菱形的判定与性质
7．（黑龙江绥化中考）如图，四边形ABCD是菱形， CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是(A)
A． B．6 C． D．12
∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，
∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°.
在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝＝＝3，∴AC＝2OC＝6.∵菱形ABCD的面积＝AE·BC＝BD·AC＝OB·AC，
∴AE＝＝＝.
8．（河北保定清苑区期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD的交点为O，且DB平分∠ADC，E为边BC的中点，连接OE，AE，AE与BD的交点为F.
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若∠COE＝60°，求∠AFB的度数．
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC，
∴∠CBD＝∠BDC，∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，即∠BOC＝90°.
∵E为边BC的中点，∴OE＝BC＝CE，
∴∠OCB＝∠COE＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，
∴∠OBC＝90°－60°＝30°.
∵∠AFB是△BEF的一个外角，
∴∠AFB＝∠AEB＋∠OBC＝90°＋30°＝120°.
考点6?　正方形的判定与性质
9．（重庆中考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M.若BE＝DF＝1，则DM的长度为(D)
A．2 B． C． D．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(SAS)，∴AE＝AF.
∵AM 平分∠EAF，∴∠EAM＝∠FAM.
在△AEM和△AFM中，
∴△AEM≌△AFM(SAS)，∴EM＝FM.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°.
设DM＝x，则MC＝CD－DM＝4－x，CE＝BC－BE＝4－1＝3，EM＝FM＝FD＋DM＝1＋x.
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2＋CE2，即(1＋x)2＝(4－x)2＋32，解得x＝.
10．（陕西渭南韩城市期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝BK＝CE，连接AK，KF，HF，AH.
(1)求证：AK＝AH；
(2)求证：四边形AKFH是正方形；
(3)若四边形AKFH的面积为10，CE＝1，求点A，E之间的距离．
(1)∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF.
∵DH＝CE＝BK，∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB.
在△ADH和△ABK中，
∴△ADH≌△ABK(SAS)，∴AK＝AH；
(2)∵△ADH≌△ABK，
∴∠HAD＝∠BAK.
∴∠HAK＝90°，
同理，可得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH，
∴AH＝AK＝HF＝FK，
∴四边形AKFH是正方形；
(3)∵四边形AKFH的面积为10，
∴KF＝.
∵EF＝CE＝1，∴KE＝＝＝3，
∴AB＝KE＝3.
∵BK＝EF＝1，∴BE＝BK＋KE＝4，
∴AE＝＝＝5，
故点A，E之间的距离为5.
考点7?　梯形
11．如图，某花木场有一块如四边形ABCD形状的空地，其中AD∥BC，∠B＝∠BCD，其各边中点分别是E，F，G，H，测得对角线AC＝10 m，现想利用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆的总长度是(C)
A．40 m B．30 m
C．20 m D．10 m
如图，过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则∠DCB＝∠AMB.
∵∠DCB＝∠ABC，
∴∠AMB＝∠ABC，∴AM＝AB.
∵AD∥BC，AM∥DC，
∴四边形AMCD是平行四边形，
∴AM＝DC，∴AB＝DC.
在△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴AC＝BD＝10 m.
∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，
∴GH＝EF＝AC＝5 m，
EH＝FG＝BD＝5 m，
∴四边形EFGH是菱形，
则篱笆的总长度为4GH＝4×5＝20(m).
12．（河北邯郸广平县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝30 cm，BC＝36 cm，AB＝8 cm，动点P从A点开始沿AD边以2 cm/s的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3 cm/s的速度向点B运动，P，Q分别从A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
(2)当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
(3)问：四边形PQCD是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．
根据题意，得AP＝2t cm，CQ＝3t cm.
∵AD＝30 cm，BC＝36 cm，AB＝8 cm，
∴DP＝AD－AP＝(30－2t)cm，BQ＝(36－3t)cm；
(1)∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴2t＝36－3t，解得t＝7.2，
∴当t＝7.2时，四边形ABQP是矩形．
(2)∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，∴30－2t＝3t，解得t＝6，
∴当t＝6时，四边形PQCD是平行四边形．
(3)不可能．理由如下：若四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD是平行四边形．
根据(2)得t＝6 s ，∴PD＝30－2t＝30－12＝18(cm).
如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE＝AD＝30 cm，
∴EC＝BC－BE＝36－30＝6(cm)，DE＝AB＝8 cm，
∴DC＝＝10≠PD，
∴四边形 PQCD不可能是菱形．

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