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18．4　图形的运动与坐标
第1课时　用坐标表示平移
知识点1?　用坐标表示左右平移
1．(河北廊坊香河县期中)在平面直角坐标系中，将点M(－3，2)向左平移5个单位长度，得到点N，则点N的坐标为( )
A．(－3，7) B．(－8，2)
C．(－8，7) D．(8，－2)
2．(河北邯郸峰峰矿实验中学模拟)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为(3，)，(4，0)，把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为(6，)，则点E的坐标为( )
A．(6，0) B．(7，0) C．(0，7) D．(8，0)
3．若点A(1，－2)沿x轴的方向平移5个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
4．(河北石家庄栾城区期中)如图，点A的坐标为(1，3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 .
知识点2?　用坐标表示上下平移
5．(河北承德兴隆县期中)点P向上平移2个单位长度后到达原点，则点P的坐标为( )
A．(0，－2) B．(0，2)
C．(2，0) D．(－2，0)
6．(河北保定易县月考)如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(2，0)，“炮”位于点(－1，3)，则将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点( )
A．(4，2) B．(4，1) C．(4，4) D．(6，2)
易错易混点　忽略点的平移与图形的平移的一致
7．(河北沧州青县期末)在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如图所示．
(1)分别写出点A，A′的坐标；
(2)请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
(3)若点M(m，4－n)是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M′的坐标为(10－2n，m－1)，求m和n的值．
8．(河北沧州盐山县期末)△ABC内的任意一点M(a，b)，经过平移后对应点N的坐标是(m，n).已知点A(4，3)也经过这样的平移后的对应点是D(6，－2)，则m＋n－a－b的值为( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
9．(河北石家庄裕华区期末)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，2)，若将线段AB平移至CD，则a＋b的值为( )
A.2 B．3
C．4 D．5
10．(河北石家庄赵县期末)如图，△OAB的边OB在x轴的正半轴上，点B的坐标为(3，0)，把△OAB沿x轴向右平移2个单位长度得到△CDE，连接AC, DB，若△DBE的面积为4，则图中阴影部分的面积为( )
A． B．1 C．2 D．
11．(福建福州期中)在平面直角坐标系中，将点A(n2，1)沿着x轴的正方向向右平移3＋n2个单位长度后得到点B.有四个点M(－2n2，1)、N(3n2，1)、P(n2＋2，n2＋4)、Q(n2＋1，1)，一定在线段AB上的是( )
A．点M B．点Q C．点P D．点N
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线ABC向右平移得到折线DEF，则折线ABC在平移过程中扫过的面积是 ．
13.(空间观念&模型观念)(辽宁葫芦岛兴城市期中)在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点P(x，y)先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点Q，则称点Q为点P的“双移点”．
根据上述定义，回答下列问题：
(1)已知点A(1，－3)，则它的“双移点”为 ；若点B的“双移点”为点B′(－3，5)，则点B的坐标为 ；
(2)对于任意点P(x，y)，其“双移点”Q的坐标可以表示为 ；
(3)若点C是点O(0，0)的“双移点”，且在y轴上存在一点D，使△OCD的面积为4，请求出点D的坐标；
(4)若点N是点M(0，－3)的“双移点”，且在x轴上有一点K，使△MNK的面积为9，请直接写出点K的坐标．
第2课时　用坐标表示图形的对称、放大和缩小
知识点1?　用坐标表示图形的对称
1．(四川凉山州中考)点P(2，－3)关于原点对称的点P′的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，－3)
C．(－3，2) D．(－2，3)
2．(河北邯郸、邢台期末)点A(5，2)关于y轴对称的点的坐标为( )
A．(5，－2) B．(－5，－2)
C．(－5，2) D．(2，－5)
3．(河北廊坊六中月考)点M(－3，9)关于x轴对称的点的坐标为( )
A．(3，9) B．(－3，－9)
C．(3，－9) D．(－3，9)
知识点2?　用坐标表示图形的放大和缩小
4．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比( )
A．完全没有变化
B．边长扩大为原来的2倍
C．边长缩小为原来的
D．关于纵轴成轴对称
5．(河北唐山滦南县期末)如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△O1A1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况为( )
A．横坐标和纵坐标都加2
B.横坐标和纵坐标都乘以2
C．横坐标和纵坐标都除以2
D．横坐标和纵坐标都减2
易错易混点　图形的横纵坐标乘以(或除以)不为零的数，图形的横纵向变化不清楚
6．数学课本上有这样一段表述：“将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘k(或，k>1)，所得图形的形状不变，各边……”请利用这一规律解答下面问题．
已知A(m，n)，B(a，b)，且AB＝6，若C(m，n)，D(a，b)，则CD的长为( )
A．4 B．9
C． D．
7．如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△A′OB′关于直线m对称，已知A(1，2)，则点A′的坐标为( )
A．(－1，2) B．(1，－2)
C．(－1，－2) D．(－2，－1)
8．(河北石家庄正定县期中)如图，在平面直角坐标系中，△OBC的顶点O，B的坐标分别为O(0，0)，B(－6，0)，且∠OCB＝90°，OC＝BC，则点C关于x轴的对称点C′的坐标是( )
A．(3，3) B．(－3，3)
C．(3，－3) D．(－3，－3)
9．(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出点(9，1)，(11，6)，(16，8)，(11，10)，(9，15)，(7，10)，(2，8)，(7，6)，(9，1)，并将各点用线段顺次连接起来；
(2)上面各点的横坐标不变，将纵坐标缩小为原来的一半，求出各点的坐标，再将各点依次连接起来，与原图形相比，所得图形有什么变化？
(3)如果将原图形上各点的横坐标加2，纵坐标减5，图形会发生怎样的变化？
(4)如果想让变化后的图形与原图形关于原点对称，原图形各点的坐标应该如何变化？
【母题P24练习T1】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作与△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．
(2)作与△ABC关于y轴成轴对称的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标．
【变式】(河北承德兴隆县期中)如图，平面直角坐标系中，小正方形组成的网格的边长是1，△ABC的三个顶点均在格点上，且AC经过坐标原点O，请按要求完成下列各题．
(1)写出A，B，C三点的坐标；
(2)写出点B关于y轴对称的点B1的坐标；
(3)计算△AB1C的面积；
(4)试判断△ABC的形状并说明理由．
10.(空间观念&运算能力)(陕西西安校级月考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－4，4)，C(－1，－1).
(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)直线l过点(2，0)且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标： ；
(3)在(2)中的直线l上找一点P，使得|PB－PC|的值最大，并求出最大值．18．4　图形的运动与坐标
第1课时　用坐标表示平移
知识点1?　用坐标表示左右平移
1．(河北廊坊香河县期中)在平面直角坐标系中，将点M(－3，2)向左平移5个单位长度，得到点N，则点N的坐标为(B)
A．(－3，7) B．(－8，2)
C．(－8，7) D．(8，－2)
2．(河北邯郸峰峰矿实验中学模拟)如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为(3，)，(4，0)，把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为(6，)，则点E的坐标为(B)
A．(6，0) B．(7，0) C．(0，7) D．(8，0)
3．若点A(1，－2)沿x轴的方向平移5个单位长度得到点B，则点B的坐标为(－4，－2)或(6，－2)．
4．(河北石家庄栾城区期中)如图，点A的坐标为(1，3)，点B在x轴上，把△OAB沿x轴向右平移到△ECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为(4，3).
知识点2?　用坐标表示上下平移
5．(河北承德兴隆县期中)点P向上平移2个单位长度后到达原点，则点P的坐标为(A)
A．(0，－2) B．(0，2)
C．(2，0) D．(－2，0)
6．(河北保定易县月考)如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(2，0)，“炮”位于点(－1，3)，则将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点(C)
A．(4，2) B．(4，1) C．(4，4) D．(6，2)
易错易混点　忽略点的平移与图形的平移的一致
7．(河北沧州青县期末)在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如图所示．
(1)分别写出点A，A′的坐标；
(2)请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
(3)若点M(m，4－n)是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M′的坐标为(10－2n，m－1)，求m和n的值．
(1)由图可得A(1，0)，A′(－4，4)；
(2)三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移5个单位长度，向上平移4个单位长度得到的．
(3)由题意，得解得
8．(河北沧州盐山县期末)△ABC内的任意一点M(a，b)，经过平移后对应点N的坐标是(m，n).已知点A(4，3)也经过这样的平移后的对应点是D(6，－2)，则m＋n－a－b的值为(D)
A．2 B．－2 C．3 D．－3
9．(河北石家庄裕华区期末)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，2)，若将线段AB平移至CD，则a＋b的值为(A)
A.2 B．3
C．4 D．5
10．(河北石家庄赵县期末)如图，△OAB的边OB在x轴的正半轴上，点B的坐标为(3，0)，把△OAB沿x轴向右平移2个单位长度得到△CDE，连接AC, DB，若△DBE的面积为4，则图中阴影部分的面积为(C)
A． B．1 C．2 D．
设A(m，n)，∵B(3，0)，∴OB＝3.
由平移的性质，可得CE＝OB＝3，BE＝OC＝2，
∴CB＝CE－BE＝1.
∵S△DBE＝·BE·n＝4，∴×2·n＝4，
∴n＝4，
∴S阴影＝S△ACB＝·CB·n＝×1×4＝2.
11．(福建福州期中)在平面直角坐标系中，将点A(n2，1)沿着x轴的正方向向右平移3＋n2个单位长度后得到点B.有四个点M(－2n2，1)、N(3n2，1)、P(n2＋2，n2＋4)、Q(n2＋1，1)，一定在线段AB上的是(B)
A．点M B．点Q C．点P D．点N
由题意，得B(2n2＋3，1).
∵n2≥0，∴2n2＋3＞0，
∴线段AB在第一象限，点B在点A右侧，且与x轴平行，距离x轴1个单位长度．
点M(－2n2，1)距离x轴1个单位长度，在点A左侧，当n＝0时，点M可以跟点A重合，∴点M不一定在线段AB上；
点N(3n2，1)距离x轴1个单位长度，由点A(n2，1)沿着x轴的正方向向右平移2n2个单位长度后得到的，不一定在线段AB上，有可能在线段AB的延长线上．点N不一定在线段AB上；
点P(n2＋2，n2＋4)在点A右侧，且距离x轴n2＋4个单位长度，∴不一定在线段AB上；点Q(n2＋1，1)距离x轴1个单位长度，是将点A (n2，1)沿着x轴的正方向向右平移1个单位长度后得到的，∴一定在线段AB上．故一定在线段AB上的是点Q.
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线ABC向右平移得到折线DEF，则折线ABC在平移过程中扫过的面积是12．
∵折线ABC向右平移得到折线DEF，∴四边形ABED和四边形BCFE都为平行四边形，∴折线ABC在平移过程中扫过的面积＝S ABED＋S BCFE＝AO·BE＋CO·BE＝BE·(AO＋CO)＝BE·AC＝[3－(－1)]×[2－(－1)]＝12.
13.(空间观念&模型观念)(辽宁葫芦岛兴城市期中)在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点P(x，y)先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点Q，则称点Q为点P的“双移点”．
根据上述定义，回答下列问题：
(1)已知点A(1，－3)，则它的“双移点”为(3，1)；若点B的“双移点”为点B′(－3，5)，则点B的坐标为(－5，1)；
(2)对于任意点P(x，y)，其“双移点”Q的坐标可以表示为(x＋2，y＋4)；
(3)若点C是点O(0，0)的“双移点”，且在y轴上存在一点D，使△OCD的面积为4，请求出点D的坐标；
(4)若点N是点M(0，－3)的“双移点”，且在x轴上有一点K，使△MNK的面积为9，请直接写出点K的坐标．
(3)∵点C是点O(0，0)的“双移点”，
∴点C(2，4).
设点D的坐标为(0，t)，∴S△OCD＝|t|×2＝4，
解得t＝4或t＝－4，
∴点D的坐标为(0，4)或(0，－4)；
(4)∵点N是点M(0，－3)的“双移点”，∴N(2，1).
设点K的坐标为(m，0)，
当点K1在线段MN的右侧时，
S△MNK＝(1＋3)m－(1＋3)×2－(m－2)×1－×m×3＝9，解得m＝6，
∴点K1的坐标为(6，0)；
当点K2在原点时，S△MNK＝×3×2＝3<9，故不符合题意；
当点K2在原点的左侧时，
∴S△MNK＝(1＋3)(2－m)－×(1＋3)×2－×(2－m)×1－×(－m)×3＝9，
解得m＝－3，
∴点K2的坐标为(－3，0)，
综上，可知点K的坐标为(6，0)或(－3，0).
第2课时　用坐标表示图形的对称、放大和缩小
知识点1?　用坐标表示图形的对称
1．(四川凉山州中考)点P(2，－3)关于原点对称的点P′的坐标是(D)
A．(2，3) B．(－2，－3)
C．(－3，2) D．(－2，3)
2．(河北邯郸、邢台期末)点A(5，2)关于y轴对称的点的坐标为(C)
A．(5，－2) B．(－5，－2)
C．(－5，2) D．(2，－5)
3．(河北廊坊六中月考)点M(－3，9)关于x轴对称的点的坐标为(B)
A．(3，9) B．(－3，－9)
C．(3，－9) D．(－3，9)
知识点2?　用坐标表示图形的放大和缩小
4．将某个图形上各点的横、纵坐标都乘，所得图形与原图形相比(C)
A．完全没有变化
B．边长扩大为原来的2倍
C．边长缩小为原来的
D．关于纵轴成轴对称
5．(河北唐山滦南县期末)如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△O1A1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况为(C)
A．横坐标和纵坐标都加2
B.横坐标和纵坐标都乘以2
C．横坐标和纵坐标都除以2
D．横坐标和纵坐标都减2
易错易混点　图形的横纵坐标乘以(或除以)不为零的数，图形的横纵向变化不清楚
6．数学课本上有这样一段表述：“将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘k(或，k>1)，所得图形的形状不变，各边……”请利用这一规律解答下面问题．
已知A(m，n)，B(a，b)，且AB＝6，若C(m，n)，D(a，b)，则CD的长为(B)
A．4 B．9
C． D．
7．如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△A′OB′关于直线m对称，已知A(1，2)，则点A′的坐标为(D)
A．(－1，2) B．(1，－2)
C．(－1，－2) D．(－2，－1)
8．(河北石家庄正定县期中)如图，在平面直角坐标系中，△OBC的顶点O，B的坐标分别为O(0，0)，B(－6，0)，且∠OCB＝90°，OC＝BC，则点C关于x轴的对称点C′的坐标是(D)
A．(3，3) B．(－3，3)
C．(3，－3) D．(－3，－3)
如图，过点C作CD⊥OB于点D，
∵∠OCB＝90°，OC＝BC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴CD＝OD＝OB.
∵O(0，0)，B(－6，0)，∴OB＝6，
∴CD＝OD＝×6＝3，
∴点C的坐标为(－3，3)，
∴点C关于x轴的对称点C′的坐标是(－3，－3).
9．(1)在如图所示的平面直角坐标系中，描出点(9，1)，(11，6)，(16，8)，(11，10)，(9，15)，(7，10)，(2，8)，(7，6)，(9，1)，并将各点用线段顺次连接起来；
(2)上面各点的横坐标不变，将纵坐标缩小为原来的一半，求出各点的坐标，再将各点依次连接起来，与原图形相比，所得图形有什么变化？
(3)如果将原图形上各点的横坐标加2，纵坐标减5，图形会发生怎样的变化？
(4)如果想让变化后的图形与原图形关于原点对称，原图形各点的坐标应该如何变化？
(1)如图：
(2)如图，各点坐标分别为(9，)，(11，3)，(16，4)，(11，5)，(9，)，(7，5)，(2，4)，(7，3)，(9，).
所得图形在x轴上不变，在y轴上变小为原来的一半；
(3)图形不变，只是位置会发生变化；
(4)各个点的横纵坐标变为原坐标的相反数即可．
【母题P24练习T1】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作与△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．
(2)作与△ABC关于y轴成轴对称的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标．
(1)画出的图形如图所示，点A1(2，－4)，B1(1，－1)，C1(3，－2).
(2)画出的图形如图所示，点A2(－2，4)，B2(－1，1)，C2(－3，2).
【变式】(河北承德兴隆县期中)如图，平面直角坐标系中，小正方形组成的网格的边长是1，△ABC的三个顶点均在格点上，且AC经过坐标原点O，请按要求完成下列各题．
(1)写出A，B，C三点的坐标；
(2)写出点B关于y轴对称的点B1的坐标；
(3)计算△AB1C的面积；
(4)试判断△ABC的形状并说明理由．
(1)结合图形，可得A(－1，2)，B(－3，1)，C(1，－2)；
(2)∵关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数，B(－3，1)，∴B1(3，1)；
(3)如图，
△AB1C的面积＝4×4－×1×4－×2×3－×2×4＝16－2－3－4＝16－9＝7；
(4)△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理，得AB2＝12＋22＝5，BC2＝32＋42＝25，AC2＝22＋42＝20，∵AB2＋AC2＝5＋20＝25，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
10.(空间观念&运算能力)(陕西西安校级月考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－4，4)，C(－1，－1).
(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
(2)直线l过点(2，0)且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标：(5，－1)；
(3)在(2)中的直线l上找一点P，使得|PB－PC|的值最大，并求出最大值．
(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(3)∵|PB－PC|≤BC，∴当P，C，B三点共线时，|PB－PC|有最大值，最大值为BC的长．
∵B(－4，4)，C(－1，－1)，
∴BC＝＝，
∴|PB－PC|的最大值为.

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